1.1.3 多边形的内角和-课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 1.1.3 多边形的内角和 第一章 三角形的证明及其应用 北师大版八年级数学下册 1.1.3 多边形的内角和 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“1.1.3 多边形的内角和”核心知识点设计，重点考查多边形的定义、正多边形的特征、多边形内角和公式的推导与应用，以及多边形内角和与三角形内角和的关联，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握多边形内角和的计算方法与解题规范，规避公式混淆、边长与内角关系判断失误等常见问题。 一、基础梳理（必记内容） （一）多边形内角和核心知识点 1. 多边形的定义：由n（n≥3，n为整数）条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形，叫做n边形（三角形是最简单的多边形，n=3时为三角形）。 核心分类：① 凸多边形（所有内角都小于180°，各边都在任意一边所在直线的同侧）；② 凹多边形（至少有一个内角大于180°）；初中阶段重点研究凸多边形。 2. 正多边形的定义与特征：各个角都相等，各条边都相等的多边形，叫做正多边形（如正三角形、正方形、正五边形等）。 关键提醒：正多边形必须同时满足“边相等”和“角相等”两个条件，缺一不可（如菱形边相等但角不一定相等，不是正多边形；矩形角相等但边不一定相等，不是正多边形）。 3. 多边形内角和公式（重点）： - （1）推导思路：将n边形分割成（n-2）个三角形（从n边形的一个顶点出发，连接这个顶点与其余各顶点，可作（n-3）条对角线，分割成（n-2）个三角形）； - （2）核心公式：n边形的内角和为$$(n - 2) \times 180^\circ$$（n≥3，n为整数）； - （3）特殊应用：三角形内角和（n=3）：$$(3 - 2) \times 180^\circ = 180^\circ$$（与前序知识点呼应）；四边形内角和（n=4）：$$(4 - 2) \times 180^\circ = 360^\circ$$。 4. 正多边形的内角计算公式：正n边形的每个内角的度数为$$\frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}$$（由内角和公式除以n推导得出，因正多边形各内角相等）。 5. 核心应用关联：多边形内角和公式是三角形内角和定理的延伸，通过“分割法”将多边形转化为三角形，利用三角形内角和求解多边形内角和，体现“转化思想”。 6. 易错提醒：① 混淆多边形内角和公式与三角形内角和，误将n边形内角和记为$$n \times 180^\circ$$；② 忽略正多边形“边相等、角相等”的双重条件；③ 分割n边形时，错误计算分割出的三角形个数（应为n-2个）；④ 计算正多边形内角时，漏除n；⑤ 忽略多边形的边数n≥3（边数为整数）这一前提。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于多边形的说法，正确的是（ ） A. 由三条以上线段组成的图形叫做多边形 B. 多边形的内角和一定是180°的整数倍 C. 正多边形的各个角都相等，各条边不一定相等 D. 凹多边形的内角和大于凸多边形的内角和 2. 一个多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 下列正多边形中，每个内角的度数为120°的是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 4. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的内角和是180°，是多边形内角和公式的特殊情况 B. 从n边形的一个顶点出发，能作（n-3）条对角线 C. 正八边形的每个内角为135° D. 多边形的内角和随边数的增加而减小 5. 一个凸多边形的内角和为1080°，则这个多边形的对角线条数为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 三、填空题（每题3分，共15分） 1. 由n（n≥3，n为整数）条不在同一直线上的线段________组成的封闭图形，叫做n边形；n边形的内角和公式为________。 2. 正n边形的每个内角的度数为________；正三角形的每个内角为________°，正四边形（正方形）的每个内角为________°。 3. 一个多边形的内角和是三角形内角和的4倍，则这个多边形的边数为________。 4. 从一个n边形的一个顶点出发，能分割出________个三角形，能作________条对角线。 5. 一个凸多边形的每个内角都为140°，则这个多边形的边数为________。 四、解答题（共70分） 1. （10分）基础题，考查多边形的定义、内角和公式及推导思路。 （1）请完整叙述多边形的定义、正多边形的定义，以及n边形内角和公式，并简要说明内角和公式的推导思路； （2）计算：① 五边形的内角和；② 正七边形的每个内角的度数（结果保留整数）。 解： 2. （12分）辨析题，考查多边形内角和的易错点及相关关系判断。 （1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正： ① 多边形的内角和为$$n \times 180^\circ$$（n为边数）； ② 各边相等的多边形一定是正多边形； ③ 从n边形的一个顶点出发，能作n条对角线； ④ 凸多边形的每个内角都小于180°，其内角和一定小于凹多边形的内角和。 （2）简述多边形内角和公式与三角形内角和定理的关系。 解： 3. （12分）基础计算题，考查多边形内角和公式的简单应用。 （1）已知一个多边形的内角和为1260°，求这个多边形的边数； （2）求正五边形、正六边形、正八边形的每个内角的度数，比较它们的大小； （3）一个多边形的内角和比四边形的内角和多540°，求这个多边形的边数。 解： 4. （12分）综合计算题，考查内角和公式与正多边形的综合应用。 （1）一个正多边形的每个内角比它的相邻外角大120°，求这个正多边形的边数和内角和； （2）已知一个凸多边形的边数是正多边形边数的2倍，且凸多边形的内角和是正多边形内角和的3倍，求这两个多边形的边数； （3）一个多边形的每个内角都相等，且内角和为900°，求这个多边形的每个内角的度数。 解： 5. （12分）应用题，考查多边形内角和在实际场景中的应用。 （1）一个多边形零件，其内角和为1440°，求这个零件的边数，若它是正多边形零件，求每个内角的度数； （2）一块正多边形木板，每个内角为108°，求这块木板的边数，并判断它的形状（正几边形）； （3）一个多边形桌面，由多个三角形木板拼接而成，已知桌面的内角和为2160°，求这个桌面的边数，以及从一个顶点出发能作的对角线条数。 解： 6. （12分）综合题，考查多边形内角和的灵活运用（与三角形综合）。 （1）如图，在五边形ABCDE中，∠A=100°，∠B=110°，∠C=120°，∠D=80°，求∠E的度数（利用多边形内角和公式求解）； （2）已知一个多边形，从一个顶点出发分割成8个三角形，求这个多边形的内角和及边数； （3）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，求△ABC的内角和及∠ACB的度数（结合正多边形性质与三角形内角和定理）。 解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和解题步骤） 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.B 2.C 3.D 4.D 5.A 二、填空题：1. 首尾顺次相接；$$(n - 2) \times 180^\circ$$ 2. $$\frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}$$；60；90 3. 6 4. （n-2）；（n-3） 5. 9 三、解答题：1.（1）定义、公式略；推导思路：从n边形一个顶点出发，连接其余各顶点，分割成（n-2）个三角形，利用三角形内角和180°推导；（2）①540°；②129° 2.（1）①错误，改正：$$(n - 2) \times 180^\circ$$；②错误，改正：各边相等且各角相等的多边形才是正多边形；③错误，改正：能作（n-3）条对角线；④错误，改正：内角和只与边数有关，与凸凹无关；（2）关系略（多边形内角和公式是三角形内角和定理的延伸，n=3时即为三角形内角和） 3.（1）9；（2）正五边形108°、正六边形120°、正八边形135°，大小关系：正八边形>正六边形>正五边形；（3）7（步骤略） 4.（1）边数12，内角和1800°；（2）正多边形边数4，凸多边形边数8；（3）128.6°（保留一位小数）（步骤略） 5.（1）边数10，每个内角144°；（2）边数5，正五边形；（3）边数14，对角线条数11（步骤略） 6.（1）∠E=130°；（2）内角和1440°，边数10；（3）△ABC内角和180°，∠ACB=60°（步骤略） 学习目标 1. 掌握多边形内角和公式。 2. 能通过不同方法探索多边形的内角和公式。 3. 能灵活运用多边形的内角和公式解决问题。 2 新课导入 思考1：三角形内角和是多少度？ 思考2：长方形和正方形的内角和是多少度？ 180° 360° 360° 1 多边形的内角和 问题2 小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形的五个内角的和，你知道他们是怎样做的吗? 五边形的内角和 ＝3个三角形内角和之和 ＝180°×3＝540°. 五边形的内角和 ＝5个三角形内角和之和－周角 ＝180°×5－360°＝540°. 你还有其他方法吗？ 按照 问题2 的方法一，六边形能分成多少个三角形? n 边形呢? 你能确定 n 边形的内角和吗? 想一想 4个 n 边形 六边形 五边形 四边形 三角形 多边形内角和 分割出三角形的个数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 图形 边数 ··· 0 n - 3 1 2 3 1 2 3 4 n - 2 (n - 2)×180° 1×180°=180° 2×180°=360° 3×180°=540° 4×180°=720° ··· ··· ······ ··· 由特殊到一般 定理 n 边形的内角和等于 (n - 2)×180° ( n 是大于或等于 3 的自然数). 总结归纳 按照 问题2 的方法二再试一试？ 多边形的内角和公式 例4 在四边形 ABCD 中，∠A +∠C = 180°，那么 ∠B 与 ∠D 有什么关系？ B A D C 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补. 典例精析 解：∵∠A +∠B +∠C +∠D = (4 - 2)×180° = 360°， ∴∠B +∠D = 360°－(∠A +∠C) = 180°. 想一想：正 n 边形的一个内角是 度. 想一想 正三角形 (等边三角形) 、正四边形 (正方形) 、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度? 60° 108° 90° 120° 135° 11． 30° 如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∠CEF＝30°.为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝130°，且∠CAB，∠CBA，∠E的大小保持不变，则∠D应调整为________. 中考考法 【点拨】 连接CF，并延长至点M.在△ABC中，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝70°.∴∠DCE＝∠ACB＝70°.∵∠DFM＝∠DCF＋∠D，∠EFM＝∠ECF＋∠E，∴∠EFD＝∠DCF＋∠ECF＋∠D＋∠E＝∠DCE＋∠D＋∠E，即130°＝70°＋∠D＋30°.∴∠D＝30°. 返回 中考考法 12． 如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2……以此类推得到∠A2 025，则∠A2 025的度数是________. 中考考法 【点拨】 返回 中考考法 13． 如图，在△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D． (1)猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由； 中考考法 中考考法 (2)作△ABC的外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F，求证BF∥OD． 返回 中考考法 14． 85°或100° 如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫作∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”. (1)如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝__________. 中考考法 (2)如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACB的“邻AC三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数. 中考考法 中考考法 (3)在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P.若∠A＝m°，∠ABC＝n°，请直接写出∠BPC的度数(用含n，m的代数式表示). 中考考法 多边形的内角和 内角和计算公式 (n - 2) ×180°(n≥3的整数) 正多 边形 内角= 课堂小结 ∵BA1是∠ABC的平分线，CA1是∠ACD的平分线，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD.又∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，∴(∠A＋∠ABC)＝∠ABC＋∠A1，∴∠A1＝∠A.∵∠A＝α，∴∠A1＝.同理可得∠A2＝∠A1＝×α＝，….∴∠An＝，∴∠A2 025＝. 【解】∠AOC＝∠ODC.理由如下： ∵△ABC的三个内角的平分线交于点O， ∴∠OAC＋∠OCA＝(∠BAC＋∠BCA)＝(180°－∠ABC)＝90°－∠ABC.易知∠OBC＝∠ABC，∴∠AOC＝180°－(∠OAC＋∠OCA)＝ 90°＋∠ABC＝90°＋∠OBC.∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°. ∴∠ODC＝90°＋∠OBD.∴∠AOC＝∠ODC. 【证明】∵BF平分∠ABE， ∴∠EBF＝∠ABE＝(180°－∠ABC)＝90°－∠DBO. ∵∠BOD＝90°，∴∠ODB＝90°－∠OBD. ∴∠FBE＝∠ODB.∴BF∥OD. 【解】∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∴∠PBC＋∠PCB＝90°. 又∵BP，CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACB的“邻AC三分线”，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB.∴∠ABC＋∠ACB＝90°. ∴∠ABC＋∠ACB＝135°. ∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝45°. 【解】∠BPC的度数为m°或m°或m°＋n°或m°－n°或n°－m°. $