1.2.2 等腰三角形的判定及反证法-课件-- 2025--2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 1.2.2等腰三角形的判定及反证法 第一章 三角形的证明及其应用 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“1.2.2 等腰三角形的判定及反证法”核心知识点设计，重点考查等腰三角形的判定定理（等角对等边）、判定定理的应用，以及反证法的定义、步骤和简单应用，衔接前序等腰三角形的性质，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握等腰三角形的判定方法和反证法的解题规范，规避判定与性质混淆、反证法步骤遗漏等常见问题。 一、基础梳理（必记内容） （一）等腰三角形的判定（重点） 1. 判定定理（核心）：在同一个三角形中，等角对等边（即如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的两条边也相等）。 补充说明：① 判定定理与性质定理（等边对等角）是互逆关系：性质是“边相等→角相等”，判定是“角相等→边相等”；② 前提条件：“在同一个三角形中”，若两个角不在同一个三角形中，即使相等，所对的边也不一定相等。 2. 等腰三角形的其他判定方法： - （1）定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形（与前序定义一致，可直接用于判定）； - （2）三线合一逆用：如果一个三角形的一条角平分线、该角对边上的中线、该角对边上的高互相重合，那么这个三角形是等腰三角形（针对顶角和底边，与性质“三线合一”互逆）； - （3）特殊判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（衔接前序等边三角形知识，可快速判定等边三角形）。 3. 判定定理的应用技巧：① 判定等腰三角形时，可先找三角形中的相等角，再利用“等角对等边”得出相等的边；② 遇到三角形的角平分线、中线、高重合的情况，优先考虑用三线合一逆用判定等腰三角形；③ 计算角度后，若发现两个角相等，可直接判定为等腰三角形。 （二）反证法（重点） 1. 反证法的定义：在证明一个命题时，先假设命题的结论不成立，然后由此假设出发，经过正确的推理，得出与已知条件、公理、已证明的定理或定义相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法叫做反证法。 补充说明：反证法是一种间接证明方法，适用于直接证明难度较大的命题，如“一个三角形中不能有两个直角”“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等”等命题。 2. 反证法的一般步骤（核心，必记）： - （1）假设：假设命题的结论不成立（即假设结论的反面成立，注意反面要全面，不能遗漏）； - （2）归谬：从假设出发，运用已学的公理、定理、定义等进行正确推理，得出与已知条件、公理、定理或定义相矛盾的结果； - （3）结论：由矛盾的结果判定假设不成立，从而肯定原命题的结论一定成立。 3. 反证法的常见应用场景：① 证明“不能”“不是”“不存在”“至少有一个”“至多有一个”类命题；② 证明几何中的一些唯一性、存在性命题，如“三角形中最多有一个直角”“两条直线相交，有且只有一个交点”等。 4. 易错提醒：① 混淆等腰三角形的判定与性质（性质：等边→对等角；判定：等角→对等边）；② 应用“等角对等边”时，忽略“同一个三角形”的前提；③ 反证法中，假设结论不成立时，遗漏反面情况（如证明“一个三角形中不能有两个直角”，假设时需说明“假设三角形中有两个直角”）；④ 反证法步骤不完整，缺少“归谬”或“结论”环节；⑤ 用反证法推理时，推理过程错误，无法得出矛盾。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于等腰三角形判定的说法，正确的是（ ） A. 有两个角相等的三角形一定是等腰三角形 B. 有两条边不相等的三角形不是等腰三角形 C. 有一个角是60°的三角形是等腰三角形 D. 等腰三角形的判定定理与性质定理完全相同 2. 用反证法证明“一个三角形中不能有两个直角”时，第一步应假设（ ） A. 这个三角形中有一个直角 B. 这个三角形中有两个直角 C. 这个三角形中有三个直角 D. 这个三角形中没有直角 3. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=65°，则△ABC的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 4. 下列说法错误的是（ ） A. 反证法的核心是得出矛盾 B. “等角对等边”是等腰三角形的判定定理 C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D. 反证法不需要结合已学定理进行推理 5. 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD⊥BC，则△ABC一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 三、填空题（每题3分，共15分） 1. 等腰三角形的判定定理：在同一个三角形中，________，简称为“________”；它与性质定理“等边对等角”是________关系。 2. 反证法的一般步骤：________、________、________。 3. 在△ABC中，∠A=∠B=55°，则AC=________（用“等角对等边”判定）；这个三角形的顶角为________°。 4. 用反证法证明“两条直线被第三条直线所截，若同旁内角互补，则这两条直线平行”时，应假设________。 5. 若一个三角形的一条中线与该边上的高重合，则这个三角形是________三角形（用三线合一逆用判定）。 四、解答题（共70分） 1. （10分）基础题，考查等腰三角形的判定和反证法的基础认知。 （1）请完整叙述等腰三角形的判定定理（含前提）、常见判定方法，以及反证法的定义和一般步骤； （2）简述等腰三角形判定定理与性质定理的区别与联系。 解： 2. （12分）辨析题，考查判定定理和反证法的易错点及关系判断。 （1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正： ① 有两个角相等的两个三角形，对应边一定相等； ② 反证法的第一步是得出与已知条件矛盾的结果； ③ 等腰三角形的判定定理可直接用于判定等边三角形； ④ 用反证法证明命题时，假设不成立，则原命题一定成立。 （2）为什么说“等角对等边”的前提是“在同一个三角形中”？请举例说明。 解： 3. （12分）基础计算题，考查等腰三角形判定定理的简单应用。 （1）在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，判定△ABC的形状，并说明理由； （2）在△ABC中，∠C=∠B+10°，∠A=∠B-10°，判定△ABC的形状，并求出三个内角的度数； （3）在△ABC中，AD平分∠BAC，且∠BAD=∠B，求证：△ABC是等腰三角形。 解： 4. （12分）综合计算题，考查等腰三角形判定与性质的综合应用。 （1）在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC，∠A=30°，求∠DBC的度数（先判定等腰三角形，再利用性质计算）； （2）在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，且∠ACD=∠B，判定△ABC的形状，并说明理由； （3）在△ABC中，∠A=60°，∠B=∠C，若AB=5cm 边：有两边相等的三角形是等腰三角形。 （定义） 问题：如何判定一个三角形是等腰三角形？ 角：等腰三角形 两底角相等 性质 进行新课 前面已经证明了等腰三角形的两底角相等。反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ A B C 已知：在△ABC 中，∠B =∠C。 求证：AB = AC。 要想证明AB=AC，只要能构造全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了。 分析： 等腰三角形的判定 1 前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? A B C 实际模型 C A B 数学模型 回顾导入 抽象 如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系? 建立数学模型： C A B AB = AC 你能验证你的结论吗？ 方法思考： ①作高 AD 可以吗? ②作角平分线 AD 呢? ③作中线 AD 呢? 在 △ABD 与 △ACD 中， ∠B =∠C， ∴△ABD≌△ACD (AAS). ∠1 =∠2， AD = AD， ∴ AB = AC. 过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D. 证明： C A B 2 1 D （ （ △ABC 是等腰三角形 证一证 还有别的方法吗？ 等腰三角形的判定定理： 在△ABC 中， ∵∠B =∠C， 应用格式： ∴ AB = AC (等角对等边). A C B 归纳总结 有两个角相等的三角形是等腰三角形. (简称“等角对等边”). A B C D 2 1 ∵∠1 = ∠2 ， ∴ BD = DC (等角对等边). ∵∠1 =∠2 ， ∴ DC = BC A B C D 2 1 (等角对等边). 错，因为都不是在同一个三角形中. 辨一辨：如图，下列推理正确吗? 例1 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E. 求证：△AED 是等腰三角形. A B C D E 证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA， ∴△ABD≌△DCA (SSS). ∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等). ∴ AE = DE (等角对等边). ∴△AED 是等腰三角形. 典例精析 想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗? 如果成立，你能证明它吗? 在△ABC 中， 如果∠B ≠∠C， 那么 AB ≠ AC. A B C 反证法 2 C A B 如图，在△ABC 中，已知∠B≠∠C， 此时，AB 与 AC 要么相等，要么不相等. 假设 AB = AC，那么根据“等角对等边”定理可得∠B =∠C，但已知条件是∠B ≠∠C. “∠B =∠C ”与“∠B≠∠C ”相矛盾， 因此 AB ≠ AC. 小明是这样想的： 你能理解他的推理过程吗? 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知条件或基本事实或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法． 归纳总结 用反证法证题的一般步骤 1. 假设： 先假设命题的结论不成立； 2. 归谬： 从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出 与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果； 3. 结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题 的结论正确. 方法总结 证明：假设 ∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角， 所以一个三角形中不能有两个角是直角． 这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不成立． ∠A＋∠B＋∠C＝90°＋ 90°＋∠C ＞180°． 不妨设 ∠A＝∠B＝90°，则 例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC． 求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角． 典例精析 D 返回 1． 下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是(　　) A．∠A：∠B：∠C＝1：1：3 B．BC：AC：AB＝2：2：3 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．2∠A＝∠B＋∠C 中考考法 15 返回 A 2． 用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一步应假设(　　) A．两直线不平行 B．同旁内角不互补 C．同旁内角相等 D．同旁内角不相等 中考考法 16 B 返回 3． 如图，等腰三角形共有(　　) A．4个 B．5个 C．3个 D．2个 中考考法 17 4． 10 [教材P17习题T7 ]如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO＝3，BO＝4，则MC的长度为________. 中考考法 18 【点拨】 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵MN⊥BC，∴∠MNC＝∠MNB＝90°.∴∠B＋∠BON＝90°，∠C＋∠M＝90°.∴∠M＝∠BON.∵∠BON＝∠MOA，∴∠M＝∠MOA.∴AM＝AO＝3.∵BO＝4，∴AC＝AB＝AO＋BO＝7.∴MC＝AM＋AC＝10. 返回 中考考法 5． 返回 60 如图，一条船上午8时从A处以20 n mile/h的速度向北偏西60°方向航行，上午11时到达B处，B处在灯塔C的正南方向，从A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，则B处离灯塔C的距离为________n mile. 若船接着从B处以15 n mile/h的速度 向灯塔C航行，当船到达灯塔C时 是________时. 15 中考考法 20 6． 【证明】∵AD＋EC＝AB＝AD＋DB， ∴DB＝EC. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 又∵BE＝CF，∴△BED≌△CFE. ∴DE＝EF.∴△DEF是等腰三角形． 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且BE＝CF，AD＋EC＝AB． (1)求证：△DEF是等腰三角形； 中考考法 21 (2)用反证法证明△DEF不可能是直角三角形. 【解】假设△DEF是直角三角形，则∠DEF＝90°， ∴∠DEB＋∠FEC＝90°.由(1)知△BED≌△CFE， ∴∠BDE＝∠CEF. ∴∠DEB＋∠BDE＝90°. ∴∠B＝90°.∴∠C＝90°. ∴∠A＋∠B＋∠C>180°，与三角形内角和定理相矛盾． ∴△DEF不可能是直角三角形． 返回 中考考法 7． 返回 B 下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成 两个小等腰三角形的是(　　) 中考考法 23 8． 中考考法 24 【点拨】 ∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB.∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB.∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC.∴DB＝DF，EF＝EC，即△BDF和△CEF都是等腰三角形，故①正确；∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，故②正确；∴△ADE的周长＝AD＋DF＋FE＋AE＝AD＋BD＋CE＋AE＝AB＋AC，故③正确；∵∠ABC不一定等于∠ACB，∴∠FBC不一定等于∠FCB.∴BF与CF不一定相等，故④错误； 中考考法 返回 【答案】D 中考考法 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于边AB与AC的和；④BF＝CF；⑤∠BFC＝90°＋∠A．其中一定正确的是(　　) A．①②⑤ B．①②③④ C．①②④ D．①②③⑤ 由题意知，∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，∴∠BFC＝180°－(∠FBC＋∠FCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝180°－90°＋∠A＝90°＋∠A，故⑤正确． 故D. $