1.3.1 直角三角形的性质与判定 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 1.3.1 直角三角形的性质与判定 第一章 三角形的证明及其应用 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“1.3.1 直角三角形的性质与判定”核心知识点设计，重点考查直角三角形的定义、核心性质（两锐角互余、斜边中线性质等）、判定方法，以及性质与判定的综合应用，衔接前序含30°角的直角三角形、等腰三角形相关知识，分层考查基础识记、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握直角三角形的解题规范，规避性质与判定混淆、斜边中线性质应用失误等常见问题。 一、基础梳理（必记内容） （一）直角三角形的定义（基础） 有一个角是直角（90°）的三角形，叫做直角三角形。其中，直角所对的边叫做斜边，另外两条边叫做直角边；直角三角形用符号“Rt△”表示，如Rt△ABC，其中∠C为直角。 补充说明：直角三角形是特殊的三角形，具备三角形的所有性质（内角和180°、任意两边之和大于第三边等），同时拥有自身独特的性质。 （二）直角三角形的性质（重点） 1. 核心性质1（两锐角互余）：直角三角形的两个锐角互余（即两个锐角的和等于90°）。 几何表示：在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A + ∠B = 90°。 2. 核心性质2（斜边中线性质，必记）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（这是直角三角形特有的性质，非直角三角形不适用）。 几何表示：在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点（即CD是斜边AB上的中线），则CD = $$\frac{1}{2}$$AB = AD = BD。 3. 补充性质（衔接前序知识）： - （1）含30°角的直角三角形：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半（与1.2.3知识点衔接，是直角三角形的特殊性质）； - （2）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（后续重点学习，此处简要提及，用于基础计算）； - （3）直角三角形的面积：可表示为$$\frac{1}{2} \times 直角边_1 \times 直角边_2$$，也可表示为$$\frac{1}{2} \times 斜边 \times 斜边上的高$$。 （三）直角三角形的判定（重点） 1. 定义法（最基础判定）：有一个角是90°的三角形是直角三角形。 2. 角判定法（核心，常用）：有两个角互余（和为90°）的三角形是直角三角形（与性质“两锐角互余”互逆）。 几何表示：在△ABC中，若∠A + ∠B = 90°，则△ABC是Rt△，且∠C=90°。 3. 边判定法（勾股定理逆用，补充）：若一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，则这个三角形是直角三角形（第三条边为斜边）。 几何表示：在△ABC中，若$$AC^2 + BC^2 = AB^2$$，则△ABC是Rt△，且∠C=90°。 4. 特殊判定（衔接前序）：有一个角是30°，且一条直角边等于斜边一半的三角形是直角三角形（含30°角直角三角形性质的逆用）。 5. 易错提醒：① 混淆直角三角形的性质与判定（性质是“直角三角形→两锐角互余、斜边中线等于斜边一半”；判定是“满足条件→直角三角形”）；② 应用斜边中线性质时，忽略“斜边”这一前提（仅斜边上的中线等于斜边一半，直角边上的中线不满足）；③ 用角判定时，误将“两个角相加为90°”记为“两个角相等”；④ 应用勾股定理逆用时，混淆直角边与斜边（平方和对应的两条边是直角边，第三条是斜边）；⑤ 忽略直角三角形的隐含条件（内角和180°、两锐角互余）。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于直角三角形的说法，正确的是（ ） A. 有一个角是锐角的三角形是直角三角形 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 直角三角形斜边上的中线等于直角边的一半 D. 有两条边相等的直角三角形是等边三角形 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则∠B的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3. 下列说法错误的是（ ） A. 有两个角互余的三角形是直角三角形 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C. 直角三角形中，斜边一定比直角边长 D. 直角三角形的三个内角都是锐角 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，若AB=10cm，则CD的长度为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 10cm 5. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则△ABC的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 三、填空题（每题3分，共15分） 1. 有一个角是________的三角形叫做直角三角形；直角三角形中，________所对的边叫做斜边，另外两条边叫做________。 2. 直角三角形的核心性质：① 两个锐角________；② 斜边上的中线等于________的一半。 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=8cm，则斜边上的中线长为________cm，30°角所对的直角边为________cm。 4. 判定直角三角形的方法：① 定义法：________；② 角判定法：________；③ 边判定法：________。 5. 在△ABC中，若∠A + ∠B = 90°，则△ABC是________三角形，且∠________=90°。 四、解答题（共70分） 1. （10分）基础题，考查直角三角形的定义、性质与判定。 （1）请完整叙述直角三角形的定义、核心性质（含几何表示），以及三种常用判定方法； （2）简述直角三角形“两锐角互余”与“有两个角互余的三角形是直角三角形”的关系。 解： 2. （12分）辨析题，考查直角三角形性质与判定的易错点及关系判断。 （1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正： ① 直角三角形的斜边上的中线等于直角边的一半； ② 有一个角是90°的三角形，一定有两个角互余； ③ 任意三角形的斜边上的中线都等于斜边的一半； ④ 若一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，则这个三角形的两条边是斜边。 （2）为什么说“斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形特有的性质？请举例说明。 解： 3. （12分）基础计算题，考查直角三角形性质的简单应用。 （1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，求∠B的度数； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，AB=14cm，求CD的长度； （3）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边上的中线长为6cm，求30°角所对的直角边长度。 解： 4. （12分）综合计算题，考查直角三角形性质与判定的综合应用。 （1）在△ABC中，∠A=40°，∠B=50°，判定△ABC的形状，并求斜边上的中线长度（若AB=10cm）； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=5cm，且∠A=30°，求直角边AC和BC的长度； （3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是斜边上的中线，若∠CAD=30°，求△ABC三个内角的度数。 解： 5. （12分）应用题，考查直角三角形性质与判定在实际场景中的应用。 （1）一个直角三角形零件，其中一个锐角为35°，求另一个锐角的度数；若斜边长度为12cm，求斜边上的中线长度； （2）一块直角三角形木板，两个锐角的度数比为2:3，求这两个锐角的度数，并判断木板的形状（锐角直角三角形/等腰直角三角形）； （3）一个三角形框架，测得其中两个角的度数分别为25°和65°，若框架的斜边长度为16cm，求斜边上的高 学习目标 1.会证明直角三角形的性质定理和判定定理，并能应用性质进行计算和证明。 2.能写出一个命题的逆命题，并会判断其真假，会识别两个互逆命题。 3.通过勾股定理及其逆定理的证明，体会同一个定理可以从不同角度，用不同方法加以证明。 2 直角三角形的性质与判定 1 问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？ 根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”. 如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中，∠A +∠B = 90°，那么 △ABC 是直角三角形吗？ 在△ABC 中，因为∠A +∠B +∠C = 180°， 又∠A +∠B = 90°，所以∠C = 90°. 于是△ABC 是直角三角形. 2 a c b 勾 弦 股 勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 + b2 = c2. 证法1 毕达哥拉斯证法 a a a a b b b b c c c c ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2. 证明：∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab， S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× ab + c2 = c2 + 2ab， 证明欣赏 c ∵ c 2 = 4× ab + ( b - a ) 2 c 2 = 2ab + b 2 - 2ab + a 2 ， c 2 = a 2 + b 2， ∴ a 2 + b 2 = c 2. 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为　　 　　 ． c 2 4× ab + ( b - a ) 2 证法2 赵爽弦图 c a c a c b a a b b b 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理反过来，怎么叙述呢？ 这个命题是真命题吗？为什么？ A B C 已知：如图，在 △ABC 中，AC 2 + BC 2 = AB 2. 求证：△ABC 是直角三角形． 例1 证明此命题： 分析：构造一个直角三角形与 △ABC 全等，你能自 己写出证明过程吗？ 证明：作 Rt△DEF，使∠E = 90°， DE = AC，FE = BC， 则 DE 2 + EF 2 = DF 2 (勾股定理). ∵ AC 2 + BC 2 = AB 2 (已知)，DE = AC，FE = BC (作图)， ∴ AB 2 = DF 2. ∴ AB = DF. ∴△ABC≌△DFE (SSS). ∴∠C =∠E = 90°. ∴△ABC 是直角三角形． D F E ┏ A B C 定义总结 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 合作探究 定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 下面两个定理的条件和结论有什么关系？ 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件． 互逆命题与互逆定理 3 观察上面三组命题，你发现了什么? 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 说出下列命题的条件和结论： 如果 a＝b，那么 a²＝b²； 如果 a²＝b²， 那么 a＝b. 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题. 其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置. 归纳总结 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗? 它们都是真命题吗? 想一想 逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等. 举特例： 原命题：2 = 2，22 = 22； 逆命题：(2)2 = (-2)2，2 ≠ -2 此原命题是真命题；逆命题是假命题. 原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 例如，本节学习的第一个定理和第二个定理就是一对互逆定理，第三个定理和第四个定理也是一对互逆定理。 你还能举出一些互逆定理的例子吗？ 归纳总结 B 返回 1． 下列说法错误的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　 A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 中考考法 17 返回 B 2． 中考考法 18 C 返回 3． 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是(　　) A．169　 B．144 C．25　 D．16 中考考法 19 4． 返回 A 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，在下列条件中，不能确定△ABC的形状是直角三角形的是(　　) 中考考法 20 5． 返回 中考考法 21 6． 返回 0.5 中考考法 22 7． 返回 B 将一副直角三角尺和一把宽度为2的直尺按如图方式摆放：先把两个三角尺的45°和60°角的顶点及它们的一条直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺的下沿上，这两个三角尺的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是(　　) 中考考法 23 8． C 中考考法 24 【点拨】 返回 中考考法 9． 135° 在如图所示的正方形网格中(每个正方形的边长均为1)，点A，B，C，D，E分别是网格线的交点，则∠ABC＋∠DAE的度数为________. 中考考法 26 【点拨】 如图，取格点F，连接AF，BF，由勾股定理得BF2＝AF2＝12＋22＝5，AB2＝12＋32＝10，∴BF2＋AF2＝AB2.∴∠AFB＝90°.∴△AFB是等腰直角三角形．∴∠ABF＝45°.∵BG＝AE，∠FGB＝∠DEA＝90°，FG＝DE＝2，∴△BGF≌△AED(SAS)． ∴∠FBG＝∠DAE.∴∠ABC＋∠DAE＝∠ABC＋∠FBG＝180°－∠ABF＝135°. 返回 中考考法 直角三角形 角的性质 边的性质 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 定理1：直角三角形的两个锐角互余 定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形 课堂小结 互逆命题与 互逆定理 互逆命题 互逆定理 一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫作互逆定理 第一个命题的条件是第二个命题的结论； 第一个命题的结论是第二个命题的条件. 概念 概念 课堂小结 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为(　　) A．60° B．65° C．70° D．75° A．(a＋b)2＝2c2　 B．a：b：c＝1：1： C．∠A＋∠B＝∠C　 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 如图，在△ABC中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AD是BC边上的中线，则AD的长度为________. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，道路BC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条道路CH，已知AC＝ km，CH＝2 km，AH＝1 km，新的取水点H与原取水点B相距1.5 km，则新建后(CH)比原来(BC)少走________km. A．2－ B．2－2 C．2 D．2 如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG∶GE＝1∶3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于点M，QN⊥GF于点N，EF＝2，则QM＋QN的长是(　　) A．2 B． C．2 D．不确定 设DG＝x，则GF＝GE＝3x，∴DF＝＝2x，DE＝4x.∵EF2＝DE2＋DF2，∴24＝16x2＋8x2，解得x＝－1(舍去)或x＝1.∴DF＝2.连接GQ.∵S△EFG＝S△EGQ＋S△FGQ，∴GE·DF＝GE·QM＋GF·QN.∴QM＋QN＝DF＝2. $