5.4二次函数与一元二次方程课后培优提升训练 2025—2026学年苏科版九年级数学下册

5.4二次函数与一元二次方程课后培优提升训练苏科版2025—2026学年九年级数学下册 一、选择题 1．抛物线与轴交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 2．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 4．已知二次函数的图像上有两个点、，当时，则的值为（    ）． A．2022 B．2023 C．2025 D．2026 5．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 6．若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则实数的值为（   ） A． B．2 C．4 D．1 7．已知二次函数（，，均为常数，）的图像与轴相交于点，，则二次函数的图像与轴交点的横坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．已知二次函数的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 10．若二次函数的图象与轴交于两点，，则______． 11．若二次函数图象与轴有一个交点为，则与轴另一个交点坐标为_____． 12．已知函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为____． 三、解答题 13．已知：二次函数（b是常数）． (1)求证：二次函数的图象与x轴的交点必有2个； (2)若直线与二次函数的图象相交于A、B两点，且，求t的取值范围． 14．如图，已知抛物线经过，两点． (1)求函数的解析式： (2)求抛物线与轴的另一个交点的坐标，并结合图象，直接写出当时，的取值范围． 15．已知关于的二次函数，（实数为常数）． (1)若二次函数的图像经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式； (2)若，当时，二次函数的最小值12，求的值； (3)记关于的二次函数，若在（1）的条件下，点在函数的图像上，点在函数的图像上，若当时，始终满足，求的取值范围． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)点M是抛物线上一点且到y轴的距离小于4，求出点M的纵坐标的取值范围； (3)若，分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且，请直接写出n的取值范围． 17．已知二次函数．（为常数，且）． (1)求证：该函数的图象与轴总有公共点； (2)若点，在函数图象上，且，，比较与的大小，并说明理由． 18．已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若是该抛物线上的一点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 参考答案 一、选择题 1．C 2．C 3．D 4．D 5．D 6．D 7．A 8．D 二、填空题 9． 10． 11． 12．0，1，2或3 三、解答题 13．【详解】（1）证明：当时，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴二次函数的图象与x轴的交点必有2个； （2）解：设点A、B的横坐标分别为m、n，则， 根据题意得， 即， ∴． ∵， ∴ ∴， 即， ∴． ∵， ∴． 14．【详解】（1）抛物线经过，两点，将这两点坐标分别代入，可得 解得 所以，抛物线的解析式为． （2）因为抛物线与轴有公共点，公共点的横坐标即为一元二次方程的根． 根据题意可知，一元二次方程的一个根为，设另一个根为，可得 ． 解得 ． 所以交点的坐标为． 根据图象可知，当时，． 15．【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为． （2）解：当时，， ∴函数的表达式为，对称轴为直线， 根据题意可知，需要分三种情况： ①当时，即，在内，y随着x的增大而增大， 当时，二次函数的最小值为12， ∴，解得（不合题意舍去）； ②当时，即，在内， 当时，二次函数最小值为12， ∴，解得（舍）（舍）； ③当时，即，在内，y随着x的增大而减小， ∴时，二次函数的最小值为12， ∴，解得（舍）或． 综上，的值为4或． （3）解：由（1）得：， 当时，则时，的最小值为1， ∵， ∴当时，则时，的最大值为， ∵，时，始终满足， ∴，解得：． 16．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线顶点的坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为， 当时，， 当时，， ∴点的纵坐标的取值范围为； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， 当点M在对称轴直线的左侧，点N在对称轴直线的右侧时， 由题意得， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点N在对称轴直线的左侧，点M在对称轴直线的右侧时， 由题意得，该不等式组无解； 综上所述，． 17．【详解】（1）证明：令，得， 此时， ， ， ， ， ， 即一元二次方程有实数解， 二次函数的图象与轴总有公共点； （2）解：二次函数的对称轴， ， ， ， ， 即二次函数的对称轴， 又，即二次函数图象开口向上， 当时，随着的增大而增大， 当时，． 18．【详解】（1）解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点为， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； （2）解：∵抛物线过点， ， 则， ∵对于任意实数，都有， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得，即， 解得，， ∴交点的横坐标分别为和， ． 学科网（北京）股份有限公司 $