5.2二次函数的图像和性质课后培优提升训练 2025—2026学年苏科版九年级数学下册

5.2二次函数的图像和性质课后培优提升训练苏科版2025—2026学年九年级数学下册 一、选择题 1．已知点在抛物线上，且，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．k为任意实数，抛物线的顶点总在（） A．直线上 B．直线上 C．x轴上 D．y轴上 3．二次函数（）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（   ） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时， D．当时，y随x的增大而减小 5．函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 6．已知二次函数图象顶点的坐标是，与轴交于点和点．有下列结论：①；②；③；④时，是直角三角形．其中正确的是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①③ D．②③ 7．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ）. A． B． C． D． 8．已知二次函数，当时，的最大值为3，最小值为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．二次函数的顶点坐标是___ ． 10．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是________________ 11．如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 12．二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是_______． 三、解答题 13．已知抛物线． (1)用配方法求此抛物线顶点坐标： (2)如果将该抛物线沿轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 14．已知抛物线． (1)求证：不论为何值，抛物线与轴都有两个交点； (2)若该抛物线的对称轴为，当时，求的取值范围． 15．已知抛物线． (1)若抛物线C经过原点，则m的值为________，此时抛物线C的顶点坐标为________； (2)用含m的代数式表示抛物线C的顶点坐标，并判断无论m为何值，抛物线C的顶点是否都在某条抛物线上？如果是，请求出抛物线的解析式；如果不是，请说明理由； (3)说明无论m为何值，抛物线C一定恒过定点A，求出点A的坐标． 16．若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“极差函数”． (1)函数①，其中函数__________是在上的“极差函数”；（填序号） (2)已知函数是在（为整数）上的“极差函数”，若为整数，求的值． 17．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 18．若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”． (1)①若函数，当时，求函数的“共同体函数”的值； ②若函数（，，为常数），求函数的“共同体函数”，的解析式； (2)记函数的最大值为，请问是否存在实数，使得函数的“共同体函数”的最小值等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、选择题 1．A 2．B 3．B 4．C 5．B 6．A 7．D 8．B 二、填空题 9． 10．（或） 11．2 12．②③④ 三、解答题 13．【详解】（1）解：， 此抛物线的顶点坐标为； （2）解：设平移后的抛物线表达式为(为常数)， 平移后的抛物线经过点， ，解得， 平移后的抛物线表达式为． 14．【详解】（1）证明：当时，得：， ∵ ， ∴方程总有两个不相等的实数根， 即不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点； （2）解：抛物线的对称轴为，解得， ， 时，取得最大值，最大值为； ， 时，取得最小值，最小值为； 综上，． 15．【详解】（1）解：∵抛物线C经过原点， ∴， ∴，此时抛物线为：， ∴此时抛物线的顶点坐标为， 故答案为：，； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为：， 设顶点坐标为，则， ∴， ∴， ∴抛物线C的顶点都在一条抛物线上，这条抛物线的解析式为：． （3）解：∵， 当即时，的取值与无关，此时， ∴无论m为何值，抛物线C一定恒过定点A，此时点A的坐标为． 16．【详解】（1）解：当时，① 对函数①， ， 当时，随的增大而减小， 当时，，当时，， ， 函数①是“极差函数”； 对函数②， ， 当时，随的增大而增大， 当时，，当时，， ， 函数②不是“极差函数”； 对函数③， ，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，，当时，， ， 函数③不是“极差函数”； 故答案为：①； （2）， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 函数：在(为整数)上的“极差函数”， ，， ， 即， 为整数， 为整数， 即为整数， ，且为整数， 是4的因数， 又， 或， 而时，不符合题意，舍去， , 把代入①得： ， 解得：， 的值是． 17．【详解】（1）解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴点，关于直线对称． ∴． （2）解：若，则． 当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 若，则． 当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 综上，的取值范围是或． 18．【详解】（1）解：①时，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴时，，时，， ∴； ②∵，， ∴当时，y随x的增大而增大， 时，，时，， ∴， 当时，随x的增大而减小， ∴时，，时，， ∴， 综上，； （2）解：∵， ∴时，， ①当即时， ∵， ∴时，， 时，， ∴， ∴时，； ②当即时， ∵， ∴时，， 时，， ∴， ∴时，； ③当时，，， 时，， ∴， ∴时，； ④当时，时，， 时，， ∴， ∴， ∵， ∴最小值为， ∴， ∴符合题意． $