天津市静海区第一中学2025-2026学年高二第二学期期中学业能力调研数学试卷

**基本信息** 静海一中高二数学期中调研卷分基础（120分）与提高（30分）两卷，覆盖导数几何意义、单调性、参数范围、二项式定理、排列组合、概率等核心知识，通过真实情境（如社团合影、实验室分配）与分层设问，考查数学抽象、逻辑推理及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9题45分|导数几何意义、二项式常数项、概率计算|基础概念辨析，如切线倾斜角、条件概率| |填空题|5题25分|排列组合（相邻不相邻）、概率（全概率公式）|情境化设计，如动漫社团合影排法、三罐取红球概率| |解答题|6题80分|导数极值/最值、二项式定理赋值法、排列组合分组|分层能力考查，如16题多问探究二项式赋值方法，19题导数零点证明体现逻辑推理|

静海一中2025-2026第二学期高二数学（期中） 学生学业能力调研试卷 命题人：杨夺 审题人：陈中友 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（120分）和第Ⅱ卷提高题（30）两部分，卷面分3分,共150分。 知 识 与 技 能 学习能力 内容 导数几何意义 单调性 参数范围 二项式定理 排列组合 概率 关键环节 分数 10 30 28 32 15 32 20 第Ⅰ卷 基础题（共120分） 一、选择题:（ 每小题5分，共45分.） 1．曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．的展开式中常数项为（ ） A． B． C． D． 3．口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 4．已知甲，乙，丙，丁4人随机站成一排，则甲，乙两人站在丙的同侧的概率为（    ） A． B． C． D． 5.将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（    ） A．26种 B．36 种 C．38 种 D．50 种 6．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.则摸到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 7．展开式中的系数为（   ） A．68 B．－80 C．－68 D．80 8.已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 9.若存在使得方程有解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．二、二、 填空题：（每小题5分，共25分.） 10.的展开式中的系数为___________. 11．云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法有 种. 12．三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率_______. 13.从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件至少抽到一名女生，事件恰好抽到一名男生，则________． 14.若关于的方程仅有一个实数根，则实数的取值范围为______． 三、解答题：(本大题共4小题，共50分) 15.(14分)学校要从10名候选人中选3名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班，其余6名同学来自除甲班外的其他互不相同的6个班．假设每名候选人都有相同的机会被选到． (1)求甲班恰有2名同学被选到的概率； (2)求选到的3名同学是来自互不相同的班级的概率． 16.（18分）已知 展开式共有11项. (1)求 的值； (2)求 的值； (3)求 的值. (4)求的值. (5)结合二项式展开式的特点，针对合理赋值这一方法应如何进行设问。 17.（18分）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)若在上存在零点，求的取值范围. 第Ⅱ卷 提高题（共30分） 一、解答题：(本大题共2小题，共27分) 18.（12分）有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为，，的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内. (1)共有多少种不同的放法？ (2)若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ (3)若标号为1，2的两个小球必须放号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ (4)若五个小球是相同的，全部放入这三个盒子中，且每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？（注意：请写出式子再写计算结果） 19.（15分）已知函数． (1)当时，求函数在x=1处的切线方程； (2)当时，若函数有2个不同的零点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明： 20.（3分）卷面分 试卷第1页，共3页 高二数学（期中）学生学业能力调研考试试卷第 5 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 静海一中2025-2026第二学期高二数学（期中） 学生学业能力调研试卷 答案 1~5 BDADD 6~9CCB 10.90 11.72 12. 13. 14. 15.(1)(2) 【详解】（1）设选到的3人中甲班同学的人数为X，∴. （2）设“选到的3名同学是来自互不相同的班级”为事件A， 则有可能1个同学来自甲班，2个同学来自其他班，有种； 也有可能3个同学都来自其他班，有种； 则， 所以选到的3名同学是来自互不相同的班级的概率为. 16.【答案】(1)0 (2) (3)0 （1）二项式展开式的项数为，由题知展开式共11项，因此，得， 令，得， 即， 令，代入等式得：， 因此； （2）展开式中，系数的符号由决定，即对应将原式中换为后的系数， 等价于令代入原式： 计算得，因此结果为； （3）令，代入等式得， 左边等于，因此结果为. (4)20 17.(1)极大值为，没有极小值 (2)0 (3) 【详解】（1）当时，，定义域是 求导可得 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 由此可得的极大值为，没有极小值. （2）当时，，定义域是 求导可得 令，定义域是，则 求导可得，当时，，因此在上是增函数， 所以，即在上是增函数，. （3），定义域是 18．(1)243；(2)150；(3)12.（4） 【详解】（1）依题意，每个球有3种放法，所以不同放法种数是. （2）将5个球分成3组，有种方法，再将分成的3组放到3个不同盒子，有种放法， 所以每个盒子不空的不同放法种数是. （3）号盒子放3个球，且每个盒子不空，共有种放法； 号盒子放2个球，且每个盒子不空，将另3个球分成2组，放入余下两个盒子，共有种放法， 所以所求不同放法种数是. 19．(1). (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用导数判断函数的单调区间； （2）（ⅰ）转化为函数与有两个交点的问题； （ⅱ）由函数的两个零点可得，再利用构造函数的方法证明即可. 【详解】（1）当时，，则，    ,切线方程为.. （2）（ⅰ）当时，若函数有2个不同的零点，， ∴恰有2个正实数根，， 令，则与有两个不同交点， ∴，           ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，又，           当x从0的右侧无限趋近于0时，趋近于； 当x无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于， 则图象如下图所示， ∴当时，与有两个不同交点， ∴实数a的取值范围为．           （ⅱ）证明：由（ⅰ）知：，， ∴，， ∴，则， 不妨设， 要证，则需证，           ∵，∴，∴，则只需证， 令，则只需证时，恒成立，           令， ∴，           ∴在上单调递增，∴， ∴当时，恒成立， ∴原不等式得证． 高二数学（期中）学生学业能力调研考试试卷第 5 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $