1.2.1 等腰三角形和等边三角形的性质 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦等腰三角形和等边三角形的性质，通过回顾定义与性质引导学生思考证明方法，搭建从已有知识到定理推导的学习支架，帮助学生逐步掌握“等边对等角”“三线合一”及等边三角形内角性质。 其亮点在于以推理意识为核心，通过多种辅助线作法证明“等边对等角”，结合“三线合一”应用实例及底角平分线、腰上高线等猜想证明，培养学生抽象能力与创新意识。随堂练习融入中考真题，强化应用意识，助力学生巩固知识，教师可高效开展教学。

1.2 等腰三角形 第1课时 等腰三角形和等边三角形的性质 1.能证明等腰三角形的性质定理. 2.探索并证明等边三角形的性质定理. 3.能灵活运用等腰三角形和等边三角形的性质定理解决问题. 学习目标 回 顾 等腰三角形有哪些性质？ 等腰三角形 定义 性质 边 角 三线合一 有两条边相等的三角形是等腰三角形. 等腰三角形两腰相等.(定义) 等腰三角形的两底角相等. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合 无需证明 由定义推出 需要证明 你能利用已有的基本事实和定理进行证明吗？ 新课引入 分析： 有哪些结论可以证明两个角相等?还记得利用折纸的方法探索等腰三角形的性质吗?这对你有什么启发? 证明：等腰三角形的两底角相等. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C. A C B B A C D 折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等. 新知学习 证明：等腰三角形的两底角相等. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C. A C B D 证明：如图，取BC的中点D，连接AD. ∵ AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD ∴ △ABD≌△ACD (SSS) ∴ ∠B＝∠C (全等三角形的对应角相等) 还有其他证法吗？ 新知学习 证明：等腰三角形的两底角相等. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C. 证明：如图，作顶角的平分线AD，则∠BAD＝∠CAD ∵ AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD ∴ △ABD≌△ACD (SAS) ∴ ∠B＝∠C (全等三角形的对应角相等) D A C B 新知学习 归纳总结 定理 等腰三角形的两底角相等. 这一定理可以简述为：等边对等角. 数学语言：如图，在△ABC中， 若AB＝AC，则∠B＝∠C. 新知学习 思考·交流 (1)由“等边对等角”定理的证明过程，你发现线段AD还有哪些特征?为什么? 由前面证明可得△BAD≌△CAD， ∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC， ∠BAD＝∠CAD(全等三角形的性质). 又∵ ∠ADB＋∠ADC＝180°， ∴ ∠ADB＝∠ADC＝ 90° . 定理 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合. D A C B 新知学习 (1)∵AB＝AC , AD⊥BC AD平分∠BAC , 且 BD＝CD (2)∵AB＝AC , BD＝CD AD平分∠BAC , 且 AD⊥BC (3)∵AB＝AC , AD平分∠BAC BD＝CD , 且 AD⊥BC 等腰三角形“三线合一”，知二得一： A C B D ∟ 归纳总结 新知学习 例 如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．请利用等腰三角形“三线合一”的性质证明 BD＝CE． 证明：如图，过点A作AF⊥BC，垂足为F， ∵AB＝AC，∴BF＝CF，(三线合一) ∵AD＝AE，∴DF＝EF，(三线合一) ∴BF－DF＝CF－EF， ∴BD＝CE. F ∟ 新知学习 借助等腰三角形 “三线合一” 的性质解题： (1)常作辅助线：①底边有中点时，连中线； ②底边无中点时，作高； (2)根据“三线合一”得出直角三角形、角平分线、中点等关键信息，再结合三角形内、外角和，勾股定理等其他知识进行角度或线段的计算或证明． 归纳总结 新知学习 思考·交流 (2)在等腰三角形中画出一些线段，你能发现其中一些相等的线段吗？ 猜想1：等腰三角形底角的两条角平分线相等. 猜想2：等腰三角形的两腰上的高线相等. 猜想3：等腰三角形的两腰上的中线相等. 请尝试证明你的猜想. A C B 新知学习 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CE是△ABC的角平分线. 求证：BD＝CE. 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角). ∵BD、CE分别平分∠ABC和ACB， ∴∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠ACB，∴∠1＝∠2. 在△BDC和△CEB中，∵∠ACB＝∠ABC，BC＝BC，∠1＝∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA). ∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等). A C B 猜想：等腰三角形底角的两条角平分线相等. 1 2 D E 新知学习 A C B 猜想：等腰三角形的两腰上的高线相等. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CE是△ABC的高. 求证：BD＝CE. D E ∟ ∟ 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵BD，CE是△ABC的高，∴∠BDC＝∠CEB＝ 90°. 在△BDC和△CEB中， ∵∠BDC＝∠CEB，BC＝BC，∠ABC＝∠ACB， ∴△BDC≌△CEB (AAS). ∴BD＝CE (全等三角形的对应边相等). 新知学习 A C B 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵BD，CE是△ABC的中线， ∴CD＝ AC， BE＝ AB ，即 CD＝BE. 在△BDC和△CEB中，∵BC＝CB，∠ABC＝∠ACB ， CD＝BE， ∴△BDC≌△CEB(SAS). ∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等). 猜想：等腰三角形的两腰上的中线相等. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CE是△ABC的中线. 求证：BD＝CE. D E 新知学习 尝试·交流 (1)等边三角形的定义是什么？ 三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形. (2)等边三角形有“三线合一”的性质吗？为什么？ 等边三角形每条边上的中线、高线和对角的平分线互相重合. 新知学习 尝试·交流 (3)等边三角形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴. 新知学习 尝试·交流 (4)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质.那么它有哪些特殊的性质呢？ B C A 三个内角都相等并且每个内角都等于60°. 你能证明吗？ 新知学习 猜想：等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC. 求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°. A C B 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C (等边对等角). 同理可得∠C＝∠A， ∴∠A＝∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°. ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. 新知学习 归纳总结 定理 等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 数学语言：如图，在△ABC中， ∵AB＝AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. 回顾·反思 回顾七年级下册及本节课研究等腰三角形性质的过程，你积累了哪些研究图形性质的经验? 新知学习 1. (2024兰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝(　　) A. 110° B. 115° C. 130° D. 145° B 2. 已知 AF 是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为(　 　) C A. B. 2 C. 3 D. 随堂练习 3. (2025 扬州)在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是(　　) A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC B 4. (2025 广西)如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD，则AD＝_________ . 随堂练习 5. 如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE ＝ CD. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABE＝60°. 又∵△BDE是等边三角形， ∴BE＝BD，∠DBE＝60°, ∴∠ABE＝∠DBE. 在△ABE和△CBD中， AB＝BC，∠ABE＝∠DBE，BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD. 随堂练习 6. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝ ∠ABC，∠ACE＝ ∠ACB. 求证：BD＝CE. A C B D E 证明：在△ABC中，AB ＝AC，∴∠ABC＝ACB， ∵∠ABD＝ ∠ABC，∠ACE＝ ∠ACB， ∴∠ABD＝∠ACE， 在△ABD和△ACE中， ∠ABD＝∠ACE，AB＝AC，∠A＝∠A， ∴△ABD≌△ACE(ASA)，∴BD＝CE. 随堂练习 在△ABC中，如果AB =AC，AD= AC， AE= AB， 那么BD=CE. 在△ABC中，如果AB =AC，∠ABD= ∠ABC， ∠ACE= ∠ACB， 那么BD=CE. 简述为：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等. B C D A E 简述为：两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等. 归纳总结 随堂练习 等腰三角形 与等边三角形 的性质 ①等腰三角形的两底角相等.(简述为：等边对等角) ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合. (三线合一) 等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 等腰三角形 的性质 等边三角形 的性质 课堂小结 $