精品解析：山东淄博市周村区第二中学2025-2026学年下学期七年级数学期中考试

周村二中2025－2026学年第二学期七年级数学期中考试 一、选择题 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 刻舟求剑 D. 水涨船高 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 垂线段最短 B. 相等的角是对顶角 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 垂直于同一条直线的两条直线平行 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任意投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的情况一定有次 B. “湖北某地明天降雨的概率为”表示该地明天一定降雨 C. “太阳东升西落”是不可能事件 D. “随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数”是随机事件 4. 如果是方程的一组解，那么代数式的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图．有一些只写有数字的卡片，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，若摸到数字的概率为，则这些卡片所标数字合理的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，等边的顶点在直线上，，则的度数为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 7. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知关于x、y的方程组，给出下列说法正确的是（ ） ①当时，方程组的解也是方程的一个解； ②若，则； ③当x与y互为相反数时，； ④不论a取什么实数，的值始终不变． A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①③④ 9. 如图，将一张长方形纸条折叠，若边，则翻折角与一定满足的关系是（ ） A. B. C. D. 10. 甲乙两人骑自行车分别从，两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③甲的速度为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（ ） A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ③④ 二、填空题 11. 一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为______． 12. 将一副三角板按如图所示（共顶点）叠放在一起，已知，，．若固定三角板，改变三角板的位置（其中点位置始终不变），当________时，． 13. 如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为______． 14. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 15. 如图，直线，点E、F分别为直线和上的点，点P为两条平行线间的一点，连接和，过点P作的平分线交直线于点G，过点F作，垂足为H，若，则_____°． 三、解答题 16. 解方程组 （1） （2） 17. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到）； （2）盒子里约有白球________个； （3）若向盒子里再放入个除颜色以外其他完全相同的球，这个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你推测可能是多少？ 18. 在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． （1）求正确的，，的值； （2）求原方程组的解； （3）若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 19. 完成下面的证明： 如图，已知，，，求证：． 证明：， ① （ ② ） ， ③ （ ④ ）． 即． ， ， ⑤ ． ⑥ （ ⑦ ） 又， （ ⑧ ）． 20. 如图，在中，D是边上一点，G是边上一点，过点G作交于点F，E是边上一点，连接，． （1）判断与是否平行，并说明理由． （2）若平分，求的度数． 21. 已知如图，直线与轴、轴相交于点、，坐标分别为和点；直线交直线于点，交轴于，若点的横坐标为． （1）求直线、的表达式； （2）求的面积； （3）点是直线上一点，过点作直线平行于轴，交于，若，求点的坐标． 22. 随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表： 类别 素材内容 素材1 （效率对比） 配送时间计算模型： 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为，且取货加送货上楼固定消耗10分钟． 无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为，起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟 （注：配送总时长＝行驶时长＋固定消耗时长） 素材2 （运营成本） 某咖啡店的配送账单： 上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元． 素材3 （运力升级） 新机型采购计划： 为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼型”和“旋翼型”两种新型无人机共建新机队． 旋翼型：单价0.4万元，最大载重15千克； 旋翼型：单价0.6万元，最大载重25千克． 公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买． 问题解决： （1）任务1：现有一份紧急文件需要从地送往地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省________分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离） （2）任务2：根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？ （3）任务3：根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的载重最大？最大载重是多少？ 23. 如图1，直线与直线、分别交于点、，平分交直线于点，． （1）求证：； （2）如图2，点在线段上，点在线段上，平分，若，求的度数； （3）如图3，点在线段上，点为射线上一动点且不与点重合，连接，作的角平分线与相交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周村二中2025－2026学年第二学期七年级数学期中考试 一、选择题 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 刻舟求剑 D. 水涨船高 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件．根据事件的分类逐一判断即可. 【详解】A、守株待兔是不确定事件； B、 水中捞月是不可能事件； C、 刻舟求剑是不可能事件； D、水涨船高是必然事件； 故选：D 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 垂线段最短 B. 相等的角是对顶角 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题真假判断，熟练掌握相关知识点，并理解应用是解答本题的关键．根据垂线段性质，对顶角概念，平行公理，同一平面内直线位置关系等知识点，逐一判断即可． 【详解】解：A、∵直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，该命题成立， ∴ 选项是真命题，符合题意； B、∵相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等，但不是对顶角，命题不成立， ∴ 选项是假命题，不符合题意； C、∵在同一平面内，只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，原命题缺少条件，命题不成立， ∴ 选项是假命题，不符合题意； D、∵只有在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线才平行，原命题缺少前提，命题不成立， ∴ 选项是假命题，不符合题意. 故选：A． 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任意投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的情况一定有次 B. “湖北某地明天降雨的概率为”表示该地明天一定降雨 C. “太阳东升西落”是不可能事件 D. “随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数”是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义逐一分析即可． 【详解】解：∵任意投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的情况是随机事件，不一定有次， ∴A错误，不符合题意； ∵湖北某地明天降雨的概率为”表示该地明天降雨是随机事件， ∴B错误，不符合题意； ∵“太阳东升西落”是必然事件， ∴C错误，不符合题意； ∵“随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数”是随机事件， ∴D正确，符合题意． 4. 如果是方程的一组解，那么代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的解的定义得到的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴， ∴， ∴代数式的值是． 5. 如图．有一些只写有数字的卡片，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，若摸到数字的概率为，则这些卡片所标数字合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率公式计算即可． 【详解】根据概率公式： 由图可知，总共有张卡片，题目要求摸到的概率为，因此写有的卡片数量应为：张， 逐一验证选项： A：共有张写的卡片，概率为，不符合； B：共有张写的卡片，概率为​，不符合； C：共有张写的卡片，概率为，符合要求； D：共有张写的卡片，概率为，不符合． 6. 如图，直线，等边的顶点在直线上，，则的度数为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】过B作，根据等边三角形的性质和平行线的性质求解即可． 【详解】解：过B作，则， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，正确添加辅助线，利用平行线的性质求解是解答的关键． 7. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，将k看作已知数求出x与y，代入中计算即可得到k的值． 【详解】解：， ①②得：， ， 将代入①得：， ， ， 关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ， 解得：． 故选：． 8. 已知关于x、y的方程组，给出下列说法正确的是（ ） ①当时，方程组的解也是方程的一个解； ②若，则； ③当x与y互为相反数时，； ④不论a取什么实数，的值始终不变． A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组，根据各选项的条件，分别解方程组，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，解得：， 当时，； ∴也是方程的一个解；故①正确； 当时，， ∴；故②正确； 当x与y互为相反数时，则：，解得：；故③错误； ∵， ∴，得：，为定值；故④正确； 故选C． 9. 如图，将一张长方形纸条折叠，若边，则翻折角与一定满足的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠性质，解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算．根据平行可得出，再根据折叠和平角定义可求出． 【详解】解：如图： 由翻折可知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 10. 甲乙两人骑自行车分别从，两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③甲的速度为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（ ） A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度可以计算出的值，即可判断①；根据乙的速度，可以计算出的值，可以判断②；根据甲和乙相遇前和相遇后相距米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④． 【详解】解：由图可得， 甲的速度为：（米秒），故③错误，不符合题意； 乙的速度为：米秒， ，故①错误，不符合题意； ，故②正确，符合题意； 设当甲、乙相距米时，甲出发了秒， 两人相遇前：， 解得； 两人相遇后：， 解得；故④正确，符合题意； 故正确的有②④． 二、填空题 11. 一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，简单的概率计算，熟练掌握分式方程的应用．简单的概率计算是解题的关键． 设白球的个数为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设白球的个数为， 依题意得，， 解得，， 经检验，是分式方程的解，且符合要求； 故答案为：4． 12. 将一副三角板按如图所示（共顶点）叠放在一起，已知，，．若固定三角板，改变三角板的位置（其中点位置始终不变），当________时，． 【答案】30或150 【解析】 【分析】分两种情况：在下方和在上方，分别画出示意图，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，当在下方时， ∵， ∴； 如图所示，当在上方时， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 13. 如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了从图中获取信息列方程组，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题． 设小长方形的长、宽分别为，，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 依题意得， 解得， 小长方形的长、宽分别为，， ． 故答案为： 14. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，先利用待定系数法求出的值，进而得到点的坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案，掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 15. 如图，直线，点E、F分别为直线和上的点，点P为两条平行线间的一点，连接和，过点P作的平分线交直线于点G，过点F作，垂足为H，若，则_____°． 【答案】30 【解析】 【分析】过点P作，则，根据平行线的性质与角平分线定义得 ，再根据三角形的外角定理，结合已知条件，得，由，根据三角形内角和定理得，由平角定义得，进而便可求得结果． 【详解】解：过点P作，则， ∴， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角定理，角平分线的定义．关键是作平行线建立已知角与未知角之间的联系． 三、解答题 16. 解方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能选择恰当的方法进行求解是解题的关键． （1）先用加减消元法求出，将代入①求出，即可求解； （2）原方程组可化为，将方程组的第二个方程化为，用代入消元法进行求解即可． 【小问1详解】 解：①得， ③， ②③得， ， 解得：， 将代入①得， ， 解得：， 原方程组的解为； 【小问2详解】 解：原方程组可化为， 由②得， ③， 将③代入①得， ， 解得：， 将代入③得， ， 原方程组的解为． 17. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到）； （2）盒子里约有白球________个； （3）若向盒子里再放入个除颜色以外其他完全相同的球，这个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你推测可能是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）观察表格中频率的稳定趋势，取近似值即可得到摸到白球的概率. （2）用总球数乘以摸到白球的概率即可估算白球数量． （3）根据加入球后的频率稳定值得到概率，结合白球数量与总球数列出方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为． 【小问2详解】 解：∵盒子中共有个球， ∴盒子里约有白球(个) ． 【小问3详解】 解：∵加入个球后，总球数变为，白球个数变为，且摸到白球的概率为， 故可列方程得， 整理得， 解得， 答：推测可能是． 18. 在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． （1）求正确的，，的值； （2）求原方程组的解； （3）若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1），代入，解方程组可求出和的值，把，代入即可求出的值； （2）根据，，，得出原方程组为，再利用加减消元法求解即可； （3）根据的解为得出，解方程组即可． 【小问1详解】 解：∵甲把方程组中的看成了， ∴是方程组的解， ∴， 解得：， ∵乙看错了方程组中的，得解为， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴原方程组为， ①+②得，， 解得：， 把代入②得，， 解得：， ∴原方程组的解为． 【小问3详解】 解：把，，代入得，， ∵的解为， ∴， 解得：． 19. 完成下面的证明： 如图，已知，，，求证：． 证明：， ① （ ② ） ， ③ （ ④ ）． 即． ， ， ⑤ ． ⑥ （ ⑦ ） 又， （ ⑧ ）． 【答案】 ①；②两条直线平行，内错角相等；③；④垂线的定义；⑤；⑥；⑦内错角相等，两条直线平行；⑧平行于同一条直线的两条直线平行． 【解析】 【分析】根据两条直线平行，内错角相等可得，再根据两条直线垂直，夹角为可得，由等量代换可得，进而证明，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得． 【详解】略 20. 如图，在中，D是边上一点，G是边上一点，过点G作交于点F，E是边上一点，连接，． （1）判断与是否平行，并说明理由． （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理及外角定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用平行线得出同旁内角互补，然后根据内错角相等得出两直线平行即可； （2）设，表示出相关角的度数，利用三角形的外角列出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴． 21. 已知如图，直线与轴、轴相交于点、，坐标分别为和点；直线交直线于点，交轴于，若点的横坐标为． （1）求直线、的表达式； （2）求的面积； （3）点是直线上一点，过点作直线平行于轴，交于，若，求点的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为；直线的解析式为 （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的表达式，将代入直线的解析式可得，推出，将代入直线计算即可得解； （2）求出点的坐标，从而可得，再由三角形的面积公式计算即可得解； （3）设，则，表示出，结合，得出，求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为（不为0） 直线分别交轴、轴于点、点， ，解得： 直线的解析式为； 将代入直线的解析式可得，即， ， 直线交直线于点， 将代入直线可得， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，，即， ，， ， 的面积， 【小问3详解】 解：设，则， ， ， ， 解得：或， 当时，，当时，， 点的坐标为或． 22. 随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表： 类别 素材内容 素材1 （效率对比） 配送时间计算模型： 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为，且取货加送货上楼固定消耗10分钟． 无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为，起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟 （注：配送总时长＝行驶时长＋固定消耗时长） 素材2 （运营成本） 某咖啡店的配送账单： 上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元． 素材3 （运力升级） 新机型采购计划： 为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼型”和“旋翼型”两种新型无人机共建新机队． 旋翼型：单价0.4万元，最大载重15千克； 旋翼型：单价0.6万元，最大载重25千克． 公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买． 问题解决： （1）任务1：现有一份紧急文件需要从地送往地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省________分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离） （2）任务2：根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？ （3）任务3：根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的载重最大？最大载重是多少？ 【答案】（1）； （2）单； （3）①共有4种满足条件的采购方案，分别为：方案一：旋翼A型无人机2台，旋翼B型无人机7台；方案二：旋翼A型无人机5台，旋翼B型无人机5台；方案三：旋翼A型无人机8台，旋翼B型无人机3台；方案四：旋翼A型无人机11台，旋翼B型无人机1台； ②采购旋翼A型无人机2台，旋翼B型无人机7台的方案一载重最大，最大载重为 【解析】 【分析】（1）本题主要考查等量关系式“时间路程速度”． （2）本题主要考查二元一次方程组的应用． （3）本题主要考查二元一次方程的整数解． 【小问1详解】 解：传统骑手的送货时间为（时），（分）； 无人机送货时间为（时），（分）； （分）， ∴使用“无人机”比“传统骑手”节省分钟． 【小问2详解】 解：设使用“无人机”配送单，使用“传统骑手”配送单． 则， 解得， ∴咖啡店使用“无人机”配送了单． 【小问3详解】 解：①设购买旋翼型无人机台，旋翼型无人机台． 则，解出整数解． 方案一：当时，，即购买旋翼型无人机台，购买旋翼型无人机台； 方案二：当时，，即购买旋翼型无人机台，购买旋翼型无人机台； 方案三：当时，，即购买旋翼型无人机台，购买旋翼型无人机台； 方案四：当时，，即购买旋翼型无人机台，购买旋翼型无人机台． ②旋翼型无人机与旋翼型无人机的载重为：， 分别将①中数据代入： 当时，，（）； 当时，，（）； 当时，， （）； 当时，，（）； 综上所述，当按照旋翼型无人机2台，购买旋翼型无人机7台的方案一购买时，载重最大，最大载重为． 23. 如图1，直线与直线、分别交于点、，平分交直线于点，． （1）求证：； （2）如图2，点在线段上，点在线段上，平分，若，求的度数； （3）如图3，点在线段上，点为射线上一动点且不与点重合，连接，作的角平分线与相交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） （3） 点在线段上时，；点在射线上时，； 理由如下：如图，设交于点，设，， 当点在线段上时， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， 同理：， ∴， ∴； 当点在射线上时，如图， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， 同理：， ∴， ∴； 综上，点在线段上时，；点在射线上时，． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质可得，即可证明结论； （2）由平分及（1）的结论得，由平分，得，过点作，由平行线的性质得，由此即可求得结果； （3）分两种情况：点在线段上及点在射线上考虑，利用角平分线的性质及三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵平分，，， 由（1）知， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 如图，过点作， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $