5.3 用待定系数法确定二次函数表达式-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(苏科版)

:1>0,∴.当x=2时，y取得最小 值，最小值为4：当-4≤x<2时，y随 x增大而减小：当2<x≤3时，y随x 增大而增大.当x=一4时，y=40:当 x=3时，y=5.∴.当-4≤x≤3时，y 的最大值为40.∴.当-4≤x≤3时，y 的取值范围是4≤y≤40. (2)①②④解析：①当x=t时， y=t2-2t+m<m,∴.t(t-2)<0. t>0, t<0, 1-2<0或，-220. 或 ∴.0t<2. 故①一定正确.易知y=x2一2x十 m=(x-1)2+m-1.②当x=t-3 时，y=(t-4)2-1+m.0<t<2, .-4<1-4<-2.∴.(t-4)2-1> 0,即y>m.故②一定正确.③当x= t+1时，y=t2-1+m.由0<t<2, 得t2-1不一定小于0，故y<m不一 定成立.故③不一定正确.④当x t十2时，y=t2十2t十m,该抛物线开 口向上，对称轴为直线t=一1..当 0<t<2时，y随t增大而增大.当 t=0时，y=m;当t=2时，y=m十8， ∴.当x=t+2(0<t<2)时，m<y< m十8，故④一定正确.综上所述，一定 正确的是①②④. 13.(1)将A(0,3)代人y=-x2 3x+1,得1=3. .抛物线对应的函数表达式为 y=-x2-3x+3. (2)点P(,n)在抛物线y= -x2一3x十3上， ∴.n=-m2-3m+3. ∴.m十n=-m2-2m+3=-(m十 1)2+4. .当m=一1时，m十n取得最大值， 最大值为4. 14.(1)y=x2+x+1=（x+ 》+ .二次函数y=x2+x十1的图像的 顶点坐标为(-弓，)： ∴.二次函数y=x2+x十1的一个 “同倍项二次函数”的图像的顶点坐标 为(-1号) .二次函数y=x2十x十1的一个 “同倍项二次函数”的表达式可以为 y=(x+12+号（答案不唯一. (2):y1=x2+x=（x+ )-, .二次函数y1的图像的顶点坐标 为（受）》 ,y1+y2=x2+x十x2+31x+1= 2x2+4nx+1=2(x+n)2+1-2n2, .二次函数y1十y2的图像的顶点坐 标为（一，1一2n2). :y1+y2是y,的“同倍项二次 函数”， “1-2m2=2×(),解得n 15.A解析：a-b+c=0,9a+ 3b+c=0,.在y=a.x2+bx+c中， 当y=0时，x=一1或x=3.∴.图像 的对称轴为直线工=3+G一卫=1. 2 ∴图像的顶点只可能在第一象限或 第四象限.b>0,.a<0.当图 像的顶点在第四象限时，该图像与 x轴没有交点，∴.图像的顶点在第一 象限. 16.(1):抛物线y=a.x2-(b+ 2)x一a十b+6(a<0,a、b均为常数) 经过点(3,4)， ∴.9a-3(b+2)-a+b+6=4. ..b=4a-2. ∴.该抛物线的对称轴为直线x= -(b十22=2. (2),b=4a-2, .y=a.x2-4a.x+3a+4=a(x 2)2-a+4. ,函数y的最大值为5，a<0, .-a十4=5，解得a=-1. 令x=0,得y=3a十4=1. .该抛物线与y轴的交点坐标是 (0,1). (3)y=a(x-2)2-a+4(a<0), 6 .抛物线开口向下. ·0≤x3, ∴.易知当x=2时，函数y的值最大， 此时y=4一a,即m=4一a:当x=0 时，函数y的值最小，此时y=3a十4， 即n=3a+4. ..3m+n=12-3a+3a+4=16. 5.3用待定系数法确定 二次函数表达式 1.D2.y=-x2+4x+33.答案 不唯一，如y=一(x十1) 4.(1):二次函数图像的对称轴是 1 直线x=一2’ .可设二次函数的表达式为y= (+)'+ 把A(-2,5)代人，得(-2+2)广+ 及=5，解得长丹 .二次函数的表达式为y= (+2)》+号=++8 (2)根据题意，得点B平移后的点的 坐标为(1-m,9)(m>0). ,该点恰好落在函数y=x2十x十3 的图像上， .9=(1-m)2+(1-m)+3,解得 m=4或m=一1（不合题意，舍去）. .m的值为4. 5.B解析：·抛物线y=x2十 (3m一1)x一3m(m>0)的最低点的 纵坐标为-4，.4如c一D=一，即 Aa 4×1×(-3m)-(3m-1D=-4,解 4×1 得0，=1m:=一号〔不合题意，舍 去).∴.m=1..该抛物线对应的函 数表达式为y=x2+2x-3. 6.D解析：.y=ax2一6a.x+3 (a<0),∴.二次函数的图像开口向 下，对称轴为直线x=3.:当2≤x≤ 5时，8≤y≤12，∴.当x=3时，y取 得最大值12.∴.12=9a-18a十3，解 得a=-1. 7.C解析：由题意，得 2=a1-h)2十k,整理，得a(5一 6=a(5-h)2+k. h)2-a(1-h)2=4,即a(6-2h)=1. 。1 若h=2,则a=2>0,故选项A错 误.若h=4,则a= 一2<0，故选项B 1 错误.若h=6,则a=一 6<0，故选 项C正确.若h=8,则a=一0<0， 故选项D错误」 8y=号2-号十2解折：由题 图，可知经过点A、B、D的二次函数 的图像开口向上，a0:经过点A、B、 C的二次函数的图像开口向上，a> 0:经过点B、C、D的二次函数的图像 开口向下，a<0;经过点A、D、C的二 次函数的图像开口向下，a<0.·'经 过点A、B、D的二次函数的图像的开 口小于经过点A、B、C的二次函数的 图像的开口，∴.当图像经过点A、B、 D时，a的值最大.当二次函数y= a.x2十bx十c(a≠0)的图像经过点A、 c=2, B、D时，可得a十b十c=0,解得 4a+2b+c=3, .5 \a2' 9∴.当a的值最大时，二次 b=- 21 c=2. 函数的表达式为y=受-号 2x+2. 9.y=2x2+4x+1解析：CD∥ x轴，点C的坐标为(0,1)，.点D 的坐标为（一2,1）.∴.该抛物线的对 称轴为直线x=-1.一2×2 -1,解得b=4.把C(0,1)代人y= 2x2+4x十c,得c=1.∴.该抛物线对 应的函数表达式为y=2x2+4x+1. 10.一10解析：.y=x2+bx+c= (++气当x= b 时y取得最小值，为c一：6>0， c<0,.二次函数的图像的顶，点在第 三象限.当-5≤x≤0时，一11≤ y5,.易得当x=一5时，y=5:当 x=一名时，y取得最小值一1山 /25-5b+c=5, b=2, 解得 或 c=-10 b=18, (不合题意，舍去)..c的值 c=70 为-10. 11.(1)把A(-3,0)、B(5,4)代人 y=a.x2-5a.x十c,得 9a+15a+c=0, a-69 解得 25a-25a+c=4, c=4. ∴.抛物线对应的函数表达式为y +8+4 把A(-3,0)、B(5,4)代入y=mx+ 7 -3m+n=0, 2 1,得 解得 5m+n=4, 2 .直线AB对应的函数表达式为y 1 3 2x+2 在y=合+吾x+4中，令x=0, 1 则y=4. ∴.点C的坐标为(0,4). (2)如图，过点M作MF⊥x轴于点 F,交直线AB于点E,过点B作 BN⊥x轴于点N, 设M(,石++4小(-3<1< 5,则E(,2+)月 .S△MAB=S△AMR+S△M 乞ME·AF+号ME·FN 合ME·AN=2(-2+吾1+ 5 4-1-)×8=-号++ 4 -1w+ 10=- .当1=1时，S△MB取得最大值， 为器 7 :△MAB的最大面积是号 y M A 0 (第11题) 12.(1)①.b=4,c=3, .y=-x2+4x+3=-(x- 2)2+7. .该二次函数的图像的顶点坐标为 (2,7). ②.-1<0， ∴.该二次函数的图像开口向下. ,一1≤x≤3，且该二次函数的图像 的顶点坐标为(2,7)， ∴.当x=2时，y取得最大值，最大值 为7. 2-(-1)>3-2, ∴当x=一1时，y取得最小值，此时 y=-1-4+3=-2. .当-1≤x≤3时，-2≤y≤7. (2)当x≤0时，y的最大值为2， 当x>0时，y的最大值为3， ∴.该二次函数的图像的对称轴，即直 线x一合在y轴的右侧 ∴.b>0. ·该二次函数的图像开口向下， 4易知当x=0时y=2:当x=名 时，y=3. .c=2,4X(-1DXc-6 4×(-1) =3. .b=土2. b>0, ∴.b=2. ∴.该二次函数的表达式为y=一x2十 2x+2. 13.D解析：：y=a.x2-2ax十b= a(x-1)2十b一a,∴.函数图像的顶 点坐标为(1，b-a.若a>0,-1≤ x4,则当x=1时，函数取到最小 值-2，此时b-a=-2.若a<0, 一1x4,则当x=1时，函数取到 最大值3，此时b一a=3.综上所述， b一a的值为-2或3. 方法归纳 用分类讨论法确定函数最值 当函数图像的开口方向没有 确定时，需要根据条件分情况加以 讨论，从而确定问题的结论」 14.(1),二次函数的图像的顶点坐 标为(1，-4)， .可设二次函数的表达式为y= a(.x-1)2-4. .y=a.x2-2a.x+(a-4). 又y=a.x2-2x-c, .-2a=-2,a-4=-c. .a=1,c=3. .二次函数的表达式为y=x2 2x-3. (2)①y1>y2 理由：由(1)，知y=x2-2x-3, .y1-y2=(x一x2)(x1十x2） 2(x1-x2)=(x1-x2)[(x1十x2)-2]. :x1>x2x1十x2=3, .x1-x2>0,(x1+x2)-2=1>0. .y1-y2>0,即y1>y2. ②y1≤y2,y=x2-2x-3,x1十 x2=k, .y1-y2=(x1-x2)[(x1+x2) 2]=(x1-x2)(k-2)≤0. x1>x2, .x1-x2>0. .k-2≤0. .k≤2. 5.4二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次 方程之间的关系 1.C2.A34(26≤是且 k≠14.k<4 5.(1),b2-4ac=(2m)2+4(4 m2)=4m2+16-4m2=16>0, .该二次函数的图像与x轴总有 两个公共点. (2),y=-x2+2m.x十4-m2= -(x-m)2+4, .C(m,4)、D(0,4-m2). .△ABC的面积与△ABD的面积 相等， '.4-m2=4,即m2-4=4或4- m2=4. ∴.m=士2√2或m=0. 6.B解析：①.b2一4ac (-2m)2-4×1×(-3)=4m2+12> 0,'.二次函数y=x2一2mx一3的图 像与x轴有两个公共点.故①正确。 ②当x2时，y随x增大而减 小，-二号m=m≥2.故②错误. 2 ③，二次函数y=x2-2m.x-3的 图像向左平移3个单位长度后经过原 点，∴.点(3,0)在二次函数y=x2 2mx一3的图像上.∴.9一6m一3=0. ∴.m=1.故③错误.④.当x=1时 的函数值与当x=2023时的函数值 相等，∴.二次函数y=x2-2m.x-3 的图像的对称轴为直线x=1012. 当x=0时，y=x2一2mx一3= -3,.当x=2024时，y=x2 2mx一3的函数值为一3.故④正确. 综上所述，正确的有①④，共2个， 7.A解析：如图，当m>3时，抛物 线y=a.x2+bx十c与直线y=m有 两个交点，且一个交点的横坐标为正， 另一交点的横坐标为负.当关于x 的方程a.x2+bx十c=m总有一正一 负两个实数根时，m的取值范围是 m>3. y=m (第7题) 8.D解析：关于x的函数y= a.x2一a.x十3x十1的图像与x轴只有 一个公共点，∴.当a≠0时，(-a+ 3)2-4a=a2-10a+9=0,解得a=1 或a=9:当a=0时，y=3x+1,其图 像与x轴只有一个公共点，符合题 意.综上所述，a的值为0或1或9. 9.(1)x1=-5,x2=3解析：，二 次函数y=m.x2+21.x十c=m(x+ 1)2一m十c(m≠0)，∴.该函数图像的 对称轴为直线x=一1.二次函数 y=m.x2+2mx十c(m≠0)的图像过 8 点A(3,0),∴.该函数图像与x轴的 另一个交点为(-5,0).∴.一元二次 方程mx2+2mx十c=0的两个根为 x1=一5，x2=3. (2)5解析：抛物线y=(x+2)(x 3)+5向下平移5个单位长度，所得 抛物线对应的函数表达式为y一(x十 2)(x一3).令(x+2)(x一3)=0，解得 x1=-2,x2=3,∴.PQ=3 (-2)=5. 10.4解析：对于函数y=x2一4， 令x=0,得y=4,函数y=x2 4的图像与y轴的交点坐标为(0， 4).方程|x2一4=m的实数根可以 看成函数y=|x2一4|的图像与直线 y=m的交点的横坐标.该方程恰 有3个不相等的实数根，∴.函数y x2一4的图像与直线y=m有3个 不同的交点.如图，当m=4时，两个 图像有3个不同的交点，∴.m的值 为4. 0 (第10题) 1.m≤-9解析：当m+6=0,即 m=一6时，此函数的表达式为y= 一14x一5，.该函数为一次函数，其 图像与x轴必有交点.当m十6≠0， 即m≠-6时，b2-4ac=4(m-1)2一 4(m+6)(m+1)=-20-36m≥0. m≤一9且m≠一6.综上所述，m 的取位范围是<一号 12.(1)二次函数的表达式为 y=-x2-4x+m=-(x+2)2+ m+4, .当x=一2时，二次函数取得最大 值m+4. ,该二次函数的最大值为2m, '.m+4=2m. ∴.m=4. (2)把二次函数y=一(x十2)2+m+ 4的图像向右平移2个单位长度，向拔尖特训·数学（苏科版）九年级下 5.3 用待定系数法确定二次函数表达式，“答案与解析"见P6 自基础进阶 素能攀升 1.若二次函数的图像经过点（一3,0）、(0,3)，且 5.已知抛物线y=x2+(3m-1)x-3(m>0) 对称轴是直线x=一1，则这个二次函数的表 的最低点的纵坐标为一4，则该抛物线对应的 达式为 函数表达式为 ) A.y=-x2+2x+3B.y=x2+2x+3 A.y=x2-6x+5B.y=x2+2x-3 C.y=-x2+2x-3D.y=-x2-2x+3 C.y=x2+5.x-6D.y=x2+4x-5 2.小刚在用描点法画抛物线y=ax2十bx十c 6.已知二次函数y=a.x2-6ax+3(a<0),且当 时，列表如下： 2≤x≤5时，8≤y≤12，则a的值是() 2 A.-2 5 D.-1 6 7.已知函数y=a(x一h)2十k(a、h、k是实数， 请根据表中的信息，写出抛物线对应的函数 a≠0)，当x=1时，y=2;当x=5时，y=6. 表达式： 下列判断中，正确的是 () 3.(2024·无锡宜兴期末)一个二次函数y= A.若h=2,则a<0B.若h=4,则a>0 ax2十bx+c的图像的顶点在x轴的负半轴 上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这 C.若h=6,则a<0D.若h=8,则a>0 个二次函数的表达式可以为 8.如图，平面直角坐标系中有A(0,2)、B(1, 4.(2024·扬州宝应期中)已知二次函数y 0)、C(3,1)、D(2,3)四点.若二次函数y ax2+bx+c(a≠0)的图像经过其中任意三 x2+bx十c(b、c为常数)的图像经过点A(一2， 点，则当α的值最大时，二次函数的表达式为 5),对称轴为直线x=一2 1 (1)求二次函数的表达式. (2)若点B(1,7)向上平移2个单位长度，向 左平移m(m>0)个单位长度后，恰好落在函 C 数y=x2十bx十c的图像上，求m的值. B 0123 (第8题) 9.已知抛物线y=2x2+bx十c与y轴交于点C (0,1),过点C的直线MN∥x轴，且与抛物 线的另一个交点为D(一2，n),则该抛物线对 应的函数表达式为 10.新考法·探究题已知二次函数y= x2+bx十c(b、c为常数且b>0, c<0),且当-5≤x≤0时，-11≤ y≤5，则c的值为 12 第5章二次函数 11.如图，抛物线y=ax2-5a.x十c与直线y=思维拓展 mx+n交于点A(一3,0)和点B(5,4),与 13.★已知二次函数y=a.x2-2ax十b y轴交于点C. (a≠0)，且当-1≤x≤4时，-2≤ (1)求抛物线和直线AB对应的函数表达 y≤3，则b一a的值为 () 式以及点C的坐标 A.-6 B.一6或7 (2)若M是直线AB上方的抛物线上一点， C.3 D.-2或3 连接AM、BM,求△MAB的最大面积. 14.(2025·温州模拟)已知二次函数y=a.x2一 y↑ 2x一c(a、c为常数)的图像的顶点坐标为 (1,-4). (1)求二次函数的表达式. (2)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在函数 (第11题) y=a.x2一2x一c的图像上，x1>x2. ①若x1十x2=3,请比较y1与y2的大小并 说明理由. ②若x1十x2=k(k为常数)，当y1≤y2时， 求k的取值范围。 12.已知二次函数y=一x2十bx十c. (1)当b=4,c=3时. ①求该二次函数的图像的顶点坐标. ②当一1≤x≤3时，求y的取值范围。 (2)若当x≤0时，y的最大值为2；当x>0 时，y的最大值为3，求该二次函数的表 达式. 13