1.2.1 等腰三角形的性质和等边三角形的性质 课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 1.2.1 等腰三角形的性质和等边三角形的性质 第一章 三角形的证明及其应用 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“1.2.1 等腰三角形的性质和等边三角形的性质”核心知识点设计，重点考查等腰三角形的定义、轴对称性及核心性质（等边对等角、三线合一），等边三角形的定义、性质及与等腰三角形的区别与联系，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握两种三角形的性质与解题规范，规避性质混淆、“三线合一”应用条件失误等常见问题。 一、基础梳理（必记内容） （一）等腰三角形的核心知识点 1. 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。其中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 补充说明：等腰三角形的两底角相等（前提是两条腰相等），反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形（后续判定知识点铺垫，此处重点掌握性质）。 2. 等腰三角形的性质（重点）： - （1）轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，它有一条对称轴，对称轴是顶角平分线所在的直线（也是底边中线所在直线、底边高线所在直线，三线重合）； - （2）等边对等角：等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”，前提：在同一个等腰三角形中，两条边相等）； - （3）三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”，前提：针对等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线、高线，腰上的线不满足此性质）。 （二）等边三角形的核心知识点 1. 等边三角形的定义：有三条边都相等的三角形，叫做等边三角形（也叫正三角形）。 补充说明：等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边相等，满足“两条边相等”的等腰三角形定义），但等腰三角形不一定是等边三角形（只有两条边相等时，不是等边三角形）。 2. 等边三角形的性质（重点）： - （1）轴对称性：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，每条对称轴都是一条边上的中线、高线和该边所对内角的平分线所在的直线（三线合一，且有三条）； - （2）边的性质：三条边都相等； - （3）角的性质：三个内角都相等，且每个内角都等于60°； - （4）特殊性质：等边三角形的任意一条边上的中线、高线，都能平分该边所对的内角（延伸“三线合一”性质）。 3. 等腰三角形与等边三角形的区别与联系： - 联系：等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质； - 区别：① 边的数量：等腰三角形有两条边相等，等边三角形三条边都相等；② 角的度数：等腰三角形两底角相等、顶角不确定（0°<顶角<180°），等边三角形三个角都为60°；③ 对称轴数量：等腰三角形1条对称轴，等边三角形3条对称轴。 4. 易错提醒：① 混淆等腰三角形“三线合一”的前提（仅针对顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，腰上的线不重合）；② 误将等腰三角形当作等边三角形，认为所有等腰三角形的内角都是60°；③ 忽略等边三角形是特殊的等腰三角形，否定二者的包含关系；④ 应用“等边对等角”时，未确认“在同一个三角形中”这一前提；⑤ 计算等腰三角形角度时，漏算顶角或底角的可能情况（如等腰三角形一个内角为30°，需分顶角和底角两种情况）。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于等腰三角形的说法，正确的是（ ） A. 等腰三角形的两条腰相等，两个顶角相等 B. 等腰三角形的对称轴是底边上的中线 C. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 D. 有一个角是60°的三角形是等腰三角形 2. 等边三角形的每个内角的度数为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 3. 下列说法错误的是（ ） A. 等边三角形是特殊的等腰三角形 B. 等腰三角形的两底角相等 C. 等边三角形有三条对称轴 D. 等腰三角形的三条边都相等 4. 在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B的度数为（ ） A. 50° B. 65° C. 80° D. 50°或65° 5. 在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，则下列说法错误的是（ ） A. AD⊥BC B. ∠BAD=30° C. AD平分∠BAC D. BD=AD 三、填空题（每题3分，共15分） 1. 有两条边相等的三角形叫做________；三条边都相等的三角形叫做________，它是特殊的________。 2. 等腰三角形的性质：① 两底角________；② 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高________。 3. 等边三角形的三个内角都相等，每个内角为________°；它有________条对称轴。 4. 在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A=________°；若∠A=100°，则∠B=________°。 5. 若等腰三角形的一个外角为100°，则它的一个底角为________°（分情况考虑）。 四、解答题（共70分） 1. （10分）基础题，考查等腰三角形和等边三角形的定义与性质。 （1）请完整叙述等腰三角形的定义、核心性质，以及等边三角形的定义、核心性质； （2）简述等腰三角形与等边三角形的区别与联系。 解： 2. （12分）辨析题，考查两种三角形性质的易错点及关系判断。 （1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正： ① 等腰三角形的所有高、中线、角平分线都互相重合； ② 等边三角形的每条边上的中线都平分该边所对的角，且垂直于该边； ③ 有两个角相等的三角形是等边三角形； ④ 等腰三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 （2）为什么说等边三角形是特殊的等腰三角形？请结合定义说明。 解： 3. （12分）基础计算题，考查等腰三角形的角度计算。 （1）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求△ABC三个内角的度数，并判断△ABC的形状； （2）在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=3∠A，求△ABC三个内角的度数； （3）在等腰△ABC中，一个内角为40°，求另外两个内角的度数（分情况求解）。 解： 4. （12分）综合计算题，考查等腰三角形“三线合一”性质的应用。 （1）在等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，若BC=8cm，AD=3cm，求AB的长度； （2）在等腰△ABC中，AB=AC，AD是顶角平分线，∠B=70°，求∠BAD和∠ADC的度数； （3）在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，若∠BAD=35°，求△ABC三个内角的度数。 解： 5. （12分）应用题，考查两种三角形性质在实际场景中的应用。 （1）一个等腰三角形零件，顶角为80°，求这个零件两个底角的度数；若它的腰长为10cm，底边长为12cm，求底边上的高的长度； （2）一块等边三角形木板，边长为6cm，求这块木板的周长和每个内角的度数，以及一条边上的高的长度（简要说明计算过程）； （3）一个等腰三角形旗帜，其中一个角为50°，腰长为15cm，求旗帜另外两个角的度数和底边的取值范围。 解： 6. （12分）综合题，考查两种三角形性质的灵活运用（与三角形内角和、三线合一综合）。 （1）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC上，且AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC； （2）如图，在等边△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，连接EF，求证：△AEF是等边三角形； （3）在等腰△ABC中，AB=AC，延长BA至点D，使AD=AB，连接CD，若∠B=30°，求∠ACD的度数。 解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和解题步骤） 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 二、填空题：1. 等腰三角形；等边三角形；等腰三角形 2. 相等；互相重合 3. 60；3 4. 40；40 5. 50或80 三、解答题：1.（1）定义、性质略；（2）联系：等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形所有性质；区别：略 2.（1）①错误，改正：仅顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；②正确；③错误，改正：有两个角相等的三角形是等腰三角形，三个角都相等才是等边三角形；④错误，改正：等腰三角形有1条对称轴；（2）理由：等边三角形满足“两条边相等”的等腰三角形定义，且三条边都相等，因此是特殊的等腰三角形 3.（1）三个角均为60°，等边三角形；（2）∠A=36°，∠B=∠C=108°；（3）40°和100°，或70°和70°（步骤略） 4.（1）5cm；（2）∠BAD=20°，∠ADC=90°；（3）∠BAC=70°，∠B=∠C=55°（步骤略） 5.（1 学习目标 1.经历探索、证明等腰三角形和等边三角形性质的过程，进一步发展推理能力。 2.掌握综合推理方法，发展演绎推理能力。 3.应用等腰三角形和等边三角形的性质解决实际问题。 2 复习回顾 等腰三角形的相关概念你还记得吗？ A B C 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 等腰三角形具有哪些特殊的性质呢？ 进行新课 还记得利用折纸的方法探索等腰三角形的性质吗？这对你有什么启发？ 先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足。 议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？ 等腰三角形的性质及其推论 1 已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC. 求证： ∠B = ∠C. A B C D 证明：如图，取 BC 的中点 D，连接 AD. ∵AB = AC，BD = CD，AD = AD， ∴△ABD≌△ACD (SSS). ∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等). 方法一：作底边上的中线 还有其他的证法吗？ 证一证 证一证 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B =∠C. A B C D 证明： 作顶角的平分线 AD，则∠BAD =∠CAD. ∴△BAD ≌ △CAD (SAS). ∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等). 方法二：作顶角的平分线 ∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD， 想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？ 由△BAD≌△CAD， 可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC， ∠BAD =∠CAD. 又∵∠ADB +∠ADC = 180°， ∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC. 故 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线、顶角∠BAC 的平分线、底边 BC 上的高线. A B C D 归纳总结 定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A C B 几何语言：如图，在 △ABC 中， ∵ AB = AC (已知)， ∴∠B =∠C (等边对等角). 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）. 典例精析 例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC. (1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE； (2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证： AF⊥BC. 图① 图② A B D E C A B D E C F 证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G. 图① A B D G E C 图② A B D E C F ∴ AF⊥BC. ∵ AB＝AC， ∴ BF＝CF. ∴ BD＋DF＝CE＋EF. (2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点， ∴ BD＝CE. ∴ BG－DG＝CG－EG. ∴ BG＝CG，DG＝EG. ∵ AB＝AC，AD＝AE， 想一想，不构造辅助线可以结论吗？ 想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？ 定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°. 可以利用等腰三角形的性质进行证明. 怎样证明这一定理呢？ 等边三角形的性质 2 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC. 求证：∠A =∠B =∠C = 60°. A C B 证明：在△ABC 中， 证一证 ∴∠A =∠B =∠C = 60°. 又∵∠A +∠B +∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)， 同理∠A =∠B. ∴∠B =∠C (等边对等角). ∵ AB = AC (已知)， B C D A E 例2 如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线， BD = BE，求∠EDA 的度数. 解： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠CBA = 60°. ∵ BD 是 AC 边上的中线， ∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°. ∵ BD = BE， ∴∠BDE = (180°－∠DBA)÷2 = (180°－30°)÷2 = 75°. ∴∠EDA = 90°－∠BDE = 90°－75° = 15°. C 返回 1． [2025广安期中]已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是(　　)　　　　　　　　　　　　　 A．40°　　　　 B．100°　 C．40°或100°　 D．以上都不正确 中考考法 15 返回 B 2． [2025扬州]在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是(　　) A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC 中考考法 16 B 返回 3． 如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(　　) A．45° B．39° C．29°　 D．21° 中考考法 17 4． 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝B C＝AD，则∠DBC的度数是(　　) A．30° B．36° C．45° D．54° 中考考法 18 【点拨】 【答案】B 设∠A＝x°.∵BD＝AD，∴∠ABD＝∠A＝x°.∴∠BDC＝2x°.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝2x°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x°.∴∠DBC＝x°.∴x＋2x＋2x＝180，解得x＝36.∴∠DBC＝36°. 返回 中考考法 5． 2 cm2 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC，若△ABC的面积为4 cm2，则△BPC的面积为________. 中考考法 20 【点拨】 返回 中考考法 6． 返回 84° 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G.如果测得∠GEC＝36°，那么∠ADF＝________. 中考考法 22 7． 【证明】∵∠BAF＝∠EAD， ∴∠BAF－∠CAF＝∠EAD－∠CAF， 即∠BAC＝∠FAD. 又∵AC＝AD，∠ACB＝∠ADF， ∴△ABC≌△AFD. [2025河北]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上， ∠BAF＝∠EAD． (1)求证：△ABC≌△AFD； 中考考法 23 (2)若BE＝FE，求证：AC⊥BD． 【证明】 ∵△ABC≌△AFD，∴AB＝AF. ∵BE＝FE，∴AE⊥BF，即AC⊥BD. 返回 中考考法 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线，底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质. 定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (AAS). 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 课堂小结 ∵BD＝BA，BP是∠ABC的平分线，∴AP＝PD.∴S△BPD＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD.∴S△BPC＝S△BPD＋S△CPD＝S△ABD＋S△ACD＝S△ABC.∵△ABC的面积为4 cm2，∴S△BPC＝×4＝2(cm2)． $