天津市静海区第一中学2025-2026学年高一第二学期期中学业能力调研数学试卷

**基本信息** 聚焦高一数学核心内容，基础与提高分层设计，融合生活情境与学法指导，通过向量、三角、复数、立体几何综合考查数学眼光、思维与表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|复数虚部、向量表示、正余弦定理、立体几何定义|第5题骑行方向距离问题，体现用数学眼光观察现实世界| |填空题|5题25分|复数运算、圆锥表面积、直观图面积、解三角形|第13题向量与面积最值，考查运算能力与推理意识| |解答题|5题60分|复数分类、解三角形、向量夹角、立体几何体积|17题总结体积方法（分割/补形）培养学法，18题面积取值范围考查模型观念与逻辑推理|

静海一中2025-2026第二学期高一数学（期中） 学生学业能力调研试卷 命题人：邹鑫鹏 审题人：陈中友 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（91分）和第Ⅱ卷提高题（26分）两部分，含3分卷面分，满分共120分。 知 识 与 技 能 学习能力（学法） 内容 平面向量 正、余弦定理 复数 立体几何 方法归类 易错易混 分数 23 39 19 36 13 13 第Ⅰ卷 基础题（共91分） 一、选择题: 每小题4分，共32分. 1．是虚数单位，设，则z的虚部是（ ） A．1 B．i C．-1 D．-i 2．如图在梯形中，，，设，，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台 D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥 5．一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了到达地，然后由地向南偏东方向骑行了到达地，再从地向北偏东方向骑行了到达地，则两地的距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（     ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 8．已知的内角A，B，C所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（    ） ①若，则定为等腰三角形 ②若，则一定是锐角三角形 ③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的 ④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 ⑤若，则点是的内心 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：每小题5分，共25分. 9.已知复数，求= 10．已知一个圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的表面积是_______________； 11．已知水平放置的的平面直观图是边长为1的正三角形，那么的面积为 12．在中，已知，则B= 13．如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为________． 3、 解答题：(本大题共5小题，共60分) 14．（10分）已知复数，. (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围. 15．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A的大小； （2）若，求面积的最大值. 16．（12分）已知平面向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. (3)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 第Ⅱ卷 提高题（共26分） 17.（13分）（1）如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. ①求三棱锥的体积； ②求 . (2)如图所示，已知多面体,两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，求该多面体的体积. （3）结合本题，总结求空间几何体的体积有哪些方法？ 18．（13分）在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19.卷面分（3分） 附（2）：答题纸模板： 静海一中2025-2026第二学期高一数学（4月） 学生学业能力调研试卷答题纸 学校： 姓名： 班级： 考场： 座号 一、选择题：涂卡（不用做） 二、填空题（每题5分，共25分）（小四号宋体加粗） 9._______ 10._______ 11._________ 12._________ 13._________ 三、解答题（本大题共5题，共60分）（小四号宋体加粗） 14. （10分）……… 15. （12分）………… 16．（12分）…………... 【学法题】 17．（13分）…………... 18．（13分）…………… 19.卷面分（3分） 静海一中2025-2026第二学期高一数学（期中） 学生学业能力调研试卷答案 1.【答案】A 【详解】，的虚部为1，故选A． 2.【答案】D 【详解】因为，， 所以， 又，， 所以. 3.【答案】A 【详解】因，则， 则. 故选：A 4.【答案】D 【详解】因为有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，所以A、B错误； 而一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，所以棱台各侧棱的延长线交于一点，所以C错误； 因为有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以D正确. 5.【答案】A 【详解】由题可知，， 所以，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 即两地的距离为. 故选：A 6.【答案】B 【详解】球被平面所截得的截面面积为，可得截面圆的半径为，正方形的边长为， 设球的半径为，则到平面的距离为， ，解得， 所以四棱锥的体积为. 7.【答案】B 【详解】由，可得， 即，可得， 因为，可得， 又由余弦定理，可得， 因为，可得，所以， 整理得，即，所以，所以， 所以为等边三角形. 故选：B. 8.【答案】B 【详解】对于①，在中，由，得或， 即或，则是等腰三角形或直角三角形，①错误； 对于②，由及余弦定理，得，则为锐角， 而是否为锐角不确定，②错误； 对于③，由，得，即， 则，的面积是面积的，③错误； 对于④，由，得是的重心， 由，得是的外心， 即的重心、外心重合，则为等边三角形，④正确； 对于⑤，由，得， 则，则， 则，即平分， 由，同理得平分， 因此点O是的内心，⑤正确， 所以正确命题的个数是2. 故选：B 9. 1 10.【答案】 【详解】设圆锥的母线长为，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得，所以， 所以圆锥的表面积为. 故答案为：. 11. 【详解】由题意可知：直观图的面积， 所以的面积. 12. 13.【答案】 【详解】 ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：；. 14.【答案】(1)或； (2)； (3) 【详解】（1）解：，且是实数， ， 解得或； （2）解：是纯虚数， ， 解得； （3）解：在复平面内对应的点在第四象限， ， 解得. 15.【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）因为 由正弦定理可得，即，又，所以，因为，所以 （2）因为，，所以，又，所以，即，当且仅当时取等号； 所以，故三角形面积的最大值 16.【答案】(1)或3： (2)1或 (3) 【详解】（1）若，则. 整理得，解得或. 故的值为或3. （2）若，则有，即，解得或 当时，，则，得； 当时，，则，得. 综上，的值为1或. （3）因与的夹角是钝角，则，即，得， 又当与共线时，有，得，不合题意，则 综上，的取值范围为. 17.（1）①由题可得： ②因为， 在长方体中平面， 所以三棱锥的高为， 所以 . （2）【答案】4 【分析】法一：将多面体分割成一个直棱柱和一个斜棱柱即可求出；法二：利用补形法将多面体补成了正方体，即可求出. 【详解】法一（分割法）： 因为几何体有两对相对面互相平行，两两互相垂直，所以可推出. 如图所示，过点作于，连接， 即把多面体分割成一个直三棱柱和一个斜三棱柱. 由题知，，. 故所求几何体的体积为. 法二（补形法）： 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半. 又正方体的体积，故所求几何体的体积为. （3）分割法；补形法；等体积转换法 18.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以； （2） 因为，所以 所以 所以的周长是 （3）由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. ( 1 )高一数学（3月）学生学业能力调研试卷 第 页 共 4页 学科网（北京）股份有限公司 $