1.2.3 等边三角形的判定与含30 °角的直角三角形的性质- 课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 1.2.3 等边三角形的判定与含30 °角的直角三角形的性质 第一章 三角形的证明及其应用 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“1.2.3 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质”核心知识点设计，重点考查等边三角形的三种判定方法、含30°角的直角三角形的核心性质，以及两个知识点的综合应用，衔接前序等腰三角形、等边三角形的性质，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握两个知识点的解题规范，规避判定方法混淆、30°角所对直角边性质应用失误等常见问题。 一、基础梳理（必记内容） （一）等边三角形的判定（重点） 1. 定义法（最基础判定）：三条边都相等的三角形是等边三角形（与前序等边三角形定义一致，直接用于判定）。 2. 角判定法（核心）：三个角都相等的三角形是等边三角形（推导：三个角相等，每个角为60°，结合等腰三角形判定“等角对等边”，可得出三条边相等）。 3. 特殊判定法（常用）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（前提：三角形是等腰三角形，即有两条边相等或两个角相等，再加上一个60°角，可推出三条边、三个角都相等）。 补充说明：① 三种判定方法可灵活选用，优先用特殊判定法（节省计算步骤）；② 等边三角形是特殊的等腰三角形，所有判定等腰三角形的方法，都可作为等边三角形判定的基础；③ 判定时注意：有一个角是60°的三角形不一定是等边三角形，必须结合“等腰”这一前提。 4. 判定技巧：① 若已知三角形三边关系，优先用定义法；② 若已知三角形角度关系，优先用角判定法；③ 若已知三角形是等腰三角形，且有一个角为60°，直接用特殊判定法。 （二）含30°角的直角三角形的性质（重点） 1. 核心性质（必记）：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，则BC = $$\frac{1}{2}$$AB（BC是30°角所对的直角边，AB是斜边）。 2. 性质的逆用（补充，常用）：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。 几何表示：在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC = $$\frac{1}{2}$$AB，则∠A=30°。 3. 性质的应用前提（易错点）：① 必须是“直角三角形”（非直角三角形不适用）；② 30°角必须是“锐角”，所对的边必须是“直角边”，而非斜边或另一条直角边。 4. 补充说明：含30°角的直角三角形是特殊的直角三角形，除具备直角三角形的所有性质（两锐角互余、勾股定理等）外，还具备上述特殊性质，常与等边三角形、等腰三角形综合应用。 5. 易错提醒：① 混淆等边三角形的三种判定方法，尤其是忽略“有一个角是60°的等腰三角形”中的“等腰”前提；② 应用含30°角的直角三角形性质时，忽略“直角三角形”这一前提；③ 误将“30°角所对的直角边等于斜边的一半”记反（如认为斜边等于30°角所对直角边的一半）；④ 综合应用时，无法快速关联等边三角形与含30°角的直角三角形（如等边三角形的高将其分成两个含30°角的直角三角形）；⑤ 逆用性质时，未确认“直角三角形”前提。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于等边三角形判定的说法，正确的是（ ） A. 有一个角是60°的三角形是等边三角形 B. 有两条边相等且有一个角是60°的三角形是等边三角形 C. 三个角都相等的三角形是等腰三角形，不是等边三角形 D. 三条边都相等的三角形不是等边三角形 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若斜边AB=8cm，则30°角所对的直角边BC的长度为（ ） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 3. 下列说法错误的是（ ） A. 等边三角形的三个角都为60° B. 含30°角的直角三角形中，斜边是30°角所对直角边的2倍 C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D. 含30°角的直角三角形中，另一个锐角为45° 4. 在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，则△ABC的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若直角边BC=3cm，斜边AB=6cm，则∠A的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 三、填空题（每题3分，共15分） 1. 等边三角形的判定方法有：① 定义法：________；② 角判定法：________；③ 特殊判定法：________。 2. 含30°角的直角三角形的核心性质：在直角三角形中，30°角所对的________等于________的一半。 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB=10cm，则AC=________cm，BC=________cm（结果保留根号）。 4. 若△ABC的三个角都相等，则△ABC是________三角形，每个内角为________°。 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为________°。 四、解答题（共70分） 1. （10分）基础题，考查等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质。 （1）请完整叙述等边三角形的三种判定方法，以及含30°角的直角三角形的核心性质（含几何表示）； （2）简述“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的推导过程。 解： 2. （12分）辨析题，考查两个知识点的易错点及关系判断。 （1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正： ① 有一个角是60°的三角形一定是等边三角形； ② 含30°角的直角三角形中，任意一条直角边都等于斜边的一半； ③ 三个角都相等的三角形是等边三角形，也是等腰三角形； ④ 在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这个直角三角形一定含30°角。 （2）为什么说含30°角的直角三角形的性质，必须以“直角三角形”为前提？请举例说明。 解： 3. （12分）基础计算题，考查两个知识点的简单应用。 （1）在△ABC中，AB=BC=AC，求△ABC三个内角的度数，并说明△ABC的形状； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12cm，求30°角所对的直角边的长度； （3）在△ABC中，∠A=60°，AB=AC，若AB=6cm，求BC的长度。 解： 4. （12分）综合计算题，考查两个知识点的综合应用。 （1）在等边△ABC中，AD是BC边上的高，若BC=8cm，求AD的长度（提示：等边三角形的高将其分成两个含30°角的直角三角形）； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=5cm，求斜边AB和另一条直角边BC的长度； （3）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是AB边上的高，若CD=2cm，求AB的长度。 解： 5. （12分）应用题，考查两个知识点在实际场景中的应用。 （1）一个等边三角形零件，边长为10cm，求这个零件的周长和一条边上的高的长度； （2）一块含30°角的直角三角形木板，斜边长度为16cm，求30°角所对的直角边的长度，以及另一个锐角的度数； （3）一个三角形旗帜，其中一个角为60°，两条边相等，边长为12cm，求旗帜的周长和每个内角的度数。 解： 6. （12分）综合题，考查两个知识点的灵活运用（与等腰三角形、直角三角形性质综合）。 （1）如图，在等边△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，连接EF，求证：△AEF是等边三角形； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D是AB的中点，求证：CD = $$\frac{1}{2}$$AB（提示：利用含30°角的直角三角形性质）； （3）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，若AD=3cm，求BC的长度。 解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和解题步骤） 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.B 2.B 3.D 4.B 5.A 二、填空题：1. 三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 2. 直角边；斜边 3. 5；$$5\sqrt{3}$$ 4. 等边；60 5. 30 三、解答题：1.（1）判定方法、性质略；几何表示：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC=$$\frac{1}{2}$$AB；（2）推导略（AB=AC→∠B=∠C，∠A=60°→∠B=∠C=60°→AB=BC=AC） 2.（1）①错误，改正：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②错误，改正：30°角所对的直角边等于斜边的一半；③正确；④正确；（2）举例略（非直角三角形中，30°角所对的边不一定是最长边的一半） 3.（1）三个角均为60°，等边三角形；（2）6cm；（3）6cm（步骤略） 4.（1）$$4\sqrt{3}$$cm；（2）AB=10cm，BC=$$5\sqrt{3}$$cm；（3）8cm（步骤略） 5.（1）周长30cm，高$$5\sqrt{3}$$cm；（2）8cm，60°；（3）周长36cm，每个内角60°（步骤略） 6.（1）证明略（E、F为中点，AE=AF，∠A=60°，判定为等边三角形）；（2）证明略（∠A=30°，BC=$$\frac{1}{2}$$AB，D为中点，CD=BD=AD）；（3）$$6\sqrt{3}$$cm（步骤略） 学习目标 1. 探索等边三角形的判定条件并证明，运用所学知识进行相关的证明和计算。 2.探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程。 2 进行新课 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？ 请证明自己的结论，并与同伴进行交流。 1 等边三角形的判定 一个三角形满足什么条件就是等边三角形? 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这些结论吗？ A B C 已知：如图，∠A =∠B =∠C. 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵∠A =∠ B， 证一证 ∴ AB = AC = BC. ∴ AB = AC. ∵∠B =∠C， ∴ AC = BC. 定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形. ∴ △ABC 是等边三角形. A B C 已知：若 AB＝AC，∠A＝60°. 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵ AB = AC，∠A = 60°， 证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ ∴ AB = AC = BC. ∴∠A =∠B =∠C. ∴∠B =∠C = (180°－∠A) = 60°. ∴ △ABC 是等边三角形. 定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. www.czsx.com.cn 证明：∵ AB = AC，∠B = 60° (已知)， ∴∠C =∠B = 60° (等边对等角). ∴∠A = 60° (三角形内角和定理). ∴∠A =∠B =∠C = 60°. ∴△ABC 是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等 边三角形). 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°． 求证：△ABC 是等边三角形． 第二种情况：有一个底角是 60°. A C B 60° 【验证】 操作：用两个含有 30° 角的三角板， 你能拼成一个怎样的三角形？ 30° 30° 你能说出所拼成的三角形的形状吗？ 猜想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 30° 30° 30° 合作探究 30° 30° 结论：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半. 含 30° 角的直角三角形的性质 2 已知：如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°. 求证： BC = AB. A 30° B C 分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题 30° 30° 猜想验证 ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， 30° A B C D 证明：延长 BC 至点 D，使 CD＝BC，连接 AD. ∴ △ABD 是等边三角形 ( 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形). ∴ BC＝ BD ＝ AB. ∴ AB＝AD ( 全等三角形的对应边相等). ∴△ABC≌△ADC (SAS). ∵ AC＝AC， ∴∠ACD＝90°，∠B＝60°. 还有别的方法吗？ 几何语言：在△ABC 中， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°． ∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中， 30° 角所对的直 角边等于斜边的一半) A B C 30° 定义总结 定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 例3 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°， CD 是腰 AB 上的高， 求证：CD ＝ AB. C B A D 证明：在△ABC 中， ∵AB＝AC，∠B＝15°， ∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角). ∴∠DAC＝∠B + ∠ACB ＝15° + 15°＝30°. C B A D ∴ CD＝ AC (在直角三角形中，如果一个锐角等 于 30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半). ∵ CD 是腰 AB 上的高， ∴∠ADC＝90°. ∴ CD＝ AB. C 返回 1． 若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形　 D．钝角三角形 中考考法 14 返回 B 2． 如图，嘉琪想测量一座古塔CD的高度，在A处测得∠CAD＝15°，再往前行进60 m到达B处，测得∠CBD＝30°，点 A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，可得这座古塔CD的高度为(　　) 中考考法 15 3． 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM的长是(　　) A．2　 B．3 C．4 D．5 中考考法 16 【点拨】 【答案】B 返回 中考考法 4． 返回 6 如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是________. 中考考法 18 5． 2 将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为________cm. 中考考法 19 【点拨】 ∵直尺的两对边相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°.易知∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－60°－60°＝60°.∴∠A＝∠ABC＝∠ACB.∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝3－1＝2(cm)． 返回 中考考法 6． 【证明】∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD. ∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠ACD. ∴∠BAC＝∠BCA.∴AB＝BC. [2025绵阳期末]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN. (1)求证：AB＝BC； 中考考法 21 (2)若∠CAB＝30°，求证：△AMN是等边三角形. 返回 中考考法 1. 等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形． 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形． 2. 含 30° 角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 课堂小结 A．40 m　 B．30 m　 C．25 m　 D．50 m 如图，过点P作PD⊥OB于点D，则∠ODP＝90°.∵∠AOB＝60°，∴∠OPD＝30°. ∴DO＝OP＝4.∵PM＝PN，PD⊥MN，∴MD＝ND＝MN＝1.∴MO＝DO－MD＝4－1＝3. 【证明】∵∠CAB＝30°，∴∠ACD＝∠BAC＝30°. ∵AM⊥CD于点M，∴∠MAC＝60°，AM＝AC. ∵AB＝BC，BN⊥AC，∴AN＝AC. ∴AN＝AM.∴△AMN是等边三角形． $