高一数学下学期期中模拟卷（北师大版必修第二册第一章～第四章：三角函数与三角恒等变换+平面向量及其应用，高效培优·提升卷）

2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第二册第一章~第四章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．与角的终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，则与角的终边相同的最小正角是. 2．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】因为是第二象限角，点为其终边上一点，所以， 解得或或，因为是第二象限角，所以，所以. 3．已知，则c的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移是个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】因， 故可以将函数的图象向右平移个单位长度， 即可得到函数的图象. 故选：A. 5．如图，在中，为边上靠近的三等分点，若为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为边上靠近的三等分点， 所以， 所以 , 因为为的中点， 所以， 所以. 6．（情境题）衢州天王塔始建于南朝梁天监年间，于1952年拆除后在2015年重建，某同学为了估算天王塔的高度，设计了如图所示的测量方案：用无人机沿水平方向由远及近航拍天王塔AB（无人机行进路线和塔身在同一铅垂平面内），若在C处测得塔尖A的俯角为15°，在D处测得塔底B的俯角为75°，同时测得塔尖A的俯角为30°，且，则由此算得衢州天王塔的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，， ， 则，，， 则为等腰三角形，即， 因为， 则在中利用正弦定理得， 即， 则衢州天王塔的高度为. 7．（创新题）已知函数满足，若函数在上的零点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得， 解得，易知为奇函数，故的图象关于原点对称， 则函数在上的图急关于原点对称， 故函数在上的零点也关于原点对称，和为0， 在上的零点和即为上的零点和， 令，得， 作出和在同一坐标系中的图象，可知在内的零点有， 故零点之和为 故选：B 8．已知平面向量，，，且．已知向量与所成的角为，且对任意实数t恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解】，则，又因为， 且，代入化简得：①， 因为①式对任意实数t恒成立，所以， 解得：，所以，， 由向量不等式得：， 而，所以， 则：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角比1°的角大 B．第一象限角一定是锐角 C．时钟经过四个小时，时针转过的角度是 D．若是第二象限角，则也是第二象限角 【答案】AC 【解析】A选项，，故A选项正确； B选项，第一象限角的集合为，故B选项错误； C选项，时钟经过四个小时，时针转过的角度是，因为时针是按照顺时针方向转动，所以时针转过的角度是，故C选项正确； D选项，若是第二象限角，则，则 ，所以位于第一或者第三象限.故D选项错误. 10．已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【答案】ABD 【解析】对于A：若，则，所以，故A正确； 对于B：若，则，所以，故B正确； 对于C：因为向量，， 所以， 所以，即，故C错误； 对于D：若与方向相反，则， 所以在上的投影向量的坐标是，故D正确. 11．(情境题)中国古代的记里鼓车通过多重齿轮的设计，将小齿轮走过的距离与大齿轮对应，从而达到记录里程的目的．如图1所示，可以理解为将一个立轮的转动转化为三个平轮的转动．忽略齿轮对半径的影响，简化后如图2，记初始时，在小平轮上，与中平轮的切点为点A，大平轮上最高点为点B，大、中、小平轮和立轮的半径分别为．随着转动，以下说法正确的是（   ） A．小平轮转2圈，大平轮转1圈 B．AB两点距离最大为18 C．AB两点距离最小为10 D．若立轮与小平轮相互咬合，忽略齿轮对半径的影响，则小平轮与立轮上的点的最大距离为 【答案】ABD 【解析】对于A，单位时间内，三个平轮的弧长满足， 而大、中、小平轮和立轮的半径分别为， 因为小平轮转2圈，大平轮转1圈的弧长分别为， 满足，所以小平轮转2圈，大平轮正好转1圈，故A正确； 建立如图所示平面直角坐标系， 利用半径是倍关系，则转过的角度是一半的关系， 可设，则， 即， ， 令，， 当时，取得最小值， 当时，取得最大值为， 当时，取值为，不为最小值，故B正确．C错误； 对于D．立轮直径为2，小平轮直径为4．所以最大值为，故D正确． 故选：ABD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则的最小值为________. 【答案】2 【解析】由向量三角不等式可知：当与方向相反时，有最小值， 所以的最小值为. 13．在中，，，，的平分线AD交BC于点D，则______． 【答案】 【解析】由余弦定理，， 所以. 解得（舍去负根）． 因为AD平分，所以． 由， 得， 即． 整理得． 14．函数，直线为的一条对称轴，为的一个对称中心，且在区间上单调，则的最大值为_________. 【答案】11 【解析】设函数的最小正周期为， 因为在区间上单调，且直线为的一条对称轴， 则，可得， 且，则，解得， 又因为为的一个对称中心， 则，，解得，， 可得，，解得，， 则，解得，， 当时，取到最大值11， 此时， 因为直线为的一条对称轴， 则，，即，， 且，可得，，符合题意， 综上所述：的最大值为11. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知，是平面内两个不共线的向量，，，. (1)若A，C，D三点共线，求实数m的值； (2)若，，是钝角，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)且 【解析】（1），， 若A，C，D三点共线，即，共线， 即存在实数t使得成立， 即，即， 则，所以， （2）是钝角，则且与不共线， 又，，， 即，即， 又与不共线，即， 综上，且. 16．（15分） 在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)已知，，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 所以，即， 整理可得，中， 所以，且，所以； （2）由，则，即， 所以（负值舍），设边上的高为，则， 所以. 17．（15分） 已知函数部分图象如图所示． (1)求ω和φ的值； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)设，已知函数在上存在零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2)、、 (3) 【解析】（1）设该函数的最小正周期为，且， 由函数图象可知：且， 即， 由图象可知： ， 因为，所以令. （2）由上可知：， 由， 因为， 所以令，单调递增区间为， 令，得，而，所以单调递增区间为， 当，得，而，所以单调递增区间为， 综上所述：函数在上的单调递增区间为、、. （3） ， 令，， 即， 令， 二次函数，， 开口向下，对称轴为， 因此， 所以要想在上存在零点， 只需，所以实数a的取值范围为. 18．（17分） （创新题）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.①；②；③. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知_________. (1)求角A； (2)若，. （ⅰ）若，求的最大值； （ⅱ）若为锐角三角形，，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【解析】（1）选①， 则， 所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以； 选②， 则， 所以，即， 所以，又因为，所以； 选③， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，又因为，所以 （2）（i）因为，所以， 所以，即， 所以， 所以，（当且仅当时，取等号）， 所以的最大值为； （ⅱ）因为，所以， 因为， 所以，所以， 因为， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以 所以实数t的取值范围为. 19．（17分） （创新题）A中学某数学兴趣小组在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式对猜想进行了证明．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“发电叶片恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“发电叶片恒等式”的结论能否得到推广呢？根据以上信息，回答下列问题： (1)证明：； (2)解关于的方程：，其中； (3)求的值，其中，且． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1）因为，， 所以 ， 即； （2）由（1）知， 即， 又， 所以 ， 所以， 所以 或， 当时，解得， 又，所以； 当时，无解， 综上，方程的解为； （3）设， 则 ， 由积化和差公式得， ， ，，， 将上面个式子相加得 ， 所以. 又，且，所以，所以，所以， 即. 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 提升卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第二册第一章~第四章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．与角的终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 2．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 3．（热点）已知，则c的值为（　　） A． B． C． D． 4．（易错）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移是个单位长度 D．向左平移个单位长度 5．如图，在中，为边上靠近的三等分点，若为的中点，则（   ） A． B． C． D． 6．（情境题）衢州天王塔始建于南朝梁天监年间，于1952年拆除后在2015年重建，某同学为了估算天王塔的高度，设计了如图所示的测量方案：用无人机沿水平方向由远及近航拍天王塔AB（无人机行进路线和塔身在同一铅垂平面内），若在C处测得塔尖A的俯角为15°，在D处测得塔底B的俯角为75°，同时测得塔尖A的俯角为30°，且，则由此算得衢州天王塔的高度为（    ） A． B． C． D． 7．（创新题）已知函数满足，若函数在上的零点为，则（   ） A． B． C． D． 8．（创新题）已知平面向量，，，且．已知向量与所成的角为，且对任意实数t恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角比1°的角大 B．第一象限角一定是锐角 C．时钟经过四个小时，时针转过的角度是 D．若是第二象限角，则也是第二象限角 10．（知识交汇）已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 11．(情境题)中国古代的记里鼓车通过多重齿轮的设计，将小齿轮走过的距离与大齿轮对应，从而达到记录里程的目的．如图1所示，可以理解为将一个立轮的转动转化为三个平轮的转动．忽略齿轮对半径的影响，简化后如图2，记初始时，在小平轮上，与中平轮的切点为点A，大平轮上最高点为点B，大、中、小平轮和立轮的半径分别为．随着转动，以下说法正确的是（   ） A．小平轮转2圈，大平轮转1圈 B．AB两点距离最大为18 C．AB两点距离最小为10 D．若立轮与小平轮相互咬合，忽略齿轮对半径的影响，则小平轮与立轮上的点的最大距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则的最小值为________. 13．在中，，，，的平分线AD交BC于点D，则______． 14．（热点）函数，直线为的一条对称轴，为的一个对称中心，且在区间上单调，则的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知，是平面内两个不共线的向量，，，. (1)若A，C，D三点共线，求实数m的值； (2)若，，是钝角，求实数m的取值范围. 16．（15分） 在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)已知，，求边上的高． 17．（15分） （知识交汇）已知函数部分图象如图所示． (1)求ω和φ的值； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)设，已知函数在上存在零点，求实数a的取值范围． 18．（17分） （创新题）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.①；②；③. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知_________. (1)求角A； (2)若，. （ⅰ）若，求的最大值； （ⅱ）若为锐角三角形，，求实数t的取值范围. 19．（17分） （创新题）A中学某数学兴趣小组在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式对猜想进行了证明．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“发电叶片恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“发电叶片恒等式”的结论能否得到推广呢？根据以上信息，回答下列问题： (1)证明：； (2)解关于的方程：，其中； (3)求的值，其中，且． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $