5.2 二次函数的图像和性质-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

第5章二次函数 5.1二次函数 1.C2.B3.(1)①(2)-4 4.四 5.(1):y是x的二次函数， .m2-4≠0，解得m≠土2. (2)y是x的一次函数， ∴.m2-4=0,且m2-3m十2≠0，解 得m=-2. 6.B 7.D解析：由题意，得当每件产品的 售价为x元时，每件盈利(x一50)元， 日销售量为[200+2(99一x]件， .=(x-50)[200+2(99-x)]. 8.C解析：.四边形ABCD是正方 形，∴.∠FCG=90°，∠EBF= ∠ECG=45°，AC⊥BD,EB=EC.又 ,EG⊥EF,∴.∠BEC=∠FEG= 90°..'.∠BEC-∠FEC=∠FEG ∠FEC,即∠BEF=∠CEG. .△BEF≌△CEG.∴.BF=CG= x,EF=EG.∴.在Rt△EFG中， FG=EG2+EF2=2EF2.在 Rt△CFG中，FG2=CG2+CF2,即 FG2=x2+(5-x)2=2.x2-10.x+ 2.y=2G·EF=号EF, :y=rG2=是(2x2-10x+ 4 235)-号+y与满 足的函数关系是二次函数关系. 9.3 10.y=一弓2+x解析：四边 形ABCD是正方形，..CD=BC= AB=2,∠C=∠CDA=90°= ∠ADE.:DF平分∠ADE, .∠ADF=2∠ADE=45: ∴.∠MDF=90°+45°=135.在BC 上截取CH=CM,连接MH,则 △MCH是等腰直角三角形，BH MD=2-x.'.∠CHM=∠CMH= 45.∴.∠BHM=180°-∠CHM= 135°.∴.∠MBH+∠HMB=45°， ∠BHM=∠MDF..MF⊥BM .∴.∠FMB=90°.又.·∠CMH=45°， ∴.∠FMD+∠HMB=45. ∴.∠MBH=∠FMD.∴.△HMB≌ △DFM.'.S△HMB=S△pFM= 2CM:BH.“y与x之间的函数 1 表达式为y=2x(2-x)= 一方法制归纳 根据图形性质写出函数表达式 解答与几何图形有关的问题 时，往往需要我们灵活地运用图形 性质，挖掘隐含在图形中的线段、 角之间的数量关系，进而写出函数 表达式 11.(1)y=(m-4)xm-m十 2x2-3x-1是关于x的一次函数， m2-m=2, 解得m=2. m-4+2=0, .当m=2时，它是y关于x的一次 函数. (2)y=(m-4)xmm+2x2 3x一1是关于x的二次函数， .分四种情况： ①m-4=0,解得m=4:②m2-m= 1,解得m=1±5 （m2-m=2, 2:③ m-4+2≠0， 解得m=一1；④m2-m=0,解得 m=0或m=1. 综上所述，当m=0或1或4或-1或 1士5时，它是y关于x的二次函数. 2 12.y=6x-x2(0≤x≤6) 解析：如图，延长CO,交AB于点G. :C是⊙O的ACB的中点，.CO AB,AG=2 AB=X6=3. .AE2=AG2+EG2 EF2=FG2+ EG.由题意，得当0≤x≤3时，AF= x,FG=3-x.y=AE2-EF2= AG2+EG2-FG2-EG2=AG2- FG2=9-(3-x)2=6x-x2(0≤x≤ 3).当3<x≤6时，AF=x,FG=x 1 3...y=AE2-EF2=AG2+EG2- FG2-EG2=AG2-FG2=9-(x- 3)=6x-x2(3<x≤6).综上所述， y=6.x-x2(0≤x≤6). B (第12题) 13.(1):篱笆长为24m,花圃的宽 AB为xm, .花圃的长BC为(24一3.x)m. .S=(24-3.x)x=-3.x2+24x. 由题意，得24一3x>0,x>0,24 3x>x, ∴.0<x<6. (2),24-3x9, .x≥5. 结合(1)，得5≤x<6. 5.2二次函数的图像和性质 第1课时二次函数y=ax2的 图像和性质 1.C2.C3.3 4.a1>a2>a3>u4 5.(1)把x=3,y=3代入y=a.x2, 1 得9a=3,解得u=3, 这个二次函数的表达式为y= 1 322. 当x=-2时y=3 ×(-2)2= 3 (2y=子，3>0， '.图像的开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是(0,0) 6.D7.C8.D9.y1<y2<y3 10.一2解析：：二次函数y= (m十1)xm的图像开口向下， '.m=2且m+1<0,解得 m=-2. 11.一、三、四解析：二次函数 y=a.x2(a≠0)的图像开口向上， ∴.a>0.又，直线y=a.x-1与y轴 交于点(0，-1)，∴.直线y=Q.x-1经 过第一、三、四象限 12.4W2解析：把E(2,4)代人y= a.x2中，得4=4a,解得a=1..y= x2.E(2,4),四边形CDFE为正方 形，易得EF=CE=4.∴.y=8, 则yA=8.令y=8,则8=x2,解得 x=±2√2.∴.A(2√2,8)、B(-22, 8)..AB=42. 13.(1)把(1，b)代人y=2x-3,得 b=2×1-3=-1. 把(1，一1)代入y=a.x2,得-1=aX 12,解得a=-1. (2)存在. 由(1)，知a=-1. .y=-x2. 设点P的坐标为(m,一m2). “·点P到两条坐标轴的距离相等， ∴.m|=|-m21,解得m=0或1 或-1. ∴.点P的坐标为(0,0)或(1，-1)或 (-1,-1). 14.设直线AB与y轴交于点G. 一次函数y=kx一2的图像经过 点A(-1,-1), .一1=一k一2，解得k=一1. .一次函数的表达式为y=一x一2. 令x=0,得y=-2. .G(0,-2). ,二次函数y=ax2的图像经过 点A(-1,-1), .-1=aX1,解得a=一1. ∴.二次函数的表达式为y=一x2 y=一x-2, (x1=-1, 联立 解得{ (y=-x2, y1=-1, x2=2, y2=-4. A(-1,-1), .B(2,-4) 1 SAOMn=SAONG+SA0G=2X2X 1+7×2×2=1+2=3 15.A解析：由题意，得当抛物线经 过点(1,3)时，a=3:当抛物线经过点 3,1D时a=号.观察图像，可知号< a3. 方法归纳 抓住抛物线的特殊点 确定待定系数的取值范围 解答这类根据抛物线与几何 图形的交点情形，确定二次函数中 待定系数的取值范围的问题时， 往往需要从经过的特殊点确定 待定系数的特殊值，进而确定其 取值范围 16.(1)当k=2时，y=2x-3. y=2x-3, x=一3， 联立 解得 或 y=-x2, y=-9 x=1, y=-1, :点A在点B的左侧， ∴.点A的坐标为(-3，-9)，点B的 坐标为(1，一1). (2)分两种情况讨论： ①当>0时，如图①，连接OB',设 直线y=kx-3与y轴交于点C,BB 与y轴交于点D. :△B'AB的面积与△OAB的面积 相等， ∴.易知OB'∥AB. .∠OB'B=∠CBB'. 点B、B'关于y轴对称， .'.OB=OB',∠ODB=∠ODB'=90° ∴.∠OB'B=∠OBB' ∴.∠OBB'=∠CBB'. :∠ODB=∠CDB=90°，BD=BD, .∴.△BOD≌△BCD .OD=CD. 在y=kx一3中，令x=0,得y=一3. .C(0,-3),即OC=3. 0D=20c=号即D0,-): 在y=x2中，令y=一分，得 -x2= ，解得= √6 把B(,-)代入y=x-3,得 一=子解得受 2 ②当k<0时，如图②，过点B'作 B'F∥AB,交y轴于点F,连接BF,设 直线y=kx一3与y轴交于点E,BB 与y轴交于点G. 在y=kx一3中，令x=0,得y=一3. .E(0,-3),即OE=3. △B'AB的面积与△OAB的面积 相等， .易得OE=EF=3. 点B、B关于y轴对称， '.FB=FB',∠FGB=∠FGB′=90 ∴∠FB'B=∠FBB' B'F∥AB, .∠EBB'=∠FB'B. ∴.∠EBB'=∠FBB' ∠BGE=∠BGF=90°，BG=BG, .△BGE≌△BGF. GE-GF-E :0G=OE+GE=号，即 G(o.-号) 在y=-x2中，令y=一 32 2 把B(39,-号)代人y=-3,得 3k-3= √2 号，解得6= 2 踪上所述，的值为或一) 0 ① (第16题) 第2课时 二次函数y=ax2+k 和y=a(r+h)2的图像和性质 1.D2.D3.y=3x2-2 4.(1)向上(2)0m<2 5.(1)易知点A的坐标为(5,0). 在y号-5y巾，令x=0,得y=6 .点B的坐标为(0,5) ,·抛物线的对称轴为直线x=5, ∴.点C的坐标为(10,5). (②)S6m=×10X5=25 (3)△ABC是等腰直角三角形， 理由：A(5,0)、B(0,5)、C(10,5) '.易得AB=AC=5√2，BC=10. AB2+AC2=(5√2)2+(5√2)2= 100=102=BC2, ,'.△ABC是等腰直角三角形 6.C7.A 8.B解析：当h<2时，由题意，得 -(2-h)2=-1,解得h1=1,h2=3 (不合题意，舍去)：当2≤h≤5时， y=一(x一h)2的最大值为0，不符合 题意：当h>5时，由题意，得一(5 h)2=一1，解得h3=4(不合题意，舍 去)，h4=6.综上所述，h的值为1 或6. 9.4解析：y1=-(x-4)2,.函 数y1=一(x一4)2的图像开口向下， 对称轴为直线x=4..y2=一（x一 3)2,∴.函数y2=-(x-3)2的图像 开口向下，对称轴为直线x=3.∴.当 x≥4时，y1、y2都随x增大而减小 ∴.m≥4..m的最小值为4. 10.y=一2(x-2)2解析：由题意， 得y=2※.x=-2x2.把P(1,c)代人， 得c=一2.∴.P(1,一2).设平移后所 得的图像对应的函数表达式为y= -2(x-b)2.把P(1,-2)代入，得 -2=一2(1-b)2,解得b=0(不合题 意，舍去)或b=2.∴.将该函数图像向 右平移，当它再次经过点P时，所得 的图像对应的函数表达式为y= -2(x-2)2. 11.8a解析：由题意，易得BD= BC=2.,∴.DC=4..y=a(x 2)2=a.x2-4ax+4a,..易得E(0, 4a)..S四边形ACm=S△AD十S△pE= 2DC.0E=2×4X4u=8a. 12.将抛物线y=2x2向右平移a个 (a>0)单位长度后，得到的抛物线对 应的函数表达式为y=2(x一a)2,则 A(a,0)、B(0,2a2). :△AOB为等腰直角三角形， ∴.a=2a2,解得a1=0(不合题意，舍 1 去)，a2=2· :u的值是子 13.(1)把A(1,b)代人y=2x,得 b=2. .A(1,2) 把A(1,2)代人y=a.x2+3,得2= a+3,解得a=-1. (2)把B(m,4)代人y=2x,得4= 2m,解得m=2. B(2,4). 由(1)，得抛物线对应的函数表达式为 y=-x2+3. C为抛物线y=一x2十3的顶点， .C(0,3) .0C=3. ×3× .S△Ax=S△0C-S△0Ac=2 2×3×1=号 3 (3)设点C关于x轴的对称点为C, 则点C的坐标为(0，-3). 连接AC',交x轴于点P,此时PA+ PC的值最小 设直线AC'对应的函数表达式为y= kx+n. 把A(1,2)C'(0,-3)代入，得 k+n=2, k=5, 解得 n=-3, {n=-3. .y=5x-3. 3 当y=0时，5x-3=0,解得x= ·点P的坐标是（停，0） 14.D解析：如图，过点A作AM⊥ y轴于点M,过点C作CN⊥y轴于 点N,则∠DMA=∠CND=90°. :点A、C在抛物线y=一x2十4上， A、C两点的横坐标分别为m、n(m> n>0),∴.点A的坐标为(m,-m2十 4),点C的坐标为(，一n2+4). 3 .'AM=m;MO=-m2+4,CN=n, NO=一n2+4..四边形ABCD是 正方形，∴.AD=CD,∠ADC=90. ∴.∠CDN+∠ADM=∠ADM+ ∠DAM=90.∴.∠CDN=∠DAM. 在△CDN和△DAM中， ∠CND=∠DMA, ∠CDN=∠DAM,∴.△CDN≌ CD-DA △DAM.∴.CN=DM=n,DN= AM=m..MN=DN+DM=m+ n.又MN=NO-MO=m2-n2, .m2-n2=m十，即(m十n)(m n)=m十2.：m>n>0,∴.m十n≠ 0.∴.m-n=1. (第14题) 15.(1)抛物线的对称轴为y轴. (2):抛物线y=ax2-1与y轴交 a 于点A, Ao,月 :点A关于x轴的对称点为B, B(o,) (3)当a>0时，如图①. 1 ①若抛物线经过点P,则a一 a 。,解得u=厄或a=一厄（不合题 意，舍去) ②若抛物线经过点Q,则9a一 a 1 0,解得a=3或a=-3(不合题意， 舍去) ·由图①，知当行<a≤厄时，抛物 线与线段PQ恰有一个公共点. 当a<0时，如图②】 ①若抛物线经过点P,则a一 1 合解得a=-万或u=E(不合题 意，舍去 ②若抛物线经过点Q,则9u一1 0,解得a=-子或a=子（不合题意， 舍去). 由图@，知当-2<a≤-号时， 抛物线与线段PQ恰有一个公共点. 综上所述，若抛物线与线段PQ恰有 一个公共点，则a的取值范围是子≤ a<反或-i<a<-子 ② (第15题) 第3课时二次函数y=a(x+ h)2+k的图像和性质 1.D2.D3.答案不唯一，如 y=-(x-1)2+3 4.(1)y=-(x-6)2-2. (2)y=-(x-6)2-2, '.平移后得到的抛物线开口向下，顶 点坐标为(6，一2)，对称轴为直线 x=6. (3):抛物线开口向下、对称轴为直 线x=6, .当x<6时，y随x增大而增大；当 x>6时，y随x增大而减小 5.C解析：，抛物线y=2(x 1)2十m的对称轴为直线x=1,.点 A到对称轴的距离为1一（一2）=3， 点B到对称轴的距离为2一1=1，点 C到对称轴的距离为3一1=2.·在 y=2(x-1)2十m中，2>0，∴.抛物 线开口向上.：1<2<3，.y2< y3<y1. 6.B解析：抛物线y=a(x-1)2-a 的对称轴为直线x=1,顶点坐标为 (1,一a).①当a>0时，在一1x≤4 上，函数有最小值一a.:y的最小值 为-4，∴.一a=-4,解得a=4.②当 a<0时，在一1≤x4上，函数有最 小值，此时x=4.”y的最小值为 1 -4,.9a-u=-4,解得a=- 综上所述，a的值为4或一2 7.C解析：：抛物线的对称轴为直 线x=3,开口向下，∴.当x>3时，y 随x增大而减小.，当t<x<5时，y 随x增大而减小，∴.315. 8.-1≤y≤3 解析：抛物线y=一3(x一 2m)2十m-3的顶点坐标为(2m,m 3).将其代人y=2x-1,得m-3= 2X2m-1,解得m=-3, 10.8解析：：A(m,2024)、B(m+ n,2024)是抛物线y=一(x一h)2+ 2040上的两点，.一(m-h)2十 2040=2024,-(m+n-h)2+ 2040=2024...(m-h)2=16,(m+ n-h)2=16..∴.m-h=士4，m+ m-h=4, h=士4，即 或 m+n-h=-4 (m一h=-4, ∴.n=-8或n=8. m+-h=4. n为正数，.n=8. 1.-多<a<0解析：过点M 作x轴的平行线交抛物线于P、Q两 点，.a<0.当抛物线过点A(3,-4) 3 时，-4=a(3-1)2+2,.a=-2: 由题意，得当抛物线与线段AB没有 交点或经过点A时符合要求，即 a≥--<u<0. 4 12.如图所示. 9 8 y=-(x-2)2+7 6 5 2 y=-(x+1)+4 :1- 方43-212345文 (第12题) 13.(1)把A(2,0)代入y=a(x- 4)2+2,得(2-4)a+2=0,解得 1 “a的值为-之 (2)由(1)，可知二次函数的表达式为 1 y=-2(x-4)2+2. .该函数图像的对称轴为直线 x=4. .C(4,0). 令x=0,得y=-6. .B(0,-6) .∴.OB=6. A(2,0), ∴.AC=4-2=2. 1 1 ·S△x=2AC·OB=2X2X 6=6. 14.D解析：易知抛物线y=a(x一 5)2+9的顶点坐标为(5,9).当 7<m<8时，总有n<1,.a<0. .当x<5时，y随x增大而增大；当 x>5时，y随x增大而减小.，当 3<m<4时，总有n>1;当7<m<8 时，总有n<1,∴.当m=3时，n≥1： 当m=7时，n≤1.. 4a+9≥1·则 4a+9≤1， 4a十9=1..∴.a=-2. 15.(1)y=a(x-m)2+2m+2, 抛物线的顶点P的坐标为(m, 2m+2). 设x=m,y=2m+2. ∴.y=2x+2. '.抛物线的顶点P一定在直线y= 2x十2上，即无论m为何值，顶点P 一定在一条直线上 (2)①当m=1时，y=a(x 1)2+4, .抛物线的顶点P的坐标为(1,4)， 对称轴为直线x=1. ,a<0, .抛物线的对称轴上的点(1,1)、(1， 2)、(1,3)必在区域内. 当点(0,3)在抛物线上时，得a十4= 3,解得a=1,此时y=一(x 1)2+4. 令x=-1,得y=-(-1-1)2+ 4=0. ∴.当一1≤x<0时，区域内不存在 “整点” 易知点(0,1)、(0,2)在区域内. 由抛物线的对称性，可知点(2,1)、 (2,2)也在区域内. ∴.7个“整点”的坐标分别为(1,1)、 (1,2)、(1,3)、(0,1)、(0,2)、(2,1)、 (2,2). .在y=a(x-1)2+4中，令x=0, 得y=a十4. .易得2<a+4≤3 .-2<a-1. ②.抛物线y=a(x-m)2+2m十2 的对称轴为直线x=m,A(一1,0)、 B(n,0), .-1十n=2m. .'.n=2m+1. .B(2m+1,0). :点P在第一象限内， ∴.m>0. 设直线PB对应的函数表达式为y= kx十b(k≠0) 将P(m,2m+2)、B(2m+1,0)代入， mk+b=2m+2, 得 (2m+1)k+b=0, k=一2， b=4m+2. .y=-2x+4m+2 当点(1,3)在直线PB上时，-2十 4m十2=3，解得m=是 ∴.y=-2x+5 此时点(2,1)也在直线y=一2x十 5上 .△OBP内（不含边界）有2个“整 点”(1,1)、(1,2). '.在y=一2x+4m+2中，令x=1, 得y=-2+4m+2=4m. ∴.2<4m3. 第4课时二次函数y=ax2+ bx+c的图像和性质 1.B2.D3.14.-1<a≤1 5.(1)图像与y轴的交点坐标为 (0,6), .∴.0+0+3a=6. ..a=2. (2)y=x2-2a.x+3a=（x a)2-a2+3a, '.其图像的对称轴是直线x=a. 又·函数图像关于直线x=1对称 .a=1. .函数的表达式为y=x2-2x十3. (3):二次函数y=x2-2a.x+3a= (x-a)2-a2+3a的图像的顶点坐 标为(m,n), ∴.n=-a2+3a=-（ -)°+ -(a-)≤0， 。的最大俏为是 6.A解析：由一次函数的图像经过 第二、三、四象限，得出a0,b0,则 二次函数y=a.x2+bx+2的图像开 b∠ 口向下，且对称轴为直线x=一 0,故选项A符合题意：由一次函数的 图像经过第二、三、四象限，得出a< 0,b<0,则二次函数y=a.x2+bx十2 的图像开口向下，且对称轴为直线 -之<0，故选项B不符合题意： x-2a 由一次函数的图像经过第一、二、三象 限，得出a>0,b>0,则二次函数y= a.x2+bx十2的图像开口向上，且对称 抽为直线x=一会<0.故选项心不 符合题意；由一次函数的图像经过第 二、三、四象限，得出a<0,b<0,则二 次函数y=a.x2十bx+2的图像开口 5 向下，且对称轴为直线x=一乡<0， 2a 故选项D不符合题意 7.B解析：由题意，得y=x2 2m.x+m2+2m-1=(x-m)2+ 2m一1，.顶点坐标为(m,2m-1). 令x=m,y=2m-1,得y=2x-1. ∴.顶点在函数y=2x一1的图像上 2>0,-1<0,∴函数y=2x-1 的图像过第一、三、四象限，不过第二 象限..顶点一定不在第二象限. 8.B解析：将二次函数y=ax2 8a.x+2=a(x一4)2+2-16a的图像 向左平移m个(m>0)单位长度后，得 到的图像对应的函数表达式为y= a(x一4+m)2+2-16a..平移后的 图像经过点(5,2)，a≠0，m>0, ∴.a(5-4十m)2十2-16=2.整理， 得(1+m)2=16,解得m=3或 m=一5（不合题意，舍去）.∴.m=3. 9.A解析：：y=一x2+2mx+ m=一(x一m)2+m2十m,∴.抛物线 开口向下，对称轴为直线x=m,顶点 坐标为(m,m2+m)..当x<m时， y随x增大而增大.，当-2<x<1 时，y随x增大而增大，.m≥1. ∴.m2+m>0.∴.抛物线的顶点(m, m2十m)在第一象限. 10.8解析：y=x2-6.x十17= (x一3)十8，∴.抛物线的顶点坐标为 (3,8)..AC长的最小值为8.四 边形ABCD是矩形，∴.BD=AC. '.BD长的最小值为8. 11.m<1解析：抛物线y= a.x2+bx十c(a>0)经过点C(2-n, 1)、D(2,1),∴.抛物线开口向上，对 称轴为直线x=2一十”=1，：抛物 2 线y=a.x2十bx十c(a>0)经过点 A(3-m,y1)、B(m+1,y2),且y1 y2,.点A(3一m,y1)到对称轴的距 离大于点B(m+1,y2)到对称轴的距 离..3-m-1>m+1-1. .m1. 12.(1)4y40解析：.y= x2-4x十8=（x-2)2+4,.该二次 函数图像的对称轴为直线x=2. :1>0,∴.当x=2时，y取得最小 值，最小值为4：当-4≤x<2时，y随 x增大而减小：当2<x≤3时，y随x 增大而增大.当x=一4时，y=40:当 x=3时，y=5.∴.当-4≤x≤3时，y 的最大值为40.∴.当-4≤x≤3时，y 的取值范围是4≤y≤40. (2)①②④解析：①当x=t时， y=t2-2t+m<m,∴.t(t-2)<0. t>0, t<0, 1-2<0或，-220. 或 ∴.0t<2. 故①一定正确.易知y=x2一2x十 m=(x-1)2+m-1.②当x=t-3 时，y=(t-4)2-1+m.0<t<2, .-4<1-4<-2.∴.(t-4)2-1> 0,即y>m.故②一定正确.③当x= t+1时，y=t2-1+m.由0<t<2, 得t2-1不一定小于0，故y<m不一 定成立.故③不一定正确.④当x t十2时，y=t2十2t十m,该抛物线开 口向上，对称轴为直线t=一1..当 0<t<2时，y随t增大而增大.当 t=0时，y=m;当t=2时，y=m十8， ∴.当x=t+2(0<t<2)时，m<y< m十8，故④一定正确.综上所述，一定 正确的是①②④. 13.(1)将A(0,3)代人y=-x2 3x+1,得1=3. .抛物线对应的函数表达式为 y=-x2-3x+3. (2)点P(,n)在抛物线y= -x2一3x十3上， ∴.n=-m2-3m+3. ∴.m十n=-m2-2m+3=-(m十 1)2+4. .当m=一1时，m十n取得最大值， 最大值为4. 14.(1)y=x2+x+1=（x+ 》+ .二次函数y=x2+x十1的图像的 顶点坐标为(-弓，)： ∴.二次函数y=x2+x十1的一个 “同倍项二次函数”的图像的顶点坐标 为(-1号) .二次函数y=x2十x十1的一个 “同倍项二次函数”的表达式可以为 y=(x+12+号（答案不唯一. (2):y1=x2+x=（x+ )-, .二次函数y1的图像的顶点坐标 为（受）》 ,y1+y2=x2+x十x2+31x+1= 2x2+4nx+1=2(x+n)2+1-2n2, .二次函数y1十y2的图像的顶点坐 标为（一，1一2n2). :y1+y2是y,的“同倍项二次 函数”， “1-2m2=2×(),解得n 15.A解析：a-b+c=0,9a+ 3b+c=0,.在y=a.x2+bx+c中， 当y=0时，x=一1或x=3.∴.图像 的对称轴为直线工=3+G一卫=1. 2 ∴图像的顶点只可能在第一象限或 第四象限.b>0,.a<0.当图 像的顶点在第四象限时，该图像与 x轴没有交点，∴.图像的顶点在第一 象限. 16.(1):抛物线y=a.x2-(b+ 2)x一a十b+6(a<0,a、b均为常数) 经过点(3,4)， ∴.9a-3(b+2)-a+b+6=4. ..b=4a-2. ∴.该抛物线的对称轴为直线x= -(b十22=2. (2),b=4a-2, .y=a.x2-4a.x+3a+4=a(x 2)2-a+4. ,函数y的最大值为5，a<0, .-a十4=5，解得a=-1. 令x=0,得y=3a十4=1. .该抛物线与y轴的交点坐标是 (0,1). (3)y=a(x-2)2-a+4(a<0), 6 .抛物线开口向下. ·0≤x3, ∴.易知当x=2时，函数y的值最大， 此时y=4一a,即m=4一a:当x=0 时，函数y的值最小，此时y=3a十4， 即n=3a+4. ..3m+n=12-3a+3a+4=16. 5.3用待定系数法确定 二次函数表达式 1.D2.y=-x2+4x+33.答案 不唯一，如y=一(x十1) 4.(1):二次函数图像的对称轴是 1 直线x=一2’ .可设二次函数的表达式为y= (+)'+ 把A(-2,5)代人，得(-2+2)广+ 及=5，解得长丹 .二次函数的表达式为y= (+2)》+号=++8 (2)根据题意，得点B平移后的点的 坐标为(1-m,9)(m>0). ,该点恰好落在函数y=x2十x十3 的图像上， .9=(1-m)2+(1-m)+3,解得 m=4或m=一1（不合题意，舍去）. .m的值为4. 5.B解析：·抛物线y=x2十 (3m一1)x一3m(m>0)的最低点的 纵坐标为-4，.4如c一D=一，即 Aa 4×1×(-3m)-(3m-1D=-4,解 4×1 得0，=1m:=一号〔不合题意，舍 去).∴.m=1..该抛物线对应的函 数表达式为y=x2+2x-3. 6.D解析：.y=ax2一6a.x+3 (a<0),∴.二次函数的图像开口向 下，对称轴为直线x=3.:当2≤x≤ 5时，8≤y≤12，∴.当x=3时，y取 得最大值12.∴.12=9a-18a十3，解 得a=-1. 7.C解析：由题意，得拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 5.2 二次函数的图像和性质 第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质>“答案与解析"见P1 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.对于抛物线y=2x和y= 2x2在同-平 6.二次函数y=a.x2和一次函数y=a.x十a (a≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图像 面直角坐标系中的位置，下列说法中错误 可能是 的是 ( A.两条抛物线关于x轴对称 B.两条抛物线关于原点对称 木尔头 C.两条抛物线关于y轴对称 D D.两条抛物线的公共点为原点 7.如图，正方形OABC与抛物线y=- 4x相 2.若二次函数y=ax2的图像经过点P(4,3), 交于点B(m,一1)，则正方形OABC的面 则该图像必过点 ( 积为 () A.(4,-3) B.(3,-4) C.(-4,3) D.(-3,4) A.1 3 B.2 C. 2 D.3 3.(2024·德州段考)如图，正方形的边长为 √6，以正方形的中心为原，点建立平面直角坐 D 标系，作出函数y=3x2与y=一3x2的图 3求3衣 像，则图中涂色部分的面积是 2A B C (第7题) (第8题) 8.新考向·学科内综合如图，正方形ABCD的边 长为10，分别以正方形的顶点A、B、C、D为 圆心画四个全等的圆.若圆的半径为x,且 y=ax (第3题) (第4题)》 O<x≤5，阴影部分的面积为y,则能反映y 4.四个二次函数的图像如图所示，则a1、a2、a3、 与x之间的函数关系的图像大致是( ) a4的大小关系是 (用>”连接)。 y y y 25π 25π 25π 5.已知二次函数y=a.x2,当x=3时，y=3. (1)当x=一2时，求y的值 05 05x0510x05x (2)写出它的图像的开口方向、对称轴和顶 A. B. C. 点坐标. 9.已知点A(-1,y1)、B(-√2，y2)、C(-2, y3)在函数y=(m2+1)x2的图像上，则y1、 y2y3的大小关系是 (用“<” 连接). 10.若二次函数y=(m+1)xm的图像开口向 下，则m的值为 第5章二次函数 11.若二次函数y=a.x(a≠0)的图像开口向上，思维拓展 则直线y=a.x一1经过第 象限 15.*新考法·探究题如图，正方形四个 12.如图，在平面直角坐标系中， 顶点的坐标依次为(1,1)、(3,1)、 点A、E在抛物线y=a.x2上， (3,3)、(1,3).若抛物线y=ax2与 过点A、E分别作y轴的垂 正方形有公共点，则实数a的取值范围是 线，交抛物线于点B、F,分别 () 过点E、F作EF的垂线交线 (第12题) 段AB于C、D两点，点E的坐标为(2,4) 若四边形CDFE为正方形，则线段AB的 长为 013x 13.已知抛物线y=ax2与直线y=2x-3交于 (第15题) 点(1，b). a B长aa (1)求a、b的值， (2)抛物线y=ax2上是否存在一点P,使 C.3≤a≤3 其到两条坐标轴的距离相等？若存在，求出 16.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx一3 点P的坐标；若不存在，请说明理由、 与抛物线y=一x2相交于A、B两点（点A 在点B的左侧)，点B关于y轴的对称点 为B (1)当k=2时，求A、B两点的坐标. (2)连接OA、OB、AB'、BB'.若△B'AB的 面积与△OAB的面积相等，求k的值 14.如图，二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数 y=kx一2(k≠0)的图像相交于A、B两点， 且点A的坐标为(-1，一1)，连接OA、OB, (第16题) 求△OAB的面积. y (第14题) 5 拔尖特训· 数学（苏科版）九年级下 第2课时 二次函数y=ax2+k和y=a(x+h)2的 图像和性质 “答案与解析”见P2 自基础进阶 幻素能攀升 1.抛物线y=x2一2的顶点坐标是 6.(2025·安庆二模)一次函数y=ax十c和二 A.(-2,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-2) 次函数y=ax2十c在同一平面直角坐标系中 2.已知二次函数y=(x十5)，则下列说法中， 的大致图像为 不正确的是 A.二次函数的图像开口向上 B.二次函数图像的对称轴是直线x=一5 C.二次函数图像的顶点坐标为（一5,0） D.当x<一5时，y随x增大而增大 3.(2025·上海)抛物线y=3x2向下平移2个 单位长度所得的抛物线对应的函数表达式为 D. 4.(1)已知抛物线y=a(x+m)2(m为常数) 7.将抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x十 的顶点在y轴的右侧，且am<0,则此抛物线 2),则这个平移过程是 () 开口 (填“向上”或“向下”). A.向左平移2个单位长度 (2)若二次函数y=m.x2+m一2(m≠0)的 B.向右平移2个单位长度 图像的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上， C.向上平移2个单位长度 则m的取值范围是 D.向下平移2个单位长度 5如图，地物线y=}红-5)产的顶点为A,抛 8.已知二次函数y=一(x一h)2(h为常数)，当 2≤x≤5时，y的最大值为一1，则h的值为 物线与y轴交于点B,过点B作x轴的平行 () 线，交抛物线于另外一点C,连接AB、AC. A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6 (1)写出A、B、C三点的坐标 9.当x≥m时，函数y1=-(x-4)2和函数 (2)求△ABC的面积. y2=一(x一3)的函数值都随x增大而减 (3)试判断△ABC的形状，并说明理由， 小，则m的最小值为 10.新考法·阅读理解定义运算“※”：a※b -ab2,如1※(-2)=-1×(-2)2=-4.已 知函数y=2※x的图像过点P(1,c),将该 0 函数图像向右平移，当它再次经过点P时，所 (第5题) 得的图像对应的函数表达式为 11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a.x2 (a>0)与抛物线y=a(x-2)2交于点B, 抛物线y=a(x一2)交y轴于点E,过点 6 第5章二次函数 B作x轴的平行线，与 粉思维拓展 两条抛物线分别交于C、 14.(2024·南通崇川段考)如图，正方 D两点，A是x轴上的 形ABCD的顶点A、C在抛物线 一点，且位于两条抛物线 y=一x2+4上，点D在y轴上.若 的顶点之间，连接AD、 (第11题) A、C两点的横坐标分别为m、n(m>n> AC、EC、ED,则四边形ACED的面积为 0),则下列结论中，正确的是 () (用含a的代数式表示). 12.如图，将抛物线y=2x2向右平移a个(a> 0)单位长度，顶点为A,与y轴交于点B.若 △AOB为等腰直角三角形，求a的值， (第14题) A.m+n=2 B.2m-n=1 C.m+21=2 D.m-n-1 A 15.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2_1 (第12题) 与y轴交于点A,点A关于x轴的对称点 为B. (1)直接写出抛物线的对称轴， (2)求点B的坐标（用含a的代数式表示）. 13.如图，正比例函数y=2x的图像与 (3)已知点P1,君Q(3.0.若抛物线与 抛物线y=ax2+3相交于点A(1, 线段PQ恰有一个公共点，求a的取值 b),C为抛物线的顶点，连接AC. (1)求a、b的值. 范围. (2)若点B(m,4)在函数y=2x的图像上， 连接BC,求△ABC的面积 (3)若P是x轴上的一个动点，当PA+ PC的值最小时，求点P的坐标， 2-1/01 (第13题) 拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 第3课时 二次函数y=a(x十h)2十k的图像和性质>“答案与解析"见P4 自基础进阶 幻素能攀升 1.关于x的二次函数y=一(x一1)2+2，下列 5.(2024·长沙期末)若点A(-2,y1)、B(2, 说法中正确的是 ( y2)、C(3,y3)在抛物线y=2(x-1)2+m A.图像的开口向上 上，则y1、y2y3的大小关系是 ( B.图像与y轴的交点坐标为(0,2) A.yi<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.图像的顶点坐标是(-1,2) C.y2<y3<y1 D.y3<y2<y1 D.当x>1时，y随x的增大而减小 6.分类讨论思想(2025·温州二模)已知二次函 2.(2025·上海崇明三模)将抛物线y= 数y=a(x-1)2-a(a≠0)，当-1≤x≤4 一3x2+2向左平移1个单位长度，再向下平 时，y的最小值为一4，则a的值为 （) 移3个单位长度后所得到的抛物线对应的函 数表达式为 入该4 以4成吉 ( A.y=-3(x-1)2-3 C我4 D方号 B.y=-3(x-1)2-1 7.已知抛物线y=一(x一3)2+5，当 C.y=-3(x+1)2-3 t<x<5时，y随x增大而减小，则 D.y=-3(x+1)2-1 实数t的取值范围是 ( 3.写出一个二次函数，其图像满足：①开口向 下；②顶点坐标是(1,3).这个二次函数的表 A.-3<t≤0 B.0<t≤3 达式可以为 C.3≤t<5 D.t≤-3 4.将抛物线y=一(x一3)2先向下平移2个单 8.如图所示为二次函数y= 位长度，再向右平移3个单位长度. (x-1)2-1的部分图像(0≤ (1)平移后得到的抛物线对应的函数表达式 x≤3)，则y的取值范围是 0 23 为 (第8题) (2)写出平移后得到的抛物线的开口方向、 9.若抛物线y=一3(x一2m)2+m一3的顶点 顶点坐标和对称轴， 在直线y=2x-1上，则m= (3)对于平移后得到的抛物线，当x取何值 10.已知A(m,2024)、B(m十n,2024)是抛物 时，y随x增大而增大？当x取何值时，y随 线y=一(x一h)+2040上的两，点，则正数 x增大而减小？ n= 11.已知A、B两点的坐标分别为(3，一4)、 (0,一2)，线段AB上有一动点M(m,n),过 点M作x轴的平行线交抛物线y=a(x 1)十2于P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点.如果 总有x1<m≤x2,那么a的取值范围是 8 第5章二次函数 12.如图所示为二次函数y=一(x十1)+4的物思维拓展 图像，请在同一平面直角坐标系中画出二次 14.已知点P(m,n)在抛物线y= 函数y=-(x-2)2+7的图像. a(x-5)2+9上.当3<m<4时， 总有n>1;当7<m<8时，总有 n<1,则a的值为 () 6 A.1 B.-1C.2 D.-2 2 15.已知抛物线C:y=a(x-m)2+2m+2(a< y=-(x+1)2+4/ 0)与x轴交于点A、B,抛物线的顶点为P. 5-43-2-1012345x (1)求证：无论m为何值，顶点P一定在一 (第12题) 条直线上 13.新考向·学科内综合如图，二次函数y= (2)在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐 a(x一4)2+2(a≠0)的图像经过点A(2,0. 标都是整数的点称为“整点”， (1)求a的值. ①若m=1,抛物线与x轴围成的区域内 (2)若二次函数的图像与y轴相交于点B, (不含边界)有7个“整点”，求a的取值 且该二次函数图像的对称轴与x轴交于 范围. 点C,连接BA、BC,求△ABC的面积. ②若点A的坐标为（一1,0），点B的坐标 为(n,0),点P在第一象限内，O为坐标原 点，连接OP、PB,△OBP内（不含边界）有 2个“整点”，求m的取值范围. (第13题) 拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 第4课时」 二次函数y=ax2+bx十c的图像和性质>“答案与解析"见P5 自基础进阶 素能攀升 1.已知点A(a-1,一1)与点B(2,b+3)关于原 6.在同一平面直角坐标系中，函数y=a.x十b 点对称，则抛物线y=a.x2+bx+3的顶点坐 和函数y=a.x2+bx十2(a是常数，且a≠0) 标是 的图像可能是 A.(1,4) B.(-1,4) C.(1,-4) D.(-1,-4) 2.(2025·陕西期中)已知二次函数y=一x2+ 2mx十n(m、n为常数)，当x<2时，y随x 增大而增大，则的取值范围是 ( A.m<2 B.m>-2 C.m≤2 D.m≥2 3.如果二次函数y=x2+2x一m十2的图像的 顶点在x轴上，那么m的值是 4.已知二次函数y=一x2+2x,且当-1<x< 7.抛物线y=x2-2mx十m2+2m一1的顶点 a时，y随x增大而增大，则a的取值范围是 定不在 () A.第一象限 B.第二象限 5.在平面直角坐标系中，已知二次函数y= C.第三象限 D.第四象限 x2一2a.x+3a的图像的顶点坐标为(m,n). 8.二次函数y=a.x2-8ax十2的图像向左平移 (1)若图像与y轴的交点坐标为(0,6)，求a m个(m>0)单位长度后过点(5,2)，则m的 的值 值为 () (2)若函数图像关于直线x=1对称，求函数 A.2 B.3 C.4 D.5 的表达式 9.已知抛物线y=一x2+2m.x十m,且当-2< (3)求n的最大值. x<1时，y随x增大而增大，则此抛物线的 顶点在 () A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.新考向·学科内综合如图，在y↑ 平面直角坐标系中，A是抛 物线y=x2一6.x+17上的 一个动点，过点A作AC B 0 C x轴于点C,以AC为对角 (第10题) 线作矩形ABCD,连接BD, 则BD长的最小值为 10 第5章二次函数 11.已知抛物线y=ax2十bx+c(a>0)经过点 二次函数y2=x2+3m.x+1.若y1+y2是 A(3-m,y1)、B(m+1,y2)、C(2-n,1)、 y1的“同倍项二次函数”，求n的值. D(n,1),且y1>y2,则实数m的取值范围 是 12.(1)已知二次函数y=x2一4x+8,则当 一4≤x≤3时，y的取值范围是 (2)已知二次函数y=x2一2x十 m,当x=t时，y<m.有下列说 法：①0<t<2;②当x=t一3时， y>m;③当x=t+1时，y<m;④当x t+2时，m<y<m十8.其中，一定正确的是 (填序号) 思维拓展 13.已知抛物线y=一x2一3x十t经过点A(0,3). 15.已知a-b+c=0,9a+3b+c=0.如果b> (1)求抛物线对应的函数表达式. 0,那么二次函数y=ax2十bx十c的图像的 (2)若点P(m,n)在该抛物线上，求m+n 顶点在 () 的最大值. A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 16.已知抛物线y=a.x2-(b+2)x a十b十6(a<0,a、b均为常数)过 点(3,4). (1)求a、b之间的数量关系及该抛物线的 对称轴 (2)若函数y的最大值为5，求该抛物线与 y轴的交点坐标 (3)当自变量x满足0≤x≤3时，记函数y 的最大值为m,最小值为n,求证：3m十 n=16. 14.新考法·阅读理解设二次函数y1、y2的图像 的顶点坐标分别为(a,b)、(c,d).若a=2c, b=2d,且两个函数的图像开口方向相同， 则称y1是y2的“同倍项二次函数” (1)写出二次函数y=x2+x+1的一个“同 倍项二次函数”， (2)已知关于x的二次函数y1=x2十nx和 11