精品解析：山东省淄博市周村区（五四制）2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

七年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 下面是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 三角形的一个外角等于两个内角的和 C. 相等的两个角是对顶角 D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 3. 下列事件中，属于必然事件是（ ） A. 年有天 B. 掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 个人中至少有两个人出生月份相同 4. 如图，这是某小区地下车库示意图．A，D为入口，B，C，E为出口，李师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从E出口驶出的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，平分，交于点H．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若x，y满足方程组，则的值为（ ） A. 17 B. 9 C. 21 D. 7 8. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，直线与（b为常数）相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 10. 点是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是二元一次方程组的解（a为任意实数），则当a变化时，点P一定不会经过（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分） 11. 已知是方程的一个解，那么a的值是______． 12. 如图，AB∥CD，∠CED=90°，∠AEC=35°，∠D=______． 13. 一个不透明的袋子中装有个红球和个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，若摸到白球的概率是，则的值为__________． 14. 如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为_____． 15. 利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是______． 三、解答题．解答要写出必要的文字说明或演算步骤．（共90分） 16. 解方程组： （1） （2） 17. 解方程组： （1） （2） 18. 六一儿童节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品(如下表)．小明和妈妈购买了125元的商品，可以获得一次转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 （1）小明获得中性笔概率是多少？ （2）小明获得奖品的概率是多少？ （3）为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 19. 甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ． （1）求正确的a，b的值； （2）求原方程组的正确解． 20. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 21. 如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象与交于点． （1）求m的值及的关系式； （2）方程组的解为________； （3）求的值． 22. 古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好学习，研学是最美的相遇．伴着三月的春风，哼着欢快的曲调，我们踏上了研学之路．方树泉中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有60座和45座两种型号客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 小萱：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： （1）参加此次活动的七年级师生共有 人； （2）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （3）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？哪一种租车最省钱？ 23. 【生活常识】 射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2． 【应用探究】 有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD． （1）如图2，若OM⊥ON，试证明ABCD； （2）如图3，光线AB与CD相交于点P，若∠MON=48°，求∠BPC的度数； （3）如图4，光线AB与CD所在的直线相交于点P，∠MON=α，∠BPC=β，试猜想α与β之间满足的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 下面是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，把各选项代入方程中进行判断即可． 【详解】解：A、，故是二元一次方程的解，符合题意； B、，故不是二元一次方程的解，不符合题意； C、，故不是二元一次方程的解，不符合题意； D、，故不是二元一次方程的解，不符合题意； 故选：A． 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 三角形的一个外角等于两个内角的和 C. 相等的两个角是对顶角 D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行同位角相等、三角形外角性质、对顶角的定义、在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，对四个选项依次进行判断． 【详解】解：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，A错误； 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，B错误； 相等的两个角的两边不一定分别互为反向延长线，故不一定是对顶角，C错误； 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，D正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题的真假，两直线平行同位角相等、三角形外角性质、对顶角的定义、在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，解题关键是要熟悉上述性质定理与定义． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 年有天 B. 掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D 个人中至少有两个人出生月份相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解题关键是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、年有365天，故为不可能事件，不符合题意； B、掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3是随机事件，故该选项不符合题意； C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该选项不符合题意； D、个人中至少有两个人出生月份相同是必然事件，因为一年有个月，个人即使平均分配个月，还会多一个人，故是必然事件，符合题意； 故选：D． 4. 如图，这是某小区地下车库示意图．A，D为入口，B，C，E为出口，李师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从E出口驶出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用树状图求概率，首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果， 然后求得李师傅恰好从E出口驶出的情况数，再利用概率公式求解，即可解题． 【详解】解：根据题意可画树状图如下： 由树状图可知所有可能的结果有6种，李师傅恰好从E出口驶出的结果有2种， 则李师傅恰好从E出口驶出的概率为， 故选：B． 5. 如图，直线，平分，交于点H．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练利用平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和角平分线的概念得到，即可得到的值． 【详解】解：，， ，， 平分， ， ， 故选：A． 6. 如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是掌握三角形外角的性质． 先利用三角形外角的性质得到，再利用三角形外角的性质求得，代入求出即可． 【详解】解：延长交于点E， 是的一个外角， ， ， ， 是的一个外角， ， ，， ， ， 解得：， 故选：B． 7. 若x，y满足方程组，则的值为（ ） A. 17 B. 9 C. 21 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的加减消元法是解题的关键． 将两个方程组相加即可求解． 【详解】解： ①+②得： 故选：A． 8. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，将k看作已知数求出x与y，代入中计算即可得到k的值． 【详解】解：， ①②得：， ， 将代入①得：， ， ， 关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ， 解得：． 故选：． 9. 在平面直角坐标系中，直线与（b为常数）相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．先利用直线确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题． 【详解】解：把点代入，得， ， 解得，， ∴P点坐标为， ∵直线与相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：B． 10. 点是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是二元一次方程组的解（a为任意实数），则当a变化时，点P一定不会经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是首先消去a，求出y与x的函数关系式．首先用消元法消去a，得到y与x的函数关系式，然后根据一次函数的图象及性质即可得出结论． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴的图象经过一三四象限，不经过第二象限． 故选B． 二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分） 11. 已知是方程的一个解，那么a的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程解的定义：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫二元一次方程的解是解题的关键． 直接把方程解代入方程，建立健全关于a的方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：， 故答案为：1． 12. 如图，AB∥CD，∠CED=90°，∠AEC=35°，∠D=______． 【答案】55° 【解析】 【分析】求出∠C，再利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠AEC=∠C=35°， ∵∠CED=90°， ∴∠D=90°-35°=55°， 故答案为55°． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13. 一个不透明的袋子中装有个红球和个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，若摸到白球的概率是，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式和解分式方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据概率公式列方程计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 故答案为：． 14. 如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为_____． 【答案】208° 【解析】 【分析】首先求出∠F+∠B＝∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，最后结合题干∠D＝28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数． 【详解】解：∵如图可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A， 又∵∠BED＝∠D+∠EGD， ∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD， 又∵∠CGE+∠EGD＝180°， ∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°， 又∵∠D＝28°， ∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°． 故答案为208°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的知识，解答本题的关键是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，此题难度不大． 15. 利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程组的应用，根据图形正确列出方程组是解题的关键． 设桌子高，长方体长，宽，列方程组得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：设桌子高，长方体长，宽， 根据题意得， 得， 解得：， 故答案为：． 三、解答题．解答要写出必要的文字说明或演算步骤．（共90分） 16. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题关键． （1）将方程组中的第一个方程代入第二个方程，消去，解方程可得的值，再将的值代入第一个方程可得的值，由此即可得； （2）将方程组中的第一个方程的两边同乘以3，再与第二个方程相加，消去，解方程可得的值，再将的值代入第一个方程可得的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 所以方程组的解为． 【小问2详解】 解：， 由①②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 所以方程组的解为． 17. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法减二元一次方程组即可． （2）先将方程组变形，再利用加减消元法减二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解： ①得：③， ②得：④， ④－③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为： 【小问2详解】 解：原方程组整理得， ①－②，得：， 将代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为 18. 六一儿童节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品(如下表)．小明和妈妈购买了125元的商品，可以获得一次转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 （1）小明获得中性笔的概率是多少？ （2）小明获得奖品的概率是多少？ （3）为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已改概率求数量： （1）用黄色区域数除以20即可得到答案； （2）用黄色，绿色，红色的区域数之和除以20即可得到答案； （3）用20乘以获奖概率得到染色的区域总数，再减去原本染色的区域总数即可得到答案. 【小问1详解】 解：， ∴小明获得中性笔的概率是； 【小问2详解】 解：， ∴小明获得奖品的概率是； 【小问3详解】 解：∵获得奖品的概率提高为， ∴涂色的区域一共有个， ∵， ∴需要再将5个空白扇形涂上颜色. 19. 甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ． （1）求正确的a，b的值； （2）求原方程组的正确解． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组错解复原问题： （1）把代入②，把代入①，可求出a和b的值； （2）把a和b的值代入原方程组，利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：把代入②，得， 解得， 把代入①，得， 解得； 【小问2详解】 解：将，代入原方程组，得， 整理得， 得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 因此原方程组的正确解为． 20. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用． （1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象与交于点． （1）求m的值及的关系式； （2）方程组的解为________； （3）求的值． 【答案】（1），的解析式为 （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查一次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、函数与方程组的关系是解题的关键． （1）先求得点的坐标，再运用待定系数法即可得到的解析式； （2）根据方程组的解即为一次函数和正比例函数的交点横纵坐标，即可求解． （3）过作于于，则，再根据，可得，进而得出的值； 【小问1详解】 解：把代入一次函数， 可得，，解得：， ， 设的解析式为， 将点代入， 得， 解得：， ∴的解析式为； 【小问2详解】 解：方程组可整理为， 方程组的解即为一次函数和正比例函数的交点横纵坐标， 即． 【小问3详解】 解：如图，过作于于， 则， 在中， 令，则； 令，则， ∴， ∴， ∴． 22. 古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．伴着三月的春风，哼着欢快的曲调，我们踏上了研学之路．方树泉中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 小萱：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： （1）参加此次活动的七年级师生共有 人； （2）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （3）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？哪一种租车最省钱？ 【答案】（1）420； （2）客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元； （3）共有3种租车方案，租用60座客车7辆时最省钱． 【解析】 【分析】（1）根据“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满”，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论． 小问1详解】 根据题意得：， 解得：， ， 参加此次活动的七年级师生共有420人． 故答案为：420； 【小问2详解】 设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元； 【小问3详解】 设租用60座客车m辆，45座客车n辆， 根据题意得：， ． 又m，n均为自然数， 或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用60座客车7辆，所需租车费用为（元）； 方案2：租用60座客车4辆，45座客车4辆，所需租车费用为（元）； 方案3：租用60座客车1辆，45座客车8辆，所需租车费用为（元）． ， 租用60座客车7辆时最省钱． 【点睛】本题主要考查列方程解决实际问题，以及最优方案的问题，解题的关键是列方程需要找到等量关系式，最优方案需要比较所有满足情况的方案费用最少，其难点是所设未知数必须满足整数的要求，得出具体几种方案． 23. 【生活常识】 射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2． 应用探究】 有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD． （1）如图2，若OM⊥ON，试证明ABCD； （2）如图3，光线AB与CD相交于点P，若∠MON=48°，求∠BPC的度数； （3）如图4，光线AB与CD所在的直线相交于点P，∠MON=α，∠BPC=β，试猜想α与β之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）84° （3）β=2α，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由∠ABC+∠BCD=180°-∠3-∠4+180°-∠1-∠2=360°-2(∠2+∠3)=180°，可证； （2）由（1）求得∠ABC+∠BCD的值，即可求解； （3）由∠PBD+∠P=∠O+∠4，∠3=∠4=∠O+∠2，∠1=∠2=∠PBD可得∠1+β=α+α+∠1，可求解． 【小问1详解】 证明：∵OM⊥ON ∴∠MON=90° ∴∠2+∠3=90° 又∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠ABC+∠BCD =180°-∠3-∠4+180°-∠1-∠2 =360°-2(∠2+∠3) =360°-2×90° =180° ∴ABCD． 【小问2详解】 解：∵∠MON=48° ∴∠2+∠3=132° 由（1）可知， ∠ABC+∠BCD =180°-∠3-∠4+180°-∠1-∠2 =360°-2(∠2+∠3) =360°-2×132° =96° ∴∠BPC=180°-（∠ABC+∠BCD）=180°-96°=84°． 【小问3详解】 解：β=2α，理由是： ∵∠PBD+∠P=∠O+∠4， ∠3=∠4=∠O+∠2， ∠1=∠2=∠PBD ∴∠1+β=α+α+∠1 ∴β=2α． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解题问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $