5.4二次函数与一元二次方程 同步练习 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

5.4二次函数与一元二次方程2025-2026学年苏科版九年级下 一．基础演练 1．关于x的二次函数y＝x2﹣3x+k的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 3．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m﹣1与x轴只有一个交点，则m＝　 　 ． 4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标满足如表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线x＝2； ③当﹣2＜x＜4时，y＜0； ④x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c+5＝0（a≠0）的一个根． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列各函数的图象与x轴是否有公共点？如果有，求出公共点的坐标． （1）y＝2x2﹣3x+1； （2）y＝5x2+4x+2； （3）y＝x2﹣4x+4． 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c中自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … ﹣2 0 1 2 … y … ﹣6 2 3 2 … 下列各选项中，正确的是（　　） A．这个函数的图象开口向上 B．这个函数的图象与x轴只有一个交点 C．当﹣2≤x≤3时，则﹣6≤y≤3 D．当时，y随x的增大而增大 7．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）中，4a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，且经过点（0，3）．下列四个结论： ①对称轴为直线x＝﹣2； ②若点（m﹣2，y1）和（n﹣2，y2）在抛物线上，且m＞n，则y1＞y2； ③一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2和﹣3之间； ④0＜a＜1； 其中结论正确结论是 　 　 （填写序号）． 8．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＞2．其中，正确结论的有 　 　 ．（将正确结论的序号填在横线上） 二.能力提升 9．已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（　　） A．2 B．m2 C．4 D．2m2 10．规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 　 　 ． 11．抛物线y＝x2+2ax﹣3与x轴交于A，B（1，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，将抛物线沿y轴平移m（m＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点时，则m的取值范围是　 　 ． 12．已知抛物线的表达式为y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）求证：抛物线与x轴必有两个交点； （2）若此抛物线与直线y＝﹣3x+4的一个交点在y轴上，求m的值． 13．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　 　 ．（写出一个即可） 14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc＜0；②3b+2c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝kx的两根为x1＝﹣3，x2＝2；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三.思维突破 15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y＝ax2+经过A、B两点，点E是直线AB上方抛物线上的一点． （1）求抛物线所对应的函数表达式． （2）求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标． （3）在（2）的前提下，过点E作y轴的平行线交直线AB于点M，连接CM．点Q在抛物线对称轴上，点P在抛物线上．当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标． 16．已知二次函数y＝x2+x的图象，如图所示 （1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2+x＝1的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图象，写出方程x2+x＝1的根（精确到0.1）． （2）在同一平面直角坐标系中画出一次函数y＝x+的图象，观察图象写出自变量x取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值． （3）如图，点P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P是否在函数y＝x+的图象上，请说明理由． 参考答案与试题解析 1．关于x的二次函数y＝x2﹣3x+k的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵y＝x2﹣3x+k的图象与x轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4k＞0， ∴． 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 【解答】解：由题意可得， ∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号， ∴， 解得0＜a＜3， ∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意； ∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当x＝1时，y＝﹣3， ∴最小值为﹣3，故C不符合题意； 当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3， ∵0＜a＜3， ∴此时y＜0，故D符合题意； 故选：D． 3．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m﹣1与x轴只有一个交点，则m＝　1　 ． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m﹣1与x轴只有一个交点，且该抛物线的顶点坐标为（1，m﹣1）， ∴顶点（1，m﹣1）位于x轴上． ∴m﹣1＝0． 解得m＝1． 故答案为：1． 4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标满足如表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线x＝2； ③当﹣2＜x＜4时，y＜0； ④x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c+5＝0（a≠0）的一个根． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵抛物线经过点（﹣3，7），（5，7）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，所以②错误； ∴抛物线的顶点为（1，﹣9），即x＝1时，y有最小值﹣9， ∴抛物线开口向上，所以①正确； ∵抛物线经过点（﹣2，0）， ∴抛物线经过点（4，0）， ∴当﹣2＜x＜4时，y＜0，所以③正确； ∵抛物线经过点（3，﹣5）， ∴抛物线经过点（﹣1，﹣5）， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣5（a≠0）的两个根为3或﹣1， ∴x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c+5＝0（a≠0）的一个根，所以④正确． 故选：C． 5．下列各函数的图象与x轴是否有公共点？如果有，求出公共点的坐标． （1）y＝2x2﹣3x+1； （2）y＝5x2+4x+2； （3）y＝x2﹣4x+4． 【解答】解：（1）令y＝0，得：2x2﹣3x+1＝0， Δ＝b2﹣4ac＝9﹣8＝1＞0，所以此函数的图象与x轴有两个公共点， 解方程得：x＝， ∴x1＝1，x2＝， ∴抛物线与x轴的交点坐标为：（1，0）（，0）； （2）令y＝0，得：5x2+4x+2＝0， Δ＝b2﹣4ac＝16﹣40＝﹣24＜0，所以此函数的图象与x轴没有公共点； （3）令y＝0，得：x2﹣4x+4＝0， Δ＝b2﹣4ac＝16﹣16＝0，所以此函数的图象与x轴有一个公共点， 解方程得：x＝2， ∴抛物线与x轴的交点坐标为：（2，0）． 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c中自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … ﹣2 0 1 2 … y … ﹣6 2 3 2 … 下列各选项中，正确的是（　　） A．这个函数的图象开口向上 B．这个函数的图象与x轴只有一个交点 C．当﹣2≤x≤3时，则﹣6≤y≤3 D．当时，y随x的增大而增大 【解答】解：由题意，根据表格数据可得，图象过（0，2），（2，2）， ∴对称轴是直线x＝＝1． ∴顶点为（1，3）． ∴可设二次函数为y＝a（x﹣1）2+3． 又∵图象过（﹣2，﹣6）， ∴﹣6＝a（﹣2﹣1）2+3． ∴a＝﹣1． ∴二次函数为y＝﹣（x﹣1）2+3． ∴抛物线开口向下，与x轴有两个交点，当x＝1时，y取最大值为3，故A、B均错误． 又∵当x＝﹣2时，y＝﹣6；当x＝3时，y＝﹣1， ∴当﹣2≤x≤3时，﹣6≤y≤3，故C正确． ∵对称轴是直线x＝1，开口向下， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小，故D错误． 故选：C． 7．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）中，4a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，且经过点（0，3）．下列四个结论： ①对称轴为直线x＝﹣2； ②若点（m﹣2，y1）和（n﹣2，y2）在抛物线上，且m＞n，则y1＞y2； ③一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2和﹣3之间； ④0＜a＜1； 其中结论正确结论是 　①③　 （填写序号）． 【解答】解：①∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，对称轴是直线：x＝﹣＝﹣＝﹣2，所以①正确，符合题意； ②∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，只能确定出m﹣2和n﹣2的大小关系，即横坐标的大小关系，而要进一步确定纵坐标y1，y2，的大小关系，是必须知道横坐标与对称轴的关系，而题目中没办法给出在对称轴的同侧还是异侧，若都在对称轴的左侧故②错误，不合题意； ③由①知，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的两交点就是在点（﹣2，0）左右两侧，且关于直线x＝﹣2对称，又知道抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，所以一个根在﹣2和﹣3之间，另一个根在﹣2和﹣1之间，所以③正确，符合题意； ④， 解得＜a＜1，故④错误，不合题意． 故答案为：①③． 8．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＞2．其中，正确结论的有 　①③④　 ．（将正确结论的序号填在横线上） 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象开口向下， ∴a＜0， 对称轴直线为， ∴b＝﹣2a＞0， ∴2a+b＝0，故①正确； ∵图象与x轴的一个交点在2～3之间，且对称轴直线为x＝1， ∴另一个交点在﹣1～0之间，故②错误； 图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵图象与x轴的一个交点在2～3之间，且对称轴直线为x＝1， ∴另一个交点在﹣1～0之间， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵c＝2， ∴a﹣b+2＜0， ∴b﹣a＞2，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 9．已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（　　） A．2 B．m2 C．4 D．2m2 【解答】解：令y＝0，则﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0， ∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m， ∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 若m＞0，则m2＝2m， ∴m＝2， 若m＜0时，则m2＝﹣2m， ∴m＝﹣2． ∵抛物线y＝x2﹣m2的对称轴为直线x＝0，抛物线y＝﹣x2+m2x的对称轴为直线x＝， ∴这两个函数图象对称轴之间的距离＝＝2． 故选：A． 10．规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 　（3，0）或（4，0）　 ． 【解答】解：①当k＝0时，函数的解析式为y＝﹣x﹣3， 此时函数的图象与x轴只有一个交点成立， 当y＝0时，可得0＝﹣x﹣3，解得x＝﹣3， ∴y＝﹣x﹣3与x轴的交点坐标为（﹣3，0）， 根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）； ②当k≠0时， ∵函数y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点， ∴b2﹣4ac＝0，即（k﹣1）2﹣4××（k﹣3）＝0． ∴k＝﹣1． ∴函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣4， 当y＝0时，得0 ∴x＝﹣4， ∴它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（4，0）． 综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为C（3，0）或C（4，0）． 故答案为：（3，0）或（4，0）． 11．抛物线y＝x2+2ax﹣3与x轴交于A，B（1，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，将抛物线沿y轴平移m（m＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点时，则m的取值范围是　0＜m＜3或m＝4　 ． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+2ax﹣3与x轴交于A，B（1，0）两点（点A在点B的左侧）， ∴1+2a﹣3＝0，得a＝1， ∴y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）， 当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1， ∴点A的坐标为（﹣3，0）， ∵将抛物线沿y轴平移m（m＞0）个单位， ∴平移后的抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3+m＝（x+1）2﹣4+m， ∴当平移后的抛物线过点（0，0）时，0＝（0+1）2﹣4+m，得m＝3， 当平移后抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与OA有一个交点，即0＝（﹣1+1）2﹣4+m，得m＝4， ∵将抛物线沿y轴平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点， ∴0＜m＜3或m＝4， 故答案为：0＜m＜3或m＝4． 12．已知抛物线的表达式为y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）求证：抛物线与x轴必有两个交点； （2）若此抛物线与直线y＝﹣3x+4的一个交点在y轴上，求m的值． 【解答】解：（1）证明：Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m） ＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4m＝1＞0， 所以此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）当x＝0时，y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝m2﹣m，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，m2﹣m）， 把（0，m2﹣m）代入y＝﹣3x+4得m2﹣m＝4， 整理得m2﹣m﹣4＝0，解得m＝． 即m的值为． 13．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0）， ∴0＝﹣c2+bc+c， ∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象不经过原点， ∴c≠0， 则c﹣b＝1， 若取b＝1，则c＝2， ∴该二次函数的表达式可以是y＝﹣x2+x+2， 故答案为：y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）． 14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc＜0；②3b+2c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝kx的两根为x1＝﹣3，x2＝2；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：由图象可得，a＞0，c＜0，又， ∴b＞0， ∴abc＜0， ∴①正确； 由题意，令ax2+bx+c＝kx， ∴ax2+（b﹣k）x+c＝0， 又二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2， ∴ax2+（b﹣k）x+c＝0的两根之和为﹣3+2＝﹣1，两根之积为﹣3×2＝﹣6， ∴，， ∴6a+c＝0， 又b＝2a， ∴3b+c＝0， ∴3b+2c＝c＜0， ∴②错误，③正确； ∵，b＝2a， ∴k＝a， ∴④错误． 综上，正确的有①③，一共2个． 故选：B． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y＝ax2+经过A、B两点，点E是直线AB上方抛物线上的一点． （1）求抛物线所对应的函数表达式． （2）求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标． （3）在（2）的前提下，过点E作y轴的平行线交直线AB于点M，连接CM．点Q在抛物线对称轴上，点P在抛物线上．当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3， 即B点的坐标为（0，3）， 当y＝0时，有﹣x+3＝0， 解得x＝4，即A点坐标为（4，0）． 将A、B点坐标代入抛物线的解析式， 得，解得， 故抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x+3． （2）过点E作EF⊥x轴于点F交直线AB与点M，如图1所示． ∵点E是直线AB上方抛物线上的点， ∴设点E的坐标为（m，﹣m+3），点M的坐标为（m，﹣m+3）， ∴EM＝﹣m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m， ∴S△ABE＝S△BEM+S△AEM＝ME•OA＝×（﹣m）×4＝﹣+3m＝﹣（m﹣2）2+3， ∴当m＝2时，△ABE面积最大，且最大值为3，此时点E的坐标为（2，3）． （3）抛物线的对称轴为x＝﹣＝1． 设点P的坐标为（n，﹣n+3），Q点的坐标为（1，d）． ∵点E的坐标为（2，3）， ∴直线EM的解析式为x＝2， ∴点M的坐标为（2，）． ∵令y＝0，则有﹣x+3＝0，解得x＝﹣2，或x＝4， ∴点C的坐标为（﹣2，0）， 当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况： ①如图2所示，线段CM为对角线，且CM的中点为点N． ∵点C（﹣2，0），点M（2，）， ∴点N的坐标为（0，）． 又∵点N为线段PQ的中点， ∴有＝0，解得n＝﹣1， 此时P点的坐标为（﹣1，）； ②线段CM为一条边时，PQ的横坐标之差等于CM的横坐标之差， 即|1﹣n|＝|2﹣（﹣2）|， 解得：n＝﹣3或n＝5， 此时点P的坐标为（﹣3，﹣）或（5，﹣）． 综上可知：点P的坐标为（﹣3，﹣），（5，﹣）和（﹣1，）． 16．已知二次函数y＝x2+x的图象，如图所示 （1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2+x＝1的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图象，写出方程x2+x＝1的根（精确到0.1）． （2）在同一平面直角坐标系中画出一次函数y＝x+的图象，观察图象写出自变量x取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值． （3）如图，点P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P是否在函数y＝x+的图象上，请说明理由． 【解答】解：（1）∵令y＝0得：x2+x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（﹣1，0）． 作直线y＝1，交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点，作AC⊥x轴，垂足为C，BD⊥x轴，垂足为D，点C和点D的横坐标即为方程的根． 根据图形可知方程的解为x1≈﹣1.6，x2≈0.6． （2）∵将x＝0代入y＝x+得y＝，将x＝1代入得：y＝2， ∴直线y＝x+经过点（0，），（1，2）． 直线y＝x+的图象如图所示： 由函数图象可知：当x＜﹣1.5或x＞1时，一次函数的值小于二次函数的值． （3）先向上平移个单位，再向左平移个单位，平移后的顶点坐标为P（﹣1，1）． 平移后的表达式为y＝（x+1）2+1，即y＝x2+2x+2． 点P在y＝x+的函数图象上． 理由：∵把x＝﹣1代入得y＝1， ∴点P的坐标符合直线的解析式． ∴点P在直线y＝x+的函数图象上． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/1 11:45:52；用户：名思；邮箱：cskw06@xyh.com；学号：32366772 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $