23.2.3 待定系数法求一次函数解析式 导学案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十三章 一次函数 23.2 一次函数的图像和性质 第3课时 待定系数法求一次函数解析式 教学目标： 1.理解待定系数法的意义； 2.会用待定系数法求一次函数的解析式； 3.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题. 教学重点：理解待定系数法的意义，会用待定系数法求一次函数的解析式； 教学难点：会用待定系数法求一次函数的解析式. 活动一、复习导入 问题1：前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？如何画出它们的图象？ 思考： 反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？ 活动二、典例分析 例1 （教材P121例题） 已知一次函数的图象过点(2，-4)与(－3，11)，求这个一次函数的解析式. 【练一练1】已知一次函数的图象经过点(9，0)和点(24，20)，写出函数解析式. 【练一练2】若一次函数的图象经过点 A(2,0)，且与直线y=-x+3平行，求其解析式. 活动三、探究新知1： 探究1.待定系数法 知识点一（待定系数法） 先设出函数解析式，再根据已知条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法． 由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中有k和b两个待定系数，因此用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数）．解方程组后就能具体写出一次函数的解析式． 数学的基本思想方法：数形结合 知识点二（用待定系数法求一次函数解析式的步骤） （1）设：设一次函数的一般形式________________； （2）列：把图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式，组成_______________方程组； （3）解：解二元一次方程组得k， b； （4）还原：把k，b的值代入一次函数的解析式. 注：用待定系数法求函数解析式时，要先判断函数是哪一类函数，然后才能设出所求函数的解析式. 在正比例函数 y=kx 中，只有一个待定系数 k ，只需要一个除 (0，0)外的条件即可求出 k 的值； 在一次函数 y=kx+b 中，有两个待定系数 k，b，因而需要两个条件才能求出 k 和 b 的值. 小结： 用待定系数法确定函数解析式时，应注意结合题目信息，根据不同情况选择相应方法： （1）如果已知图象经过点的坐标，那么可直接构造方程(组)求解； （2）当直线经过的点的坐标未知时，结合题意，先确定直线经过的点的坐标，再构造方程(组)求解． 活动四、典例分析 例2 （教材P122例题） 一位记者乘坐汽车赴360km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程 y（单位：km）与时间 x（单位：h）之间的关系如图所示. （1）求汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的函数解析式； （2）记者出发后多长时间到达采访地？ 【练一练】 某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准. 居民每月应缴水费y（单位：元）是用水量x（单位：t）的函数，其图象如图所示. （1）分别求出当0≤x≤15和x＞15时，y关于x的函数解析式； （2）若某用户某月用水9t，应缴水费多少元？若某月缴水费102元，则这个月用水多少吨？ 小结： 运用一次函数解决实际问题的方法： 在运用一次函数解决实际问题时，首先判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时，求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所需的结果． 例3 已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式. 【练一练】 正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为 (3，4)，并且OB=5. (1) 你能求出这两个函数的解析式吗？ (2) △AOB的面积是多少呢？ 活动五、随堂检测 随堂练习1 一次函数的图象经过点(2,1)和点(1,5)，则这个一次函数是　( ) A. y=4x+9 B. y=4x-9 C. y= - 4x+9 D. y= - 4x-9 随堂练习2 已知点P的横坐标与纵坐标之和为1，且这点在直线y=x+3上，则该点是( ) A.(-7,8) B. (-5,6) C. (-4,5) D. (-1,2) 随堂练习3 若点A(-4,0)、B(0,5)、C(m,-5)在同一条直线上，则m的值是( ) A.8　 B.4 C.-6 D.-8 随堂练习4 一次函数y=kx+4的图象经过点(－3，－2). (1)求这个函数的解析式； (2)判断(－5，3)是否在此函数的图象上. 随堂练习5 已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式. 随堂练习6 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(min)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示. (1)分别求出当0≤x＜100和x≥100时，y与x之间的函数解析式． (2)月通话为280 min时，应交话费多少元？ 随堂练习7已知一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量的取值范围是－3≤x≤ 6，相应函数值的范围是－ 5≤y≤－ 2 ，求这个函数的解析式. 活动六、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数 23.2 一次函数的图像和性质 第3课时 待定系数法求一次函数解析式 教学目标： 1.理解待定系数法的意义； 2.会用待定系数法求一次函数的解析式； 3.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题. 教学重点：理解待定系数法的意义，会用待定系数法求一次函数的解析式； 教学难点：会用待定系数法求一次函数的解析式. 活动一、复习导入 问题1：前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？如何画出它们的图象？ 答：y＝3x-1 y＝-2x+3 两点法——两点确定一条直线 思考： 反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？ 答：能求出它的解析式 活动二、典例分析 例1 （教材P121例题） 已知一次函数的图象过点(2，-4)与(－3，11)，求这个一次函数的解析式. 【解析】求一次函数y＝kx＋b的解析式，关键是求出k，b的值. 从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，进而求出k，b. 【解】设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0). 因为y＝kx＋b的图象过点(2，-4)与(－3，11)， 因此，这个一次函数的解析式为y＝-3x+2. 【练一练1】已知一次函数的图象经过点(9，0)和点(24，20)，写出函数解析式. 【解】设一次函数解析式为y＝kx＋b. 所以一次函数解析式为y＝x－12. 【练一练2】若一次函数的图象经过点 A(2,0)，且与直线y=-x+3平行，求其解析式. 【解】设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 活动三、探究新知1： 探究1.待定系数法 知识点一（待定系数法） 先设出函数解析式，再根据已知条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法． 由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中有k和b两个待定系数，因此用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数）．解方程组后就能具体写出一次函数的解析式． 数学的基本思想方法：数形结合 知识点二（用待定系数法求一次函数解析式的步骤） （1）设：设一次函数的一般形式 __y=kx+b(k≠0)__； （2）列：把图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式，组成__二元一次_方程组； （3）解：解二元一次方程组得k， b； （4）还原：把k，b的值代入一次函数的解析式. 注：用待定系数法求函数解析式时，要先判断函数是哪一类函数，然后才能设出所求函数的解析式. 在正比例函数 y=kx 中，只有一个待定系数 k ，只需要一个除 (0，0)外的条件即可求出 k 的值； 在一次函数 y=kx+b 中，有两个待定系数 k，b，因而需要两个条件才能求出 k 和 b 的值. 小结： 用待定系数法确定函数解析式时，应注意结合题目信息，根据不同情况选择相应方法： （1）如果已知图象经过点的坐标，那么可直接构造方程(组)求解； （2）当直线经过的点的坐标未知时，结合题意，先确定直线经过的点的坐标，再构造方程(组)求解． 活动四、典例分析 例2 （教材P122例题） 一位记者乘坐汽车赴360km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程 y（单位：km）与时间 x（单位：h）之间的关系如图所示. （1）求汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的函数解析式； （2）记者出发后多长时间到达采访地？ 【解析】问题中汽车行驶的速度不是固定不变的，它与行驶的时间范围有关. 当0≤x≤2时，汽车行驶的速度较快； 当x＞2时，汽车行驶的速度较慢．因此，求函数解析式时应对0≤x≤2和x＞2两个时段分别讨论. 【解】（1）当0≤x≤2时，函数图象是经过原点和点A的直线的一部分. 设函数的解析式为y=k1x.因为它的图象过点A（2，180）， 所以180=2k1； 解得k1=90. 因此，当0≤x≤2时，函数的解析式为y=90x. 当x＞2时，函数图象是经过A，B两点的直线的一部分. 我们求出直线AB所对应的一次函数的解析式. 设这个一次函数的解析式为y=k2x+b2，把点A，B的坐标分别代入y=k2x+b2，得 因此，当x＞2时，函数的解析式为y=60x+60. 综上，当0≤x≤2时，y=90x；当x＞2时，y=60x+60. （2）由图象可知，当y=360时，x＞2. 由360=60x+60，解得x=5. 因此，记者在出发5h后到达采访地. 【练一练】 某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准. 居民每月应缴水费y（单位：元）是用水量x（单位：t）的函数，其图象如图所示. （1）分别求出当0≤x≤15和x＞15时，y关于x的函数解析式； （2）若某用户某月用水9t，应缴水费多少元？若某月缴水费102元，则这个月用水多少吨？ 【解】（1）当0≤x≤15时，设解析式为：y = k1x (k1≠0) (15, 60) ，代入解析式得：15k60， 解得k14 所以，函数解析式为：y = 4x 当x＞15时，设解析式为：y = k2x + b (k2≠0) (15, 60) 和 (20, 90)，代入解析式得： 解得 所以，函数解析式为：y = 6x - 30 综上，当0≤x≤15时，y = 4x ；当x＞15时，y = 6x - 30. （2） 因为 9 ＜15，x＝9带入y=4x， 得y = 4 ×9 = 36 所以，应缴水费 36 元. 判断用水量是否超过 15t：当 x=15 时，水费 y=4×15=60 102 元 > 60 元，说明用水量 x>15 y=102 代入y=6x-30 得102 = 6x - 30 解得x = 22 所以，这个月用水 22 吨. 小结： 运用一次函数解决实际问题的方法： 在运用一次函数解决实际问题时，首先判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时，求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所需的结果． 例3 已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式. 分析：一次函数y=kx+b与y轴的交点是（0，b），与x轴的交点是（-，0）.由题意可列出关于k，b的方程. 解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0). ∵一次函数y=kx+b的图象过点（0，2）， ∴b=2. ∵一次函数的图象与x轴的交点是(-，0)，则 解得k=1或-1. 故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2. 【练一练】 正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为 (3，4)，并且OB=5. (1) 你能求出这两个函数的解析式吗？ (2) △AOB的面积是多少呢？ 解：（1）由题意可知，B点的坐标是（0，-5）. ∵一次函数y=k2x+b的图象过点（0，-5），（3,4）， ∴解得 因此y=3x-5. ∵正比例函数y=k1x的图象过点（3,4）， ∴ 因此 （2）S△AOB=×5×3=7.5. 活动五、随堂检测 随堂练习1 一次函数的图象经过点(2,1)和点(1,5)，则这个一次函数是　( C ) A. y=4x+9 B. y=4x-9 C. y= - 4x+9 D. y= - 4x-9 随堂练习2 已知点P的横坐标与纵坐标之和为1，且这点在直线y=x+3上，则该点是( D ) A.(-7,8) B. (-5,6) C. (-4,5) D. (-1,2) 随堂练习3 若点A(-4,0)、B(0,5)、C(m,-5)在同一条直线上，则m的值是( D ) A.8　 B.4 C.-6 D.-8 随堂练习4 一次函数y=kx+4的图象经过点(－3，－2). (1)求这个函数的解析式； (2)判断(－5，3)是否在此函数的图象上. 解:(1)把(－3,－2)代入解析式，得－3k+4=－2，解得k=2， ∴解析式为y=2x+4. (2)把x=－5代入解析式，得y=2×(－5)+4=－6≠3， 因而(－5，3)不在此函数的图象上. 随堂练习5 已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式. 解：设直线l为y=kx+b, ∵l与直线y=-2x平行， ∴k=-2. 又∵直线过点（0，2）， ∴2=-2×0+b, ∴b=2, ∴直线l的解析式为y=-2x+2. 随堂练习6 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(min)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示. (1)分别求出当0≤x＜100和x≥100时，y与x之间的函数解析式． (2)月通话为280 min时，应交话费多少元？ 解：（1）当0≤x＜100时，设y1＝k1x(k1≠0)， 将(100，40)代入得100k1＝40，解得k1＝. 所以正比例函数的解析式为 y1＝x . 当x≥100时，设y2＝k2x＋b(k2≠0)， 将(100，40)及(200，60)分别代入得 解得 所以一次函数解析式为 y2＝x＋20. （2）因为280＞100， 所以将x＝280代入y2＝x＋20中，得y＝×280＋20=76. 即月通话时间为280 min时，应交话费76元． 随堂练习7已知一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量的取值范围是－3≤x≤ 6，相应函数值的范围是－ 5≤y≤－ 2 ，求这个函数的解析式. 分析：(1)当－ 3≤x≤ 6时，－ 5≤y≤－ 2，实质是给出了两组自变量及对应的函数值； (2)由于不知道函数的增减性，此题需分两种情况讨论. 解：①当k > 0时，y 随 x 的增大而增大，设y＝k1x＋b1(k2≠0)， · 当x=-3时，y=-5；当 x=6时，y=-2 (-3, 5) 和 (6, -2)，代入解析式得： 解得 所以，函数解析式为：y = x - 4. ②当k ＜ 0时，y 随 x 的增大而增大，设y＝k2x＋b2(k2≠0)， · 当x=-3时，y=-2；当 x=6时，y=-5 (-3, -2) 和 (6, -5)，代入解析式得： 解得 所以，函数解析式为：y = x - 3. 活动六、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $