第2章 平面向量及其应用 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（北师大版）

参考 AB,AC不共线， -1=一m, 2 m= 5 解得 3 21≥m, 5 L 5 n=3 成=号成，即器=2 3 点P为线段BC上靠近点C的三等分点 19.解：(1)由题意知，在△AOB中，OA=120,∠AOB= 30°，∠OAB=60°，所以∠ABO=90°，于是AB= OA sin∠AOB=120sin30°=60（海里），而快艇的速 度为)=60海里/小时，所以快艇从港口A到小岛B 的板行时问为9-1小时。 (2)由(1)知，快艇从港口A驶北 离2小时后，从小岛B出发与 D 科考船汇合.为使航行的时间 最少，快艇从小岛B驶离后必 须按直线方向航行，设快艇驶 离小岛Bt小时后恰与科考船 0 一东 A 在C处相遇.在△AOB中，OB =OAcos.∠AOB=120cos30°=60√5，而在△COB 中，BC=60t,OC=20(2+t),∠BOC=30°：由余弦定 理得BC2=OB2+OC2-2OB·OC·cos∠BOC, 即(60t)2=(603)2+[20(t+2)]2-2×60V5×20(t +2)×号，化商得8+51-13=0，郎得1=1或1 号（合 故t+2=3. 即快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船 相遇. 第二章 平面向量及其应用 (B卷) 1.D因为AB=(1,2),所以a=(-4,-8)=-4(1,2) =-4AB.故选D.] 2.D[由a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,又a+bl =√a2+2a·b+b=7, 所以eaa+6=+8-写是-是] 3.A ['.'sin A sin B=3 5, 六由三孩定理可得号-会可得a=6 c=26-a=b, .cos B=a2tc262 2ac 2×3驰×7h 55 选A.] 4B[由题意得，AG=花+E=市+ 花+子店+成)=市+(+号》 =2市+受成， :店=a心=b店=b叶名a.故选B] 答案 5,C[由已知及正弦定理得h十C a+ca+b=1, 化简得b2+c2-a2=bc, 所以cosA=2+c2-a2 1, 2bc2 因为A∈(0，π)，所以A=60°， 所以AB·AC=bc cos60°=4，所以bc=8,所以S△ABC =csmA=7×8×9-2.故选C] 2 6.B[由(a+b+c)(b+c-a)=3bc,得[(b+c)+a][(b +c)-a]=3bc即(b+c)2-a2=3bc,整理得b2+c2 a2=bc, 根据余弦定理得cosA=+c2-a2=1 2bc =2· 因为0°<A<180°，所以A=60°，故选B.] 7.C[由题意作出示意图如图所示.北 A 由题意可得∠ACB=180°一20° -40°=120°， 20° 由余弦定理可得AB2=AC2十 BC2-2AC·BC·cos120°=9 东 +25-2X3×5×cos120°=49，C 所以AB=7km.故选C.] 40° 8.C[由题图可得CD=BC,所 以AB+CD=AB+BC=AC, 在△ACD中，AD=6,CD=2, ∠ADC=S, 所以AC=√AD2+CD2-2 ADXCDcos∠ADC √62+22-2×6X2×s号=27.故选C.] 9.AB[由题意知，日是与a同向的单位向量，合是 与b同向的单位向量，这两个向量互为相反向量，所 以a,b方向相反.周北：使得日十合-0成立的条件 有a十b=0,a=-2b.故选AB.] 10.BD[因为C=C+A花，A范=号Ai, A方=AB+BD,Bò=子B心，B成=BA+AC,所以C =A茄-C,B前=子(Bi+AO,所以=AB+ B丽=店+子B成+子AC,所以A正 号(+号A+号)所以应=i+专A成+ 号Bi+日花=号A店-gA花.故选BD] 11.BCD[以BC的中点为原 点，建立如图所示的平面直 角坐标系，则A(0,5a), B(-a,0),C(a,0). 设P(x,y), B 0 则PA=(-x,3a-y), PB=(-a-z,-y),PC=(a-x,-y). 所以PA·(PB+PC)=(-x,W3a-y)·[(-a-x, -y)+(a-x,-y)] 数学(BS) =(-x,W3a-y)·(-2x,-2y) =2.x2+2y2-2√3ay )月 d≥-a2.故选Dn] 12.解析：a=1,bl=2,由a⊥(a-2b), 知a·(a-2b)=0,2a·b=1, 所以2a+b|2=4a2+4a·b+b2=4+2+4=10,故 |2a+bl=√10. 答案：√0 13.解析：因为AB=3e,CD=-5e, 所以丽而. 所以AB∥CD,AB≠CD, 因为|AD|=|BC|,所以AD=BC, 所以四边形ABCD是等腰梯形. 答案：等腰梯形 14.解析：由三角形的面积公式可得S△Ac=2 e sin A =-瓜，所以c=2g,由余孩定理符=十2 -2aosA=14-2X6×2厄×号=2. 所以a2+b2=c2, 所以C=受B=子 答案：2E晋 15.解：(1)因为AB=OB-OA=a+2b,AC=OC-OA= -a-2b,所以AC=-AB. 又因为A为公共点，所以A,B,C三点共线 ②爱a+=Aa+2bid∈R则终流部得 二：或二一所以实教的值为士4. a=2,或λ=-2， 16.解：1（a-b)(a+b)=子 a2-8=分即a2-b12=分 a=1.b2=号161-盟 2 1 a·b 2 cos0-Ta. √2 1 2 2 又∈[0，x],∴.0= 4 (2):1a+b2=a2+2a·b+b2=1+2×2 1 大2 =@ a+b=√2 2 17.,解：1)由已为及正孩定理得2c·5inB+ =a2+c2, 即a2+c2-b2=2 3acsin B, 由余弦定理可得a2+c2-b2=2 accos B=2y5。 3acsin B, 必修第二册 即√5cosB=sinB,所以tanB=√5， 因为B∈(0，x),所以B=子 (2)由余弦定理得2=(25)2=a2+c2-2 aceos3 =(a-c)2+ac=22+ac, 所以ac=8,所以a=4,c=2. 62=4, 由正弦定理将CAB a 2 所以sinA=1,sinC=z, 、1 又A,C为三角形的内角， 所以A=受C=吾， 所以加AC=m音-号 18.解：(1)M为DC的中点， D成=马成 又DC=AB, AM=A+Di=AD+号A店=a+h :H为AD的中点，BF=号BC Ai=2ò，酥=子成 又BC=AD: H尿=H+A店+B萨=-A市+A店+专Aò =A-=a (2)由已知得a·b=3×4×cos120°=-6， 亦-（合+b(包-b =0+(-品)加。动 =×+×(-6)6×4= 3 19.解：(1)因为sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C, 所以由正弦定理得 BC2-AC2-AB2=AC·AB, 所以cosA=AC+AB2-BC2 - 2AC·AB 2 因为A∈0，m,所以A=受 (2)由1)如A-要又BC=3,所以由余孩定理得 BC2=AC2+AB2-2AC.ABcos A =AC2+AB2+AC·AB=9. 即(AC+AB)2-AC·AB=9. 因为AC·AB≤(AC+AB) 、2 (当且仅当AC=AB时 取等号)， 所以9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2 C士Ay=子ac+AB, 2 解得AC+AB≤2V3(当且仅当AC=AB时取等号)， 所以△ABC的周长=AC+AB+BC≤3十2√3，所以 △ABC周长的最大值为3十2√3. 72(地：想1机：59) 数 新高考 第二章 学 同步单元双测卷 B (时间：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.已知两点A(2,一1)，B(3,1),与AB平行 且方向相反的向量α可能是 ) A.a=(1,-2) B.a=(9,3) C.a=(-1,2) D.a=(-4,-8) 如 2.已知向量a,b满足|a|=5,b|=6,a·b =一6，则c0sa,a+b〉= A.-13 5 35 c品 D.19 35 3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, b,c,已知sinA:sinB=3:5,c=2b-a,则 cos B= ( c D.3 2 女 4.已知等腰梯形ABCD中，AB=2DC,E, F分别为AD,BC的中点，G为EF的中 毁 点，若记AB=a,AD=b,则AG=( A.a 3 B. 1 C.za+ib 1 D.ia+gb 1 茵 5.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C 的对边，b sinA+sinB=1,A店， sin C AC=4,则△ABC的面积为 A.3 B.2 C.25D.4√3 6.在△ABC中，如果(a+b+c)(b+c-a) =3bc,那么A= ( A.30° B.60 C.120° D.150° 13 平面向量及其应用 卷·素养提升卷 满分：150分) 7.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离 分别为3km,5km,灯塔A在观察站C 的北偏东20°方向上，灯塔B在观察站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A与B间的 距离为 () A.6 km B.4√5km C.7 km D.5√2km 8.在如图所示的图形中，圆的半径均为1， 且相邻的圆都相切，A,B,C,D是其中四 个圆的圆心，则|AB+CD|= () A.√19B.19C.2√7D.23 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分， 共18分.在每小题给出的选项中，有多个 选项符合题目要求.全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.设a,b都是非零向量，下列四个条件中， 一定能使日+合=0成立的是（） b A.a=-2b B.a+b=0 C.a∥b D.a⊥b 10.如图所示，在△ABC 中，点D在边BC上， 且CD=2DB,点E在 B 边AD上，且AD=3AE,则 A.C正=子AD+Ad B.CE-TAD-AC C.C正-号AB+8AC D.C正-号A店-8AC 11.已知△ABC是边长为2a(a>0)的等边 三角形，P为△ABC所在平面内一点， 则PA·(PB+PC)的值可能是() A.-2a2 C.-ja D.-a2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分， 共15分.将答案填在题中横线上 12.已知平面向量a,b,a=1,|b|=2,a⊥ (a-2b),则|2a+b的值是 13.若e为非零向量，AB=3e,CD=-5e, 且|AD|=|BC,则四边形ABCD的形 状是 14.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 为a,bc,已知A=否，b=6,△ABC的面 积为√3，则c= ,B= 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分)设a,b是不共线的 两个非零向量. (1)OA=2a-b,OB=3a+b,OC= a一3b,求证：A,B,C三点共线； 14 (2)若8a+b与ka十2b共线，求实数k 的值. 16.(本小题满分15分)已知a|=1,a·b= 3,(a-b)·(a+b)= (1)求向量a与b的夹角0； (2)求|a+b. 17.(本小题满分15分)在△ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c,且 3sin Asin C+sin B sin B-sin'A sin2C. (1)求角B的大小； (2)已知a-c=2,b=2√3，求sin(A一 C)的值. 15 18.(本小题满分17分)如 图，在平行四边形ABCD 中，AB=a,AD=b,H, M是AD,DC的中点，BF=专BC (1)以a,b为基表示向量AM与HF; (2)若|a|=3,|b=4,a与b的夹角为 120°，求AM.HF. 19.(本小题满分17分)在△ABC中，sinA -sin2B-sin2C=sin Bsin C. (1)求A; (2)若BC=3,求△ABC周长的最大值 16