5.5 用二次函数解决问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

∴.当-1<2a-3<5时，b1<b2: .1<a4. (3)n≥5.解析：，抛物线y= x2-4.x十n=(x-2)2+n-4,.当 x=2时，函数有最小值n一4.对于 任意实数x1、x2,都有y1十y2≥2， ,∴.2(n一4)=21-8≥2，解得n≥5. 6.由题意，得抛物线y=a.x2-2a.x十 8(a<0)的对称轴为直线x= 24=1,开口向下， 2a (1).-1<x12 .y1>a×(-1)2-2a×(-1)+8, 即y1>3u+8. 当m=一2时，3<x2<5, .y2<aX32-2a×3+8,即y2< 3a+8. .y1>y2. (2)1-m<x2<m+7, ∴.1-m<m+7. ∴.m>-3. ∴.m+7>4. ”存在x1、x2,使得y=y2,一1< x1<2, .1-m<3. ∴.m>-2. 综上所述，m的取值范围是m>一2. 7.C解析：画出大致图像如图所示. 由图可得，不等式a.x2十bx+c> m.x+n的解集为-1<x<3,∴.不等 式a.x2十bx-m.x>n一c的解集是 -1<x3. (第7题) 8.x<1或x>3解析：，a.x2十 (b-2)x+c>0,.a.x2+bx+c> 2x,即求二次函数y=a.x2+bx十c的 值大于一次函数y=2x的值时的x 的取值范围.如图，作直线y=2x.由 图，可知所求解集为x<1或x>3. y 1y=2x 0113 (第8题) 9.(1)y=x2-4x1-3. (2)如图所示 答案不唯一，如函数图像关于直线 x=2对称 (3)①1. ②令x-3=x2-4x|-3,解得 x1=0,x2=3,x8=5. ∴函数y=x-3与函数y=x2 4x一3的图像的交点的横坐标分别 为0、3、5. 结合图像，可知当3<x<5时，函数 y=x一3的图像在函数y=|x2 4.x一3的图像的上方. .不等式|x2-4x-3<x-3的解 集为3<x<5. 765432 (第9题) 一易错警示 不能将“数”与“形”灵活地 结合起来 解答这类问题时，往往由于未 综合运用条件而导致解题错误，其 主要原因是不能挖掘隐含在“形” 背后的与“数”有关的信息，从而误 认为需要根据不等式的性质探求 该不等式的解集，导致“事倍 功半” 10.C解析：由题图，可知二次函数 的图像开口向下，∴.a<0.:该二次 函数的图像的对称轴在y轴的右侧， :名>0”a<06>0:该 二次函数的图像与y轴的正半轴相 交，.c>0..bc>0..一次函数 y=a.x十bc的图像经过第一、二、四象 限，不经过第三象限. 11.第二象限解析：抛物线y= ax2十bx开口向上，对称轴在y轴的 右侧，a>0,-品>0.6<0 11 ∴.直线y=a.x十b经过第一、三、四 象限，即不经过第二象限。 5.5用二次函数解决问题 第1课时用二次函数解决 实际问题中的最值问题 1.D2.B3.48 4.(1)设y=kx十b(k≠0). 由题意，得 12k十b=30解得 10+b=40, k=一5， b=90. .y与x之间的函数表达式为y= -5.x+90(8x<18). (2)由题意，得w=(x-8)(-5.x十 90)=-5.x2+130x-720=-5(x 13)2+125(8<x18). -5<0, .当x=13时，取得最大值 ∴.当每枝的售价为13元时，该花店 获得的利润最大 8D解析：当1=10时=-多× 102+60×10=450,故①正确. s=一 12+60t=-2(1 3 2 20)2+600,∴.当t=20时，即飞机着 陆后滑行20s才能停下来，此时滑行 了600m,故②③正确.综上所述，正 确结论的个数是3. 6.C解析：，“水火箭”飞行3s和 飞行9s时的升空高度相同， 名-生9=66-12把 t=8,h=33代入h=at2+bt+1,得 64a+8b+1=33,∴.b=4-8a. .-12a=4-8a,解得a=-1. .b=12..h=-t2+12t+1= -(t-6)2+37.-1<0,∴.当t= 6时，h取得最大值，最大值为37. ∴.“水火箭”升空的最大高度为37m. 7.1556解析：，y=-2x2十 80.x+758=-2(x-20)2+1558, .该函数图像的对称轴为直线x= 20,开口向下..当x>20时，y随x 增大而减小.，21≤x≤25，.当x 21时，y取得最大值，此时y=一2× (21-20)2+1558=1556.∴.该店 周可获得的最大利润是1556元. 8婴 解析：如图，过点C作CE OA,垂足为E.∴.∠CEO=∠CEA= 90.:AB⊥OQ,.AB∥CE. ,BCOQ,.四边形ABCE是平行 四边形.，∠CEA=90°，.四边形 ABCE是矩形.∴.AB=CE,BC= AE.∠0=45°，.易得OC= 2CE=√2OE.,OC≤OP, OP=3W2,∴.OC32.∴.√2CE 3√2.∴.CE≤3.设AB=CE=OE= x(0<x≤3)，四边形OABC的面积 为S.AB+BC=8,.BC=8 AB=8一x..·四边形OABC的面 积=△CEO的面积十矩形ABCE的 面积=号OE·CE+AB·BC, ,S=号x2+x(8-x)=2x2+ &x=-2x-8r+32.:-<0. ,.当x<8时，S随x增大而增大 0<x≤3，∴.当x=3时，S取得最 1 大值，此时S= 2×(3-8)2+32= ,即四边形OABC的最大面积 39 为婴 (第8题) 9.(1)设y1=k.x十b(k≠0) 3k+b=5, 将(3,5)、(6,3)代入，得 6k+b=3, k=一3 2 解得 b=7. 3x+7. 设y2=a(x-6)2+1(a≠0). 把(3,4)代入，得4=(3一6)2a+1,解 1 得u=3· “=3(x-62+1=号2- 4x+13. (2)设每千克的收益为W元，则W= (2-4虹十 3x+7-（3 13)=-3-5+子 :3<0 .当x=5时，W的值最大 ∴.5月销售这种蔬菜，每千克的收益 最大 10. 解析：如图，过点D作 DK⊥AB于点K,过点C作CT⊥AB 于点T.,△PAD和△PBC是等边 三角形，KP=AP,TP= BP.DP=AP.CP=BP.KT- KP+TP=号AB=3.设AP=2m (0<m<3),则BP=6一2m. ∴.AK=KP=,BT=PT=3-m. ∴.易得DK=√3AK=√3m,CT= 5BT=35-V3m..S△ADk= m·3m=3n 1 )(33-3m)=%m233m 93 1 2,S移指K=2(,5m十33 3m)X3= 9w3 2· .S四边形A以D= S△ADK十S△xT十S梯形DKTC= m2-33m+9y3+93 3 2 2 3m-3√3m+9√3=3（m 2》厂+2当=时，因边 形ABCD的面积最小，为27,5 0 K P T (第10题) 1L.(1)设y1与x之间的函数表达 式为y1=k.x十b(k≠0). 12k+b=8, 根据题意，得 解得 (5k+b=20, 12 k=4, b=0. .y1与x之间的函数表达式为 y1=4x. (2)设乙商品销售m件，总利润为 元，则甲商品销售(25一m)件. 由题意，得=4(25一m)十（一m2十 8m+3)=100-4m-m2+8m+ 3=-m2+4m+103=-(m- 2)2+107. -1<0, ∴.当m>2时，随m增大而减小. 4≤m≤8， .当m=4时，0取得最大值，此时 =-(4-2)2+107=103,25 m=21. ∴.应销售甲商品21件，乙商品4件， 最大总利润是103元. 第2课时用二次函数解决生活 中的抛物线形问题 1.A2.A3.5 1 4由题意，得h=10u-2×102= 10t-5t2. (1)当h=0时，10t-5t2=0,解得 t=0(不合题意，舍去)或t=2. ∴.球被抛出后经过2s回到起点 (2)当h=1.8时，10t一5t2=1.8,解 得t=0.2或t=1.8. ∴.0.2s或1.8s后球离起点的高度 为1.8m. (3)球离起点的高度不能达到6m 理由：若h=6,则10t-5t2=6. 整理，得52一101+6=0. :b2-4ac=(-10)2-4×5×6= -20<0, .原方程没有实数根。 .球离起点的高度不能达到6m. 5.B解析：，点A(0,1)在抛物线 y=a(x-2)2+2上，.1=(0- 2)a十2，解得a=-4.第-次着 地前的抛物线对应的函数表达式为 y=- 1 4 (x一2)2十2.当y=0时， 4x一2)2+2=0，解得x1=2+日 22x2=2-22(不合题意，舍去). .点B的坐标为(2十22,0).这 两条抛物线的形状相同，且弹力球在 点B处着地后弹起的最大高度是着 地前手抛出的最大高度的一半，∴.设 弹力球第一次着地后的抛物线对应的 函数表达式为y=-（一A十1 将B2+22,0)代入，得-4(2+ 2√2-h)2+1=0,解得h1=22(不 合题意，舍去)，h2=2√2十4.∴。弹力 球第一次着地后的抛物线对应的函数 1 表达式为y=-4(x-22-4)2+ 1.,圆柱形筐的高为0.5m,∴.当 y=0.5时，-号x-22-4+1 0.5,解得x3=4+3W2,x4=4十W2 (不合题意，舍去).，·筐的底面半径 为0.5m,则直径为1m,∴。若要弹力 球从点B处弹起后落入筐内，则3十 32<n<4十3√2..n的值可以 是8. 6.5.5解析：建立如图所示的平面 直角坐标系.由题意，得点A、B、C的 坐标分别是（一10,0）、(10,0)、(0,6). ·设抛物线对应的函数表达式为 y=a.x2+c.将B(10,0)、C(0,6)代入 y=ax2+c,得/=6， 解得 100a+c=0, 3 50'.抛物线对应的函数表 c=6. 3 达式为y=一02+6.设N(5,yw). 3 将x=5代人y=一0+6，得 yN= ×52+6=4.5.·支柱 50 MN的长为10-4.5=5.5(m) 10m 6m 020mB (第6题) 7.(1).9一6=3（米）， ,最高点的坐标是(3,3) ∴.设抛物线对应的函数表达式为 y=a(x-3)2+3. 把A(9,0)代入，得36a+3=0,解得 a一121 .y=2(x-3)2+3. 1 (2)当x=0时，y=一2X(0一 4<2.4, 9 3)2+3= 。球能射进球门. 8.B 9.(1)由题图，可设函数表达式为 h=a(t-3)2+19.8(a≠0). 把(0,1.8)代入，得9a十19.8=1.8， 解得a=-2. ∴.第一枚花弹的飞行高度h(m)与飞 行时间t(s)之间的函数表达式为h= -2(t-3)2+19.8. (2)当第一枚花弹的发射时间为3s 时，第二枚花弹的发射时间为1s. 把t=1代入h=-2(t-3)2+19.8, 得h=-2×(1-3)2+19.8=11.8. ∴.第二枚花弹达到的高度为11.8m (3).·这种烟花每隔2s发射一枚花 弹，每枚花弹的运动路径、爆炸时的高 度均相同，第一枚花弹的运动路径所 对应的函数表达式为h=一2(t 3)2+19.8. ∴·易得第二枚花弹的运动路径所对 应的函数表达式为h2=一2(t 5)2+19.8. 令h=h2,得-2(t-3)2+19.8= 一2(t-5)2+19.8,解得t=4,此时 h=h2=17.8. 17.8>16, ,·花弹爆炸的高度符合安全要求。 一方法归纳 正确获取信息建立 恰当的模型解题 解决这类生活实际问题时，需 要从问题中获取相关信息，建立适 当的二次函数模型，求得函数表达 式，再把文字条件信息转化为数学 符号信息，从而解决实际问题 专题特训二二次函数 图像的几何变换 1.A解析：，y=x2+mx+n= 13 x2+mx+(g）-(2)+n= (+受)-_牙+将抛物线 C1:y=x2十mx十n向左平移1个单 位长度，得到的抛物线对应的函数表 达为y=(+受+- Γ4十n x2+(m十2)x十m十n+1.:得到抛 物线C2:y=x2十（2n-3)x十2， m+2=2n-3 解得 m=-1, m十n十1=2， （n=2. 2.B解析：，y=ax2+2ux十2= a(x十1)2-a十2，.将抛物线y= ax2+2ux+2(a为常数，且a≠0)向 左平移2个单位长度，再向下平移 3个单位长度，得到抛物线y=a(x十 1+2)2-a十2-3，即y=a(.x十3)2- a1..得到的抛物线经过点(-1， 2),.4a-a-1=2.∴.a=1. 3.B解析：.y=(x一1)(x一a)(a 为常数)，.该二次函数的图像与 x轴的交点坐标是(1,0)和(a,0). :二次函数的图像的对称轴为直线 =21岁=2.解得a=8小该 二次函数的表达式为y=x2一4z十 3.·将该二次函数的图像沿y轴 向下平移k个单位长度后经过点 (0,-1),∴.-1=3-k..k=4. 4.1解析：，抛物线y=（x一 m)(x一m一k)(m、k是常数)的对称 轴为直线x=-1,.m十m十k= 2 -1..2m十k=-2..k=-2 2m,y=(x+1)2+m(m+k)-1. ,将该抛物线先向右平移2个单位 长度，再向下平移1个单位长度后，得 到的抛物线对应的函数表达式为y= (x-1)2十(m十k)-2,∴.将(0,0) 代入，得0=1+m(m+k)-2. .∴.m(十k)=1,则m2+2m十1=0， 解得m1=m2=-1.∴.k=0. .m2+k2=1. 5.(1),抛物线对应的函数表达式 为y=-x2-4x+1=-（x十 2)2+5, ∴。该抛物线的顶点坐标为（一2,5）.拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 5.5用二次函数解决问题 第1课时 用二次函数解决实际问题中的最值问题 》“答案与解析”见P11 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.用一段长为24m的篱笆围成一个矩形菜地， 5.(2025·天津南开三模)飞机着陆后滑行的距 能围成菜地的面积不可能是 ( 离s(m)关于滑行的时间t(s)的函数表达式 A.25m2B.31m2C.36m2D.38m 为s= 号2+60，有下列结论：①飞机着陆 2.广场上喷水池中的喷头微微露出水面，喷 出的水柱呈抛物线形，水柱上水滴的高度 后滑行10s时，滑行的距离为450m;②飞机 y(米)关于水滴和喷头的水平距离x(米)的 着陆后滑行20s才能停下来；③飞机着陆后 x2+6r(0≤x≤4)， 3 滑行600m才能停下来.其中，正确结论的个 函数表达式为y=一 数是 ( 当水滴的高度达到最大时，水滴与喷头的水 A.0 B.1 C.2 D.3 平距离是 ( 6.某中学在科技实验活动中，设计完成了“水火 A.1米B.2米 C.5米 D.6米 箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度 3.如图，某农场拟建造由甲、A h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h= 乙两个矩形组成的羊圈，羊 at+bt+1.若“水火箭”飞行3s和飞行9s 圈的一面靠15m长的墙 (第3题) 时的升空高度相同，飞行8s时的升空高度为 AB,其余的用栅栏围成甲、乙两个矩形.已知 33m,则“水火箭”升空的最大高度为（) 提前准备的建筑材料可以建造24m长的栅 A.33mB.36mC.37mD.40m 栏，则该羊圈的面积最大可以为 m2. 7.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现 4.某花店采购了一批康乃馨，每枝的进价为 周的利润y(元)与每件的销售价x(元)之 8元.当每枝的售价为12元时，可销售 间的关系满足y=一2x2+80x+758.由于某 30枝；当每枝的售价为10元时，可销售 种原因，现每件的销售价x(元)需满足21≤ 40枝.在销售过程中，发现这批康乃馨的销 x≤25，则该店一周可获得的最大利润是 售量y(枝)与每枝的售价x(元)(8<x<18) 元 之间满足一次函数关系 8.如图，OP、OQ为两条定长 (1)求y与x之间的函数表达式. (2)设该花店销售这批康乃馨获得的利润是 的线段，OP=3√2，OQ= 元，当每枝的售价为多少元时，该花店获 10,∠0=45°，A、C分别为 (第8题) 得的利润最大？ 线段OQ、OP上的点（点C可与点P重合）， AB⊥OQ,BCOQ.若AB+BC=8,则四边 形OABC的最大面积为 9.某种蔬菜3~6月每千克的售价 y1(元)与销售月份x(月)之间的关 系如图①所示，每千克的成本 20 第5章二次函数 y2(元)与销售月份x(月)之间的关系如图②11，新情境·现实生活某商场销售甲、乙两种商 所示.已知图①中的图像是线段，图②中的图 品.已知销售甲商品的利润y1(元)与销售 像是抛物线的一部分，顶点坐标为(6,1). 数量x(件)之间满足一次函数关系，当销售 (1)分别求出y1、y2的函数表达式（不用写 2件甲商品时，利润为8元；当销售5件甲 自变量的取值范围) 商品时，利润为20元.销售乙商品的利润 (2)请通过计算说明哪个月销售这种蔬菜， y2(元)与销售数量t(件)之间的函数表达式 每千克的收益最大 为y2=-t2+8t+3. y/元 y/元 (1)求出y1与x之间的函数表达式. (2)若商场准备销售甲、乙两种商品共 2 25件，其中乙商品的销售数量不少于4件 0123456x/月 0123456x/月 且不多于8件，为使总利润最大，应销售甲、 ① ② (第9题) 乙两种商品各多少件？最大总利润是多 少元？ 爸思维拓展 10.如图，P是线段AB上一动点（点P 不与点A、B重合)，分别以PA、 PB为边长在AB的同侧作等边三 角形PAD和等边三角形PBC,连接CD.若 AB=6,则四边形ABCD的最小面积是 (第10题) 2 拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 第2课时 用二次函数解决生活中的抛物线形问题，“答案与解析”见P12 自基础进阶 距离AC是 m. 1.如图所示为一款抛物线形落地灯的示意图， 防滑螺母C为抛物线形支架的最高点，灯罩 水嘴「 D D距离地面1.5m,最高点C到灯柱AB的 AB C 水平距离为1.6m,灯柱AB=1.5m.若茶几 水槽 摆放在灯罩D的正下方，则茶几到灯柱AB (第3题) 4.对于向上抛的物体，如果空气阻力忽胳不计， 的水平距离AE为 物体离起，点的高度h(m)与抛出后经过的时 间t(s)之间满足h=vot一 2gt,其中(m/ 2.5m 1.5m 茶几 s)是初速度，g(m/s2)是重力加速度.杂技演 A E (第1题) 员表演抛球时，以10m/s的初速度把球向上 A.3.2mB.0.32mC.2.5mD.1.6m 抛出（重力加速度取10m/s2). 2.(2025·山西模拟)如图①所示为一张带智能 (1)球被抛出后经过几秒回到起，点？ 发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的 (2)几秒后球离起，点的高度为1.8m? 落点、速度、弧度及旋转方式.如图②，发球机 (3)球离起点的高度能达到6m吗？请说明 从中线OB的端点O的正上方0.25m处的 理由. A点发球，乒乓球在OB正上方的飞行轨迹 呈抛物线形，当飞行的水平距离为1m时，达 到最高点M,其高度为0.45m,以O为原点， OB、OA所在的直线分别为x轴、y轴建立平 面直角坐标系.记图②中球的落点为E,则 OE的长为 甸素能攀升 ① (第2题) 5.如图，在平面直角坐标系中，小明站 A.2.5mB.2.7mC.2.4mD.2.6m 在原点处，从离地面高度为1m的 3.水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器 点A处抛出弹力球，弹力球在点B 将水自下而上高速喷出，雾化后形成水幕，然 处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前 后由专用放映机将特制的录影带投射在水幕 后的运动轨迹可近似地看成形状相同的两条 上.如图，水嘴喷出的水柱呈抛物线形，其最 抛物线，弹力球第一次着地前的抛物线对应 高点为P,AB=2m,BP=9m,水嘴高 的函数表达式为y=a(x一2)2+2，弹力球在 AD=5m,则水柱落地，点C到水嘴所在墙的 点B处着地后弹起的最大高度为着地前手 22 第5章二次函数 抛出的最大高度的一半.已知地上摆放了一思维拓展 个底面半径为0.5m、高为0.5m的圆柱形 8.把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球 筐，筐的最左端距离原点nm.若要弹力球从 距离地面的高度h(米)与所经过的时间 点B处弹起后落入筐内（若弹力球落在筐的 t(秒)之间的函数表达式为h=10t一t(0≤ 边上，则会再次弹起，落不到筐内)，则n的值 t≤8).若存在两个不同的t的值，使足球距 可以是 离地面的高度均为a米，则a的值可能是 y/m A.30 B.21 C.15 D.12 0 B C x/m (第5题) 9.*新情境·现实生活一种手持烟花每 A.7 B.8 C.9 D.10 隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的运 6.如图，一座高为10m的拱桥，其桥拱的轮廓 动路径、爆炸时的高度均相同.第一 是抛物线形，拱高为6m,跨度为20m,相 枚花弹的飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之 邻两支柱间的距离均为5m,则支柱MN的 间的函数图像如图所示. 长为 m (1)求第一枚花弹的飞行高度h(m)与飞行 时间t(s)之间的函数表达式， 10m (2)当第一枚花弹发射3s时，第二枚花弹达 -20m (第6题) 到的高度为多少米？ 7.足球训练中，球员从球门正前方9米的A处 (3)为了安全起见，要求花弹爆炸时的高度 射门，球射向球门的飞行路线呈抛物线形.当 不低于16m.当第一枚花弹爆炸的同时，第 球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点， 二枚花弹与它处于同一高度，请通过计算说 此时球离地面3米.现以O为原点建立如图 明花弹爆炸的高度是否符合安全要求， 所示的平面直角坐标系。 ↑h/m 19.8 (1)求抛物线对应的函数表达式， (2)已知球门高OB为2.4米，通过计算判断 1.8 球能否射进球门（忽略其他因素）. 0 3 t/s y/米 (第9题) 9米6米 x/米 (第7题) 23