专题特训二 二次函数图像的几何变换-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

.点B的坐标为(2+2√2,0).这 两条抛物线的形状相同，且弹力球在 点B处着地后弹起的最大高度是着 地前手抛出的最大高度的一半，∴.设 弹力球第一次着地后的抛物线对应的 函数表达式为y=-子(-)产+1 将B(2+2巨，0)代人，得-子(2+ 2√2一h)2+1=0,解得h1=2√2（不 合题意，舍去)，h2=2√2十4.∴.弹力 球第一次着地后的抛物线对应的函数 表达式为y=-子（红-一2厄-4十 1.圆柱形筐的高为0.5m,∴.当 y=05时，-(x-2厄-40+1 0.5,解得x3=4+3√2，x4=4十√2 (不合题意，舍去).，筐的底面半径 为0.5m,则直径为1m,.若要弹力 球从点B处弹起后落人筐内，则3十 3√2<n<4十3√2.∴.n的值可以 是8. 6.5.5解析：建立如图所示的平面 直角坐标系.由题意，得点A、B、C的 坐标分别是(-10,0)、(10,0)、(0,6). ∴.设抛物线对应的函数表达式为 y=a.x2+c.将B(10,0)、C(0,6)代人 y=az2+c,得=6， 解得 100a+c=0, a=- 3 50’.抛物线对应的函数表 c=6. 达式为y=x+6设N⑤，w. 将x=5代人y=一 x2+6,得 3 yN=- ×52十6=4.5.·支柱 50 MN的长为10-4.5=5.5(m). M C 10m 6m 020mB (第6题) 7.(1)9-6=3(米)， .最高点的坐标是(3,3). ∴.设抛物线对应的函数表达式为 y=a(x-3)2+3 把A(9,0)代入，得36a+3=0,解得 a-121 .y= 品红-3+8 1 (2)当x=0时，y=-12X(0- 9 3)2+3= 4 <2.4, .球能射进球门. 8.B 9.(1)由题图，可设函数表达式为 h=a(t-3)2+19.8(a≠0). 把(0,1.8)代人，得9a+19.8=1.8, 解得a=一2. ∴.第一枚花弹的飞行高度h(m)与飞 行时间t(s)之间的函数表达式为h一 -2(t3)2+19.8. (2)当第一枚花弹的发射时间为3s 时，第二枚花弹的发射时间为1s. 把t=1代入h=-2(1-3)2+19.8, 得h=-2×(1-3)2+19.8=11.8. .第二枚花弹达到的高度为11.8m. (3).这种烟花每隔2s发射一枚花 弹，每枚花弹的运动路径、爆炸时的高 度均相同，第一枚花弹的运动路径所 对应的函数表达式为h=一2(t 3)2+19.8, ∴.易得第二枚花弹的运动路径所对 应的函数表达式为h2=一2(t 5)2+19.8. 令h=h2,得-2(t-3)2+19.8= 一2(t一5)2+19.8，解得t=4,此时 h=h2=17.8. 17.8>16, .花弹爆炸的高度符合安全要求。 一方法归纳 正确获取信息建立 恰当的模型解题 解决这类生活实际问题时，需 要从问题中获取相关信息，建立适 当的二次函数模型，求得函数表达 式，再把文字条件信息转化为数学 符号信息，从而解决实际问题 专题特训二二次函数 图像的几何变换 1.A解析：.y=x2+mx+n= 13 2+mx+(受）广-（受）》+n (+受)-牙+将抛物线 C1:y=x2十mx十n向左平移1个单 位长度，得到的抛物线对应的函数表 达为y(+受+)- 4 :十n= x2+(m+2)x+m++1..得到抛 物线C2:y=x2+(21-3)x+2, m+2=2n-3, 解得 n=-1, m+n+1=2, (n=2. 2.B解析：·y=a.x2+2a.x十2= a(x+1)2一a+2,.将抛物线y ax2+2a.x+2(a为常数，且a≠0)向 左平移2个单位长度，再向下平移 3个单位长度，得到抛物线y=a(x十 1+2)2-a+2-3,即y=a(x+3)2 a一1.：得到的抛物线经过点（一1， 2),∴.4a-a-1=2...a=1. 3.B解析：，y=(x-1)(x-a)(a 为常数)，.该二次函数的图像与 x轴的交点坐标是(1,0)和(a,0). ,二次函数的图像的对称轴为直线 =2士少=2，解得a=3该 二次函数的表达式为y=x2一4x十 3.·将该二次函数的图像沿y轴 向下平移k个单位长度后经过点 (0,-1),.一1=3-k..k=4. 4.1解析：.抛物线y=（x m)(x一m一k)(m、k是常数)的对称 轴为直线x=一1，m十m+k= 2 -1..∴.2m+k=-2..k=-2 2m,y=(x+1)2+m(m+k)-1. :将该抛物线先向右平移2个单位 长度，再向下平移1个单位长度后，得 到的抛物线对应的函数表达式为y (x-1)2+m(m+k)-2,∴.将(0,0) 代人，得0=1+m(m+k)-2. ∴.m(m+k)=1,则m2+2m十1=0， 解得m1=m2=-1.∴.k=0. ∴.m2十k2=1. 5.(1):'抛物线对应的函数表达式 为y=-x2-4x十1=-(.x十 2)2+5, ∴.该抛物线的顶点坐标为（一2,5）. (2)由题意，得平移后得到的新抛物 线对应的函数表达式为y=一(x十 2-a)2+5-2a ·平移后得到的新抛物线经过点 (1,-1), .-1=-(1+2-a)2+5-2a. ∴.a2-4a+3=0,解得a=1或 a=3. ,.a的值为1或3. 6.D解析：·一条抛物线对应的函 数表达式为y=-x2+4x+2m, ∴.这条抛物线的顶点坐标为(2， 2m十4).∴.这条抛物线关于x轴对 称的抛物线的顶点坐标为(2，一2m 4).·它们的顶点相距6个单位长 度，.'.2m+4-(-2m一4)|=6. .4m+8=6.当4m+8=6时， m=- 2:当4m+8=-6时，m -子“m的值是一2或-子 7.C解析：，抛物线L:y=x2十 (b-1)x-3与抛物线L':y=x2 10x+3c关于直线x=2对称，∴.抛 物线L上的点(0，一3)关于直线x=2 对称的点的坐标为(4，一3)，且该点在 抛物线L'上.'.一3=16一40+3c. .c=7..抛物线L:y=x2十(b 1)x-3与抛物线L':y=x2-10x+ 3c关于直线x=2对称，∴.它们的 对称轴关于直线x=2对称. ：+(2》 =4..b=3. .b-c=3-7=-4. 8.(1)y=x2十4x+1解析：将二次 函数y=x2一4x十1的图像沿着y轴 翻折，所得到的图像对应的函数表达 式为y=(-x)2一4·(-x)+1,即 y=x2+4x+1. (2)y=-(x一1)2+6解析：由题意 知，抛物线y=(x一1)2+2的顶点坐 标为(1,2)，则点(1,2)关于直线y=4 的对称点的坐标为(1,6)，∴.翻折后 抛物线的顶点坐标为(1,6)，且开口向 下.∴.翻折后抛物线对应的函数表达 式为y=-(x-1)2+6. 9.-3<m<1或m>只 解析：在 y=x2-2x-3中，令y=0,得x2 2x-3=0,解得x1=-1,x2=3. ∴.A(-1,0)、B(3,0).如图，当直线 y=x十m经过点A时，直线y=x十 m与图形C,有三个公共点，此时 0=-1+m,解得m=1;当直线y= x十m经过点B时，直线y=x十m与 图形C,恰有一个公共点，此时0= 3十m,解得m=一3.由图，可知当 -3<m<1时，直线y=x十m与图 形C,恰有两个公共点.将抛物线y x2一2x一3在x轴下方的部分沿 x轴翻折得到的新抛物线对应的函数 表达式为-y=x2-2x-3(-1≤ x<3),即y=-x2+2.x+3(一1< x<3).令x十m=-x2十2x+3,整 理，得x2一x一3十m=0.由图，可知 当直线y=x十m与抛物线y 一x2+2x十3恰有一个公共点时，直 线y=x十m与图形C,有三个公共 点.∴.b2-4ac=(-1)2-4(-3+ m)=0,解得m=早当m>号时， 直线y=x十m与图形C,恰有两个 公共点.综上所述，当直线y=x+m 与图形C,恰有两个公共点时，m的 取值范围是-3<m<1或m>13 (第9题) 10.(1)设抛物线y=x2-x一2翻折 前交y轴于点C, 在y=x2一x一2中，当x=0时， y=一2；当y=0时，x2-x-2=0,解 得x1=2,x2=-1. .C'(0,-2)、A(-1,0)、B(2,0) C(0,2) 设被翻折部分翻折后得到的图像对应 的函数表达式为y=a(x+1)(x 2)(a≠0，-1<x<2). 把C(0,2)代人，得-2a=2,解得 a=-1. y=-(x+1)(x-2)=-x2+ 14 x+2. ∴.被翻折部分翻折后得到的图像对 应的函数表达式为y=一x2+x十 2(-1<x<2). (2)若直线y=一x十b与图像W有 三个交点，分两种情况讨论： ①当直线y=一x十b过点B时，易 知与图像W有三个交点，此时b=2. ②如图，当直线y=一x十b位于线 段AB的上方，且与被翻折部分翻折 后得到的函数图像恰好有一个交点 时，方程-x+b=一x2+x+2,即方 程x2-2x十b-2=0有两个相等的 实数根 ∴.(-2)2-4(b-2)=0. .b=3. 综上所述，b的值为2或3. (第10题) 易错警示 不能将图形动起来而导致错误 求解直线与二次函数图像的 交点时，容易因不能将图形动起来 而导致错误.将直线动起来，类似 于求直线与圆的交点个数，从而根 据交，点个数确定所得新一元二次 方程的根的判别式与0的大小关 系，进而求得结果。 1L.A解析：二次函数y= m(x十3)2-3(m为常数且m≠0)的 图像与y轴交于点A,∴.当x=0时， y=9m一3.∴.A(0,9m-3)..将二 次函数y=m(x+3)2一3的图像以原 点为旋转中心旋转180°后，得到的图 像与y轴交于点B,.B(0,一9m十 3).AB=12,.|9m-3 (-9m+3)|=12,即18m-6=12. m=1或m三二3.m的值为刀 1 或一3 12.(1).y=a.x2+6a.x+9a-8= a(x+3)2-8, .顶点D的坐标为（一3，一8） 点B的横坐标是2， .B(2,0) 把B(2,0)代人y=a(.x+3)2-8,得 0=u(2+3)2-8,解得a=25: 8 (2)如图①，连接DE,过点D作 DH⊥x轴于点H,过点E作EM⊥ x轴于点M. 根据题意，得点D、E关于点B(2,0) 成中心对称， .DE过点B,且DB=EB. 在△DBH和△EBM中， ∠DHB=∠EMB=90°， ∠DBH=∠EBM, DB=EB, '.△DBH≌△EBM .'DH=EM=8,BH=BM=3+ 2=5. .抛物线C1的顶点E的坐标为(7,8). ,·抛物线C,由抛物线C绕点P旋 转180°后得到， ∴.抛物线C,对应的函数表达式为 y=是-+8 (3)如图②，连接AE、EF、BE、DE、DF 由(2)，知点D、E关于点P中心对 称，D(-3,-8) .点E的纵坐标为8. 设Em,8.则P(23o: B(2,0), ∴.易得A(-8,0),F(m十5,0). ..AE2=(m+8)2+82=m2+16m+ 128,EF2=52+82=89,AF2=(m+ 13)2=m2+26m+169,BE2=(m 2)2+82=m2-4m+68,BF2=(m十 3)2=m2+6m+9,DE2=(m+3)2+ 162=m2+6m+265,DF2=(m+ 8)2+82=m2+16m+128。 根据题意，得点E、F、G中取点E、G 或点F,G与点A、B、D中任一点均 无法构成直角三角形.故分三种情况 讨论： ①当△AEF是直角三角形时，显然 只能有∠AEF=90. ∴.根据勾股定理，得AF2=AE2+ EF2,即m2+26m+169=m2+ 24 16m+128+89,解得m=5, (得 p(品 ②当△BEF是直角三角形时，显然 只能有∠BEF=90. ∴.根据勾股定理，得BF=BE2十 EF2,即m2+6m+9=m2-4m+ 68+9,解得m号 8) r(0 ③当△DEF是直角三角形时， m>0, ∴.DE2>EF2,DF2>EF2,即DE> EF,DF>EF. ∴.∠EDF不能为直角 若∠DEF=90°，则根据勾股定理，得 DF2=DE2+EF2,m2+16m+ 128=m2+6m+265+89,解得 m=3 5 (售 0). 若∠DFE=90°，则根据勾股定理，得 DE2=DF2+EF2,即m2十6m+ 265=m2+16m+128+89,解得 (借 p(00) 综上所述，点P的坐标为（品0）或 ()或(9o) ① 15 D ② (第12题) 专题特训三探究二次 函数中的存在性问题 1.(1)A(1,0)、C(0,3), .OA=1,OC=3. :Sae=2AB.0C=6. .AB=4. .∴.OB=AB-OA=3. .B(-3,0). 设抛物线对应的函数表达式为y= a(x+3)(x-1). 把C(0,3)代人，得a=-1, .y=-(x+3)(x-1)=-x2 2x+3. (2),OB=O0C=3, .∴.易得∠OBC=∠OCB=45. PF∥y轴， ∴.∠PFE=∠OCB=45° PE⊥BC, '.∠PEF=90° ∴.△PEF为等腰直角三角形 六易得PE=P号PR Cm=E+EP+PF-号Pp+ 号PF+PR=E+1PF ∴.当P℉的长取得最大值时，△PEF 的周长取得最大值. 设直线BC对应的函数表达式为y= k1x十b1. 把B(-3,0)、C(0,3)代人，得 |-3k1+b1=0, k1=1, 解得 b1=3, b1=3. ∴.直线BC对应的函数表达式为y= x+3. 设P(m,-m2-2m十3)(-3<m< 0),F(m,m十3). ∴.PF=-m2-2m+3-m-3 -m2-3m=-(m+)°+号。拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 专题特训二二次函 类型一抛物线的平移 1.(2025·陕西模拟)在平面直角坐标系中，将 抛物线C1:y=x2+m.x十n向左平移1个单 位长度，得到抛物线C2:y=x2+(2m 3)x十2，则m、n的值分别为 () A.-1、2B.-1、3C.1、2D.1、3 2.将抛物线y=a.x2+2ax+2(a为常数，且 a≠0)向左平移2个单位长度，再向下平移 3个单位长度，得到的抛物线经过点（一1， 2),则a的值为 ( A.2 B.1 C.-2D.-1 3.已知二次函数y=(x一1)(x一a)(a为常数) 的图像的对称轴为直线x=2.若将该二次函 数的图像沿y轴向下平移k个(k>0)单位长 度，使其经过点(0，一1)，则k的值为( )》 A.3 B.4C.2D.6 4.已知抛物线y=(x一m)(x一m一k)(m、k是 常数)的对称轴为直线x=一1.若将该抛物 线先向右平移2个单位长度，再向下平移 1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐 标原点，则m2+k2的值是 5.已知抛物线y=一x2一4x+1. (1)写出该抛物线的顶点坐标， (2)将该抛物线先向右平移a个(a>0)单位 长度，再向下平移2a个单位长度，若平移后 得到的新抛物线经过点(1，一1)，求a的值， 24 数图像的几何变换，“答案与解析”见P13 类型二关于直线对称的抛物线 6.在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于 x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度. 若其中一条抛物线对应的函数表达式为 y=-x2+4x十2m,则m的值是 ( ) 7 A.一2 B.一2 C.1 7.若抛物线L:y=x2十(b一1)x一3与抛物线 L':y=x2-10x十3c关于直线x=2对称， 则b一c的值为 A.3 B.7 C.-4D.4 8.(1)(2025·南京江宁段考)将函数y=x2 4x十1的图像沿y轴翻折所得到的图像对应 的函数表达式为 (2)将函数y=(x一1)2+2的图像沿着直线 y=4翻折后所得到的图像对应的函数表达 式为 9.如图，抛物线y=x2一2x一3与x轴交于A、 B两点，将该抛物线在x轴下方的部分沿 x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C1· 当直线y=x十m与图形C1恰有两个公共点 时，m的取值范围是 (第9题) 10.易错题如图，抛物线y=x2一x一2交x轴 于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的 部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新 图像记为图像W,图像W交y轴于点C. (1)写出被翻折部分翻折后得到的图像对 应的函数表达式 (2)若直线y=一x十b与图像W有三个交 点，求b的值. (第10题) 类型三绕定点旋转180°后的抛物线 11.已知二次函数y=m(x+3)2一3(m为常数 且m≠0)的图像与y轴交于点A,将该二次 函数的图像以原，点为旋转中心旋转180°，旋 转后的图像与y轴交于点B.若AB=12, 则m的值为 A1成-有 B.1或-3 C.3 n司 12.新考法·探究题如图，抛物线C: y=ax2+6a.x+9a一8与x轴相 交于A、B两点（点A在点B的左 侧)，已知点B的横坐标是2，抛物线C的 顶点为D, 第5章二次函数 (1)求a的值及顶点D的坐标. (2)P是x轴正半轴上的一点，将抛物线C 绕点P旋转180°后得到抛物线C1,记抛物 线C1的顶点为E,抛物线C1与x轴的交 点为F,G(点F在点G的右侧).当点P与 点B重合时（如图①），求抛物线C1对应的 函数表达式. (3)如图②，在(2)的条件下，从点A、B、D 中任取一点，点E、F、G中任取两点，若以 取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们 就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同 类函数”.当抛物线C,是抛物线C的勾股 伴随同类函数时，求点P的坐标 PG B(P) ① ② (第12题) 25