5.4 二次函数与一元二次方程-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 5.4二次函数 第1课时二次函数与一元 自基础进阶 1.已知二次函数y=x2-2m.x+m2+3(m是 常数)，则该函数的图像与x轴的公共点的情 况为 A.有两个公共点B.有一个公共点 C.没有公共点 D.无法判断 2.已知关于x的一元二次方程x2+2x十c=0 没有实数根，则抛物线y=x2一2x十c的顶 点所在的象限是 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.（1)(2025·连云港赣榆三模)关于x的二次 函数y=x2一2mx十m2十m一4(m是常数) 的图像与x轴只有一个公共点，则m的值为 (2)若抛物线y=(k一1)x2一x+1与x轴 有交点，则k的取值范围是 4.已知二次函数y=x2一4x十k的图像的顶点 在x轴的下方，则实数k的取值范围是 5.(2024·南京玄武二模)已知二次函数y= 一x2+2mx十4一m(m为常数). (1)求证：该二次函数的图像与x轴总有 两个公共点 (2)设该函数图像的顶点为C,与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点D,当△ABC的面 积与△ABD的面积相等时，求m的值. 14 与一元二次方程 次方程之间的关系 “答案与解析”见P8 司素能攀升 6.关于二次函数y=x2一2m.x一3，有下列说 法：①它的图像与x轴有两个公共点：②若 当x≤2时，y随x增大而减小，则m=2;③若 将它的图像向左平移3个单位长度后经过原 点，则m=一1；④若当x=1时的函数值与 当x=2023时的函数值相等，则当x=2024 时的函数值为一3.其中，正确的有（) A.1个B.2个C.3个D.4个 7.(2025·南京模拟)如图所示为二次函数y= ax2+bx+c的图像，若关于x的方程ax2+ bx+c=m总有一正一负两个实数根，则m 的取值范围是 () A.m>3B.m<3C.m≥3D.m≤3 03 (第7题) (第10题) 8.关于x的函数y=ax2一ax十3x十1的图像 与x轴只有一个公共点，则a的值为() A.0 B.1或9 C.0或9 D.0或1或9 9.（1)(2025·镇江模拟)若二次函数y= mx2+2m,x+c(m≠0)的图像过点A(3,0), 则关于x的一元二次方程mx2+2mx十c=0 的两个根为 (2)(2025·南通海安段考)在平面直角坐标 系中，将抛物线y=(x十2)(x一3)十5向下 平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两 个公共点P、Q,则PQ= 10.新考法·探究题(2024·深圳福田模拟)函数 y=|x2一4的大致图像如图所示，若方程 |x2一4|=m(m为实数)恰有3个 不相等的实数根，则m的值为 11.已知关于x的函数y=(m+6)x2+2(m一 1)x十m十1的图像与x轴有交点，则m的 取值范围是 12.已知二次函数y=一x2一4x十m. (1)若该二次函数的最大值为2m,求m 的值. (2)若该二次函数的图像向右平移2个单 位长度，向下平移4个单位长度后得到的新 图像与x轴有2个交点，求m的取值范围. 13.已知二次函数y=一x2十bx一c的 图像与x轴的交点的坐标分别为 (m-2,0)和(2m+1,0). (1)求b和c的值（用含m的代数式表示）. (2)若当一2≤x≤1时，y的最大值为1，求 m的值. 第5章二次函数 思维拓展 14.(2025·宿迁泗洪三模)二次函数y=x2+ bx十3的图像过点A(2,3),若关于x的一 元二次方程x2十bx=t一4(t为实数)在 一1<x<4的范围内有实数根，则t的取值 范围是 A.6<t<11 B.2≤t<11 C.3≤t<12 D.3t<7 15.已知抛物线y=m.x2十3m.x+n与 y轴交于点A. (1)抛物线的对称轴为直线x= (2)若抛物线恒在x轴的下方，且符合条件 的整数m只有三个，求n的最小值， (3)若点A的坐标是(0,1)，且当一2m< x<n时，抛物线与x轴只有一个公共点，求 m的取值范围. 15 拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 第2课时 用二次函数的图像解一元二次方程◆“答案与解析”见9 自基础进阶 们的交点的横坐标就是该方程的解. 1.二次函数y=a.x2十2ax-b(a≠0)的部分图 (1)请再给出一种利用图像求方程x2 像如图所示.由图像可知，关于x的一元二次 2x一1=0的解的方法. 方程ax2+2ax一b=0的一个近似根是x≈ (2)如图所示为函数y=x3的图像，求方程 1.3,则另一个近似根是 ( x3一x一2=0的近似解（精确到0.1）. A.x≈-1.3 B.x≈-2.3 C.x≈-0.3 D.x≈-3.3 4-3-201234 0 -1012/3 -4-3-2-1 -3 1y2 y=x -4 (第5题) (第1题) (第3题) 2.(2025·泰州泰兴三模)已知二次函数y= 4ax十c中部分x和y的值见下表： 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 -5.6 -3.1 -1.5 0.9 1.8 则方程ax2一4a.x+c=0的两根中较大的根 的范围是 ( ) A.0.11x<0.12B.0.12<x<0.13 幻素能攀升 C.3.87<x<3.88D.3.88<x<3.89 6.二次函数y=x2+bx的图像如图所示，对称 3.在平面直角坐标系中，二次函数y=a.x2十 轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程 bx十c(a、b、c是常数，a>0)的部分图像如图 x2十bx一t=0(t为实数)在一3<x<3的范 所示，直线x=1是它的对称轴.若一元二次 围内有解，则t的取值范围是 () 方程a.x2+bx十c=0的一个根x1的取值范 A.t≥1 B.-1≤t<8 围是2<x1<3,则它的另一个根x2的取值 C.3<t<15 D.-1≤t<15 范围是 4.如果关于x的一元二次方程a.x2一3.x一1=0 的两个不相等的实数根都在一1和0之间 (不包括一1和0)，那么a的取值范围是 02 (第6题) (第7题) 5.利用图像解一元二次方程x2一2x一1=0时， 7.函数y=ax2十bx+c(a、b、c为常数且a≠0) 常常采用数形结合的方法，在平面直角坐标 的部分图像如图所示.已知图像过点（一1， 系中画出抛物线y=x2和直线y=2x十1，它 0),对称轴为直线x=2,方程a(x+1)(x 5)=一3的两根分别为x1和x2,且x1<x2, 则下列结论中，正确的是 ) A.x1<-1<5<x2B.x1<-1<x2<5 C.-1<x1<5<x2D.-1<x1<x2<5 8.类比一元一次方程的解可以看成是两条直线 的交点的横坐标，一元二次方程x2十x一3 0的解可以看成是抛物线y=x2十x一3与直 线y=0(x轴)的交点的横坐标，也可以看成 是抛物线y=x2与直线y= 的交点 的横坐标；还可以看成是抛物线y 与直线y=一x的交点的横坐标！ 9.可以用如下方法求方程x2一2x一2=0的实 数根的范围：利用函数y=x2一2x一2的图 像，可知当x=0时，y<0;当x=一1时，y> 0.因此方程x2一2x一2=0的一个根在一1 和0之间. (1)根据上面的方法，求方程x2一2x一2=0 的另一个根在哪两个连续的整数之间. (2)若方程x2一2x十c=0有一个根在0和1 之间，求c的取值范围. 思维拓展 10.若m、n(n<m)是关于x的一元二 次方程1-(x-a)(x-b)=0的 两个根，且b<a,则m、n、b、a的大 小关系是 A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.b<n<ma D.n<b<a<m 第5章二次函数 1.二次函数y=x2十x的图像如图 所示。 (1)根据方程的根与函数图像和 x轴的交点之间的关系，将方程x2十x=1 的根在图上近似地表示出来（描点），并观察 图像，写出方程x2+x=1的根的近似值 (精确到0.1). (2)在同一平面直角坐标系中画出一次函 数yx+的图像，观察图像，写出自变 量x的值在什么范围内时，一次函数的值小 于二次函数的值， (3)①P是坐标平面上的一点，并在网格的 格点上，请选择一种适当的平移方法，使该 二次函数图像平移后得到的图像的顶点落 在点P处，并写出平移后得到的图像对应 的函数表达式 ②试判断点P是香在函数y=十的 图像上，并说明理由 012x (第11题) 17方法归纳 用分类讨论法确定函数最值 当函数图像的开口方向没有 确定时，需要根据条件分情况加以 讨论，从而确定问题的结论」 14.(1),二次函数的图像的顶点坐 标为(1，-4)， .可设二次函数的表达式为y= a(.x-1)2-4. .y=a.x2-2a.x+(a-4). 又y=a.x2-2x-c, .-2a=-2,a-4=-c. .a=1,c=3. .二次函数的表达式为y=x2 2x-3. (2)①y1>y2 理由：由(1)，知y=x2-2x-3, .y1-y2=(x一x2)(x1十x2） 2(x1-x2)=(x1-x2)[(x1十x2)-2]. :x1>x2x1十x2=3, .x1-x2>0,(x1+x2)-2=1>0. .y1-y2>0,即y1>y2. ②y1≤y2,y=x2-2x-3,x1十 x2=k, .y1-y2=(x1-x2)[(x1+x2) 2]=(x1-x2)(k-2)≤0. x1>x2, .x1-x2>0. .k-2≤0. .k≤2. 5.4二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次 方程之间的关系 1.C2.A34(26≤是且 k≠14.k<4 5.(1),b2-4ac=(2m)2+4(4 m2)=4m2+16-4m2=16>0, .该二次函数的图像与x轴总有 两个公共点. (2),y=-x2+2m.x十4-m2= -(x-m)2+4, .C(m,4)、D(0,4-m2). .△ABC的面积与△ABD的面积 相等， '.4-m2=4,即m2-4=4或4- m2=4. ∴.m=士2√2或m=0. 6.B解析：①.b2一4ac (-2m)2-4×1×(-3)=4m2+12> 0,'.二次函数y=x2一2mx一3的图 像与x轴有两个公共点.故①正确。 ②当x2时，y随x增大而减 小，-二号m=m≥2.故②错误. 2 ③，二次函数y=x2-2m.x-3的 图像向左平移3个单位长度后经过原 点，∴.点(3,0)在二次函数y=x2 2mx一3的图像上.∴.9一6m一3=0. ∴.m=1.故③错误.④.当x=1时 的函数值与当x=2023时的函数值 相等，∴.二次函数y=x2-2m.x-3 的图像的对称轴为直线x=1012. 当x=0时，y=x2一2mx一3= -3,.当x=2024时，y=x2 2mx一3的函数值为一3.故④正确. 综上所述，正确的有①④，共2个， 7.A解析：如图，当m>3时，抛物 线y=a.x2+bx十c与直线y=m有 两个交点，且一个交点的横坐标为正， 另一交点的横坐标为负.当关于x 的方程a.x2+bx十c=m总有一正一 负两个实数根时，m的取值范围是 m>3. y=m (第7题) 8.D解析：关于x的函数y= a.x2一a.x十3x十1的图像与x轴只有 一个公共点，∴.当a≠0时，(-a+ 3)2-4a=a2-10a+9=0,解得a=1 或a=9:当a=0时，y=3x+1,其图 像与x轴只有一个公共点，符合题 意.综上所述，a的值为0或1或9. 9.(1)x1=-5,x2=3解析：，二 次函数y=m.x2+21.x十c=m(x+ 1)2一m十c(m≠0)，∴.该函数图像的 对称轴为直线x=一1.二次函数 y=m.x2+2mx十c(m≠0)的图像过 8 点A(3,0),∴.该函数图像与x轴的 另一个交点为(-5,0).∴.一元二次 方程mx2+2mx十c=0的两个根为 x1=一5，x2=3. (2)5解析：抛物线y=(x+2)(x 3)+5向下平移5个单位长度，所得 抛物线对应的函数表达式为y一(x十 2)(x一3).令(x+2)(x一3)=0，解得 x1=-2,x2=3,∴.PQ=3 (-2)=5. 10.4解析：对于函数y=x2一4， 令x=0,得y=4,函数y=x2 4的图像与y轴的交点坐标为(0， 4).方程|x2一4=m的实数根可以 看成函数y=|x2一4|的图像与直线 y=m的交点的横坐标.该方程恰 有3个不相等的实数根，∴.函数y x2一4的图像与直线y=m有3个 不同的交点.如图，当m=4时，两个 图像有3个不同的交点，∴.m的值 为4. 0 (第10题) 1.m≤-9解析：当m+6=0,即 m=一6时，此函数的表达式为y= 一14x一5，.该函数为一次函数，其 图像与x轴必有交点.当m十6≠0， 即m≠-6时，b2-4ac=4(m-1)2一 4(m+6)(m+1)=-20-36m≥0. m≤一9且m≠一6.综上所述，m 的取位范围是<一号 12.(1)二次函数的表达式为 y=-x2-4x+m=-(x+2)2+ m+4, .当x=一2时，二次函数取得最大 值m+4. ,该二次函数的最大值为2m, '.m+4=2m. ∴.m=4. (2)把二次函数y=一(x十2)2+m+ 4的图像向右平移2个单位长度，向 下平移4个单位长度后得到的新图像 对应的函数表达式为y=一(x+2 2)2+m+4-4=-x2+m. ,平移后得到的新图像与x轴有 2个交点， ,.在一元二次方程一x2+m=0中， b2-4ac=0+4m>0. .m>0. 13.(1)由题意，知方程-x2+bx c=0的解为x1=m一2，x2=2m十1. .b=x1+x2=3m-1,c=x1x2= (m-2)(2m+1)=2m2-3m-2. (2)由(1)，知y=-x2+(3m 1).x-(2m2-3m-2). '.二次函数的图像开口向下，顶点坐 标为(3m21,m+6m+9) 2 4 分三种情况讨论： ①若3m,1<-2,即m<-1,则 2 当一2≤x≤1时，y随x增大而减小. ∴.当x=一2时，y取得最大值1，则 -4-2(3m-1)-(2m2-3m-2) -2m2-3m=1,解得m1=一1，m2= -(均不合题意，合去). @若-202≤1，即-1Sm. 则y的最大值为m十6m+9 4 :.m+6m+9=1,解得m,=-1, 4 m4=一5（不合题意，舍去）. @若”2>1，即m>1.则当-2≤ x≤1时，y随x增大而增大 ∴.当x=1时，y取得最大值1，则 -1+(3m-1)-(2m2-3m-2) -2m2+6m=1,解得m,=3+7 21 m=3,(不合题意，舍去. 2 综上所述m的值为-1或 14.C解析：由题意，将A(2,3)代人 y=x2十bx+3,得4+2b+3=3, .b=一2.∴.二次函数的表达式为 y=x2-2x十3=(x-1)2+2.∴.一 元二次方程x2十bx=1一4有实数根 可以看作函数y=x2一2x十3与函数 y=t一1的图像有交点.对于y= x2-2x+3,当-1<x<4时，易知 2y<11,∴.2t-1<11.∴.3t<12. 150- (2)抛物线恒在x轴的下方， m<0, {9m2-4mm<0. &智<m<0 ,符合条件的整数m只有三个， :-4≤智<-3，解得-9≤n< 27 4 n的最小值为一9. (3)·点A的坐标是(0,1)， .n=1. ..y=mx2+3mx+1. ∴.当-2<x<1时，抛物线与x轴只 有一个公共点 当x=-2时，y=4m-6m+1= -2m+1. ∴.直线x=一2与抛物线的交点坐标 为(-2，-2m+1). 当x=1时，y=m+3m十1=4m+1. '.直线x=1与抛物线的交点坐标为 (1,4m+1). ①当b2-4ac=9m2-4m=0时，抛 物线与x轴只有一个公共点，此时 m=0(不合题意，舍去)或m=9 4 ②当m>0时，点(-2，-2m+1)在 x轴上或x轴的下方，点(1,4m+1) 在x轴的上方. m>0, {-2m十1≤0，解得m≥2 14m+1>0, ③当m<0时，点(-2，-2m十1)在 x轴的上方，点(1,4m+1)在x轴的 下方. m<0, ←2m+1>0,解得m<-1 4m+1<0, 综上所述，m=专或m≥或m< 1 4 9 第2课时用二次函数的图像 解一元二次方程 1.D2.C3.-1<x20 4-<a<-2 5.(1)答案不唯一，如在平面直角坐 标系中画出抛物线y=x2一1和直线 y=2x,它们的交点的横坐标就是方 程的解。 (2)如图，在平面直角坐标系中画出 直线y=x十2，与函数y=x3的图像 交于点B. 由图，可知点B的横坐标约为1.5. '.方程x3一x一2=0的近似解为 x≈1.5. 4 21 -4-32-01234x -1 -2 -31 (第5题) 6.D解析：二次函数y=x2+bx 的图像的对称轴为直线x=1, -0=1..b=-2..y=x2 2x.当x=1时，y=1-2=-1;当 x=-3时，y=9+6=15:当x=3 时，y=9-6=3..当-3<x<3 时，-1≤y<15.:一元二次方程 x2+bx一t=0(t为实数)在-3<x< 3的范围内有解，∴.一1≤t<15. 7.A解析：令y=a(x+1)(x-5), 则二次函数y=a(x十1)(x-5)的图 像与函数y=a.x十bx十c(a、b、c为 常数且a≠0)的图像形状相同、开口 方向相同，且两个图像的对称轴均为 直线x=2,与x轴的交点均为（一1， 0)、(5,0).如图，作出二次函数y= a(x+1)(x-5)的图像与直线y= 一3.由图像，可知方程a(x+1)(x一 5)=一3的两根即为抛物线y= a(x+1)(x一5)与直线y=一3的交 点的横坐标..x1<-1<5<x2 y=a(x+1)(x-5) 1 2 y=-3 一3 (第7题) 8.-x+3x2-3 9.(1)利用函数y=x2-2x一2的图 像，可知当x=2时，y<0;当x=3 时，y>0. .方程x2一2x一2=0的另一个根在 2和3之间. (2):函数y=x2-2x十c的图像开 口向上，对称轴为直线x=1, .由题意，得c>0,1一2十c<0,解得 0<c<1. 10.D解析：如图，抛物线y=(x a)(x一b)与x轴交于点(a,0)、(b, 0),与直线y=1的交点坐标为(n, 1)、(m,1).由图像，可知n<b< am. 0am x (第10题) 11.(1)如图所示. 方程x2+x=1的根的近似值为 x1≈-1.6，x2≈0.6. (2)如图所示. 由图像，可知当x<-1.5或x>1 时，一次函数的值小于二次函数的值」 (3)①由y=x2+x=(x+2) 1 ,得抛物线y=x2十x的顶点坐标 为() 由题图，可知点P的坐标为（一1,1）. 平移方法不唯一，如将二次函数y x2十x的图像先向上平移号个单位 长度，再向左平移2个单位长度，可 使平移后得到的图像的顶点落在点 P处 平移后得到的图像对应的函数表达式 为y=(x+1)2+1,即y=x2+ 2x+2. @点P在函数y=x+号的图 像上」 理血：在y=x十号中，令x=-1, 1 1(1)十2=1· 得y=2 .点P(-1,1)在函数y=之x+2 的图像上。 21 1012 (第11题)》 专题特训一与二次函数 有关的图像信息问题 1.B解析：由题图，知图像开口向 下，对称轴位于y轴左侧，图像与 y轴的交点在x轴上方，'.a<0, <0,c>0..a<0,b<0,c> 2a 0.∴.abc>0.故①错误.由题图，知当 x=1时，y<0,.a+b+c<0.故② 正确.由题图，知抛物线与x轴有两 个交点，则b2一4ac>0,即4ac一b2 1 0,枚③错误片二名三 3.a= 6.故④正确.由题图，知当x=一1 3 时y=a-b+e>026-b+e> 0.∴.b十2c0.故⑤正确.综上所述， 正确的结论是②④⑤，个数为3. 2.②③④解析：由题图，可知抛物 线开口向下，∴.a<0.抛物线的对 称箱为直线x=1一品=1 ∴.b=-2a>0.:抛物线与y轴的 交点在x轴的上方，∴.c>0.abc< 0.故①错误.由题图，可知当x=一1 时，y=a一b十c<0.故②正确.把 x=m和.x=1分别代人y=a.x2+ 10 bx+c， ，得 $$y = a m ^ { 2 } + b m + c ， y = a +$$ $$b + c \because \because m e 1 ， \therefore a m ^ { 2 } + b m + c < a +$$ b+c，∴a+b>m(am+b). .故 ④ 正 确.当 x=3 与 x=-1 1时的函数值 相等， ∴9a+3b+c<0.∵b=-2a， ∴9a+2b+b+c=9a+2× (-2a)+b+c=5a+b+c<0. 故 ③ 正确.综上所述，正确的有 ②③④ 3.∵ 二次函数 $$y = a x ^ { 2 } + b x + c$$ 的图 像开口向下，对称轴是直线 x=1， ，与 y轴的正半轴相交， $$\therefore a < 0 ， - \frac { b } { 2 a } = 1 ， c > 0 .$$ ∴b>0，2a+b=0. ∴2a-b<0. 由题图，得当 x=-1 1时， ，y=a-b+ c<0. 又 ∵2a+b=0， ，即a $$a = - \frac { 1 } { 2 } b ，$$ $$\therefore - \frac { 1 } { 2 } b - b + c < 0 ，$$ ∴3b-2c>0. ∵c>0， ∴3b+2c>0. ∴P=3b-2c，Q=b-2a-3b- 2c=-2a-2b-2c. ∴P-Q=3b-2c-(-2a-2b- \left.{2c})=3b-2c+2a+2b+2c=5b+ 2a=4b>0. ∴P>Q. 4.D 5.(1)①-4. 解析： ·当 $$x _ { 1 } = 1 ，$$ $$x _ { 2 } = 3$$ 时， $$y _ { 1 } = y _ { 2 } ， \therefore$$ 抛物线的对称 轴为直线 $$x = \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } = \frac { 1 + 3 } { 2 } = 2 .$$ $$\therefore - \frac { m } { 2 } = 2 \therefore \therefore m = - 4 .$$ ②4. 解析： ∵ ·抛物线与 x 轴只有 一个公共点， ∴ 关于 $$x ^ { 2 }$$ 的方程 $$x ^ { 2 } -$$ 4x+n=0 有两个相等的实数根. $$\therefore b ^ { 2 } - 4 a c = \left( - 4 \right) ^ { 2 } - 4 n = 0 .$$ ∴n=4. (2)由(1)可知，抛物线的对称轴为直 线 x=2， ∴ 点 $$Q \left( 5 ， b _ { 2 } \right)$$ 关于直线 x=2 的对称 点为 $$Q ' \left( - 1 ， b _ { 2 } \right) .$$ ∵ 抛物线的开口向上，