湖南省长沙市湖南师大附中芙蓉中学等校2025-2026学年七年级下学期期中测试 数学（问卷）

七年级下学期期中测试 数学（问卷）2026.4 注意事项： 1.答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2.必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4.请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5.答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本试卷时量120分钟，满分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四 圜 个选项中，只有一项符合题目要求) 铷 1.下列四个数中，最小的数是 A.√2 B.π C.-3.14 D.0 2.如图，要把河里的水引到田地A处，过点A向河岸 赳 长 L作垂线，垂足为点B,沿AB挖渠能使所挖的渠道 ☒ 最短，理由是 A.垂线段最短 斯 B.两点之间，线段最短 C.过一点可以作无数条直线 制 D.两点确定一条直线 3.估计√23的值在 A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 4.在平面直角坐标系中，点P(1,一2)所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.下列说法正确的是 A.√4的平方根是士2 B.无理数是无限小数 C.数轴上的点与有理数一一对应 D.一个数的算术平方根是它本身，这个数是1 数学试题(F)第1页（共8页） 6.如图，直线11和l2被直线13和14所截，∠1=∠2=88°， ∠3=105°，则∠4的度数为 A.75° B.88° C.95° D.105° 7.截至2026年4月9日晚，嫦娥七号探测器已安全运抵中国文昌航天发 射场，计划今年下半年择机发射，其将进行月球南极环境与资源勘查.在 发射场地面坐标系中，某关键设备位于点A(2a一4,3a+1),已知点B (2,3),且直线AB∥x轴，则a的值为 A日 R号 C.3 n 3x+y=m+3, 8.若满足方程组 的x与y互为相反数，则m的值为 x-y=2m-1 A.2 B.-5 C.4 D.-7 9.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有醇酒一 斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各 得几何？”意思是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1 斗，价值10钱；现用30钱，买得2斗酒，问分别能买到多少醇酒与行酒？ 设用30钱能买得的2斗酒里，买到醇酒x斗，买到行酒y斗，根据题意 可列方程组为 50x+10y=30, 50y+10x=30, A. B. x十y=2 x+y=2 50x+10y=2, 50y+10x=2, C. D. x十y=30 x十y=30 10.将一副三角板按如图放置，其中∠D=30°，则下列结论正确的序号有 ①如果∠2与∠E互余，则BC∥DA; ②如果∠2=30°，则有AC∥DE; ③∠2+∠CAD=180°； ④如果∠CAD=150°，必有∠4=∠C A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 数学试题(F)第2页（共8页） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.25的算术平方根是 12.在方程3y十2x=6中，用含y的代数式表示x为：x= x=2, 1.已知y 是关于x,y的二元一次方程ax+5y=7的一个解，则a 等于 14.2026年3月，张雪机车在世界超级摩托车锦标赛连续夺得两回合冠 军，是中国品牌首次在此级别领跑完赛，获得人民日报以“追风赶月莫 停留”为题的点赞.小军将“张”“雪”“机”“车”写在如图所示的方格纸 中，若建立平面直角坐标系，使“张”“雪”的坐标分别为（一1,0），(0,1)， 则“车”的坐标为 15.当光线从空气斜射入某种透明液体中时，光线的传播方向发生了改变， 这就是光的折射现象.如图，MN为液面，AB⊥MN于点D,一束光线 沿CD斜射人液面，在点D处发生折射，折射光线为DE,点F为CD 延长线上一点，若入射角∠1=40°，折射角∠2=21°，则∠EDF的度数 为 雪④ Φ (第14题图) (第15题图) (第16题图) 16.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序 按图中“→”方向排列，如(1,0)→(2,0)→(2,1)→(1,1)→(1,2)→(2， 2)→，…，根据这个规律，第2025个点的坐标为 三、解答题（本大题共9个小题，17,18,19题每小题6分，20,21题每小题 8分，22,23题每小题9分，24,25题每小题10分，共72分) 17.(6分)计算：(-1)226+√9-8+1-√3： 数学试题(F)第3页（共8页） 4x+y=15, 18.(6分)解方程组： x-2y=6. 19.(6分)如图，AD∥BC,∠BAD的平分线交CD于点F,交BC的延长线 于点E,∠B+∠BCD=180°，求证：∠CFE=∠E 请将下面的证明过程补充完整： 证明：AD∥BC(已知)， ∠2=∠E( .'AE平分∠BAD(已知)， ∴.∠1=∠2（角平分线的定义）， ∠1=∠E(等量代换). .∠B+∠BCD=180°（已知）， .∠1=∠CFE. ∴.∠CFE=∠E. 数学试题(F)第4页（共8页） 20.(8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标 分别是A(4,2),B(1,0),C(5,一3). y 6 5 3 2 -6-5-4-3-2-10B23456x -3 -4 -5 (1)把△ABC向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 △A'B'C',请你画出△A'B'C; (2)请直接写出点A',B,C的坐标； (3)求△ABC的面积. 21.(8分)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距 离中的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距” 时，称P,Q两点为“等距点” (1)点A(2,3)的“长距”等于 ,点B(一7,5)的“长距”等于 (2)若C(一1,2k十3)，点C在第三象限，点C,D(-6,5)两点为“等距 点”，求的值 数学试题(F)第5页（共8页） 22.(9分)如图，已知△ABC,点D在AB上，DF交AC于点E,连接CF, 若DF∥BC,∠B=∠F. (1)求证：AB∥CF; (2)若∠B=50°，CA平分∠BCF,求∠A的度数 23.(9分)2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿 连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的 巅峰之作.随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应 用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率.拟购买A,B两种型号 智能机器人共20台进行快递分拣.若A型机器人单价为4万元/台，B 型机器人的单价为10万元/台，原价购买共需176万元， (1)求购买A,B两种型号智能机器人的数量. (2)购买A,B两种型号机器人的数量不变，若商家对机器人进行打折 促销，活动一：1台A和1台B为一套，成套打九折，其余按原价；活 动二：每满50000减2000元.两种活动不可重复参与，请问该快递 企业应该参与哪种活动更省钱？并说明理由， 数学试题(F)第6页（共8页） 24,（10分)定义：若=0'为关于工和y的二元一次方程a十by=c y=0 (αb≠0)的一组整数解，即xo,yo都为整数，则称在平面直角坐标系中 的点（)为方程ax十by=c的整解点”，例如：)-2 /x=1, 为方程3x一 2y=一1的一组整数解，那么点(1,2)为方程3x一2y=一1的“整解 点”. (1)请求出方程2x十y=6在第一象限内的“整解点”； (2)已知关于x和y的二元一次方程ax十by=5 (ab≠0，且b为正整数)有“整解点”(m,n),将该点向上平移6个 单位，向右平移2个单位后仍是该方程的“整解点”，求ab的值； (3)有以下关于x和y的三个二元一次方程： (p-9)z+(3-3gy=3+49①， -(p+2)x+(2+3q)y=-2饣-3②， gx-3y=2g③， 其中p和g为常数且满足p≠3q,若这三个方程有相同的“整解 点”，试求出其相同的“整解点”. 数学试题(F)第7页（共8页） 25.(10分)长沙市铜官窑国风乐园夜间无人机表演是该园的一大特色，千 架无人机在石渚湖上空组成各种形态的图案.已知在一次无人机表演 中，有两架无人机甲、乙分别悬停在平行轨道AB和CD上的E,F两 点 (1)如图1，若无人机丙悬停于平行轨道AB和CD之间的点P,且三架 无人机在同一平面内，且满足∠BEP=65°，∠PFD=20°.求∠EPF 的度数； (2)无人机甲上的探照灯发出的光束（以下简称光束甲）从EA方向开 始绕E点逆时针匀速旋转，当转到EB方向后立即以当前速度的 倍匀速顺时针转回到EA,然后速度不变再次绕E点逆时针匀速旋 转到EB,光束甲每次转到EB方向后立即以当前速度的多倍匀速 顺时针转回到EA,依次进行直到表演结束.无人机乙上的探照灯 发出的光束（以下简称光束乙）从FC方向开始绕F点顺时针匀速 转向FD方向.两光束旋转的初始速度之和为10°/秒 ①如图2，当EF⊥CD时，已知甲、乙两光束旋转的初始速度为7： 3,光束乙先转动30°后，光束甲再开始和光束乙同时旋转t秒（光束 甲尚未第一次到达EF前)，两光束交于点M,探究∠EFM和 ∠FEM之间的数量关系； ②当甲、乙两光束以4：1的初始速度同时旋转t秒(0≤t≤60)时 (EF与AB不垂直)，是否存在实数t使得两光束所在的直线互相 平行？若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由. B 、B E -D .D F 图1 图2 备用图 数学试题(F)第8页（共8页） 七年级下学期期中测试 数学参考答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 9 10 答案 C A D D B A B C C 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.5 1282或5230 13.6 14.(2,1) 15.19° 16.(45,0) 三、解答题（本大题共9个小题，17,18,19题每小题6分，20,21题每小题8分，22,23题每小题9分，24,25题每小题10 分，共72分) 17.【解析】原式=1十3-2+√3-1 =1+√3. (6分) /4x+y=15,① 18.【解析】设x-2y=6,② ①X2+②，得9x=36, 解得：x=4,… (2分) 把x=4代入②，得4一2y=6, 解得：y=一1， (4分) 1x=4, 所以方程组的解是 …(6分) y=-1. 19.【解析】，AD∥BC(已知)， ∠2=∠E(两直线平行，内错角相等)， (2分) AE平分∠BAD(已知)， ∠1=∠2（角平分线的定义）， ∴.∠1=∠E(等量代换). .∠B+∠BCD=180(已知)， AB∥DC(同旁内角互补，两直线平行).…(6分) ∴.∠1=∠CFE. ∴.∠CFE=∠E. 20.【解析】(1)如下图： 6 5 B -6-5-4-3-2-1B23456 -2 -3 -5 -6 (2分) 七年级数学参考答案(F)一1 (2)A'(1,3),B(-2,1),C(2,-2).… (5分) (3)5m=5X42×3X2-合×4X3合×5X1=号. (8分) 21.【解析】(1)点A(2,3)的“长距”为3=3；点B(-7,5)的“长距”为-7=7.故答案为：3,7.…(4分) (2)由题意可知，2k十3=一6，解得=一4.5.… …(8分) 22.【解析】(1)证明：DF∥BC, ∴∠ADF=∠B(两直线平行，同位角相等)， …(2分) ∠B=∠F, .∠ADF=∠F(等量代换)， AB∥CF(内错角相等，两直线平行).…(4分) (2).∠B=50°，∠B=∠F, ∠F=50°，…(5分) ,DF∥BC, ∴.∠BCF=180°-∠F=180°-50°=130°，… (6分) .CA平分∠BCF, ∠ACF-号∠BCF=65, …（7分) AB∥CF, .∠A=∠ACF=65°.… (9分) 23.【解析】(1)法一：设A种机器人有x台，B种机器人有(20一x)台. 依题意得：4x十10(20-x)=176, 解得：x=4, 所以20-x=16(台)， 答：A种机器人买4台，B种机器人买16台.… …(4分) 法二：设A种机器人有x台，B种机器人有y台. |x+y=20, (4x+10y=176. ∫x=4, 解得： y=16. 答：A种机器人买4台，B种机器人买16台.…(4分) (2)活动一：14×0.9×4+10×12=170.4（万元）； (6分) 活动二：176-35X0.2=169(万元).… (8分) 170.4>169, 选择活动二更划算。 …(9分) 24.【解析】(1)方程2x十y=6的“整解点”在第一象限， .x>0,y>0, 当x=1时，y=6一2X1=4,点(1,4)为其在第一象限内的整解点”，…(1分) 当x=2时，y=6一2X2=2,点(2,2)为其在第一象限内的“整解点”，… (2分) 当x=3时，y=6一2X3=0,点(3,0)为“整解点”，但不在第一象限， 当x>3时，y<0,不符合第一象限要求， 方程2x十y=6在第一象限内的“整解点”为(1,4)和(2,2).…(3分) (2)点(m,n)是方程ax十by=5的“整解，点”， ∴.am+bm=5①， :,点(m十2，n十6)也是该方程的“整解点”， ∴.a(m+2)+b(n十6)=5②， 由②-①，得2a十6b=0,∴.a=-3b,… (4分) 将a=-3b代入①，得-3bm十bm=5, ∴.b(-3m+n)=5, 点(m,n)是“整解，点”， ∴.m,n均为整数， .-3m十n是整数， 七年级数学参考答案(F)一2 又.b为正整数， b是5的正因数， .b=1或5，… (5分) 又.a=-3b, .∴.ab=-3b×b=-362=-3或-75； (6分) (3)由①-2×③，得： (p-g)x+(号-3g)-2(gx-号y）)=3+4g-4g, 整理得：（p-3q)x+（p-3q)y=3, 又，p≠3q,即p-3q≠0， 等式两边同时除以p一3q,得：x十y一p3g 3 (7分) 由①十②十③，得： [(p-9)-(p+2)+91x+[(3-3g+(2+3q)-号]y-(3+4q)+(-2p-3)+24, 整理得：一2x十2y=6q一2p, .x-y=p-3q,…(8分） ,x一y=力-3q,且x,y均为整数， y为整数十y)色为整数， ∴.x一y为3的因数，即x一y的取值为1，一1,3，一3， (9分) (x十y一3，解得N （x=2, 当x-y=1时， 代入方程③得=0，舍去， y-x=-1, y=1, x十y=-3, 「x=-2, 当x一y=一1时， x1,解得 y=-1, 当x一y=3时， x十y1，解得 (y-x=-3, =2,代入方程③得=0，含去， y=-1, 当x-y=一3时， x+y=-1, x=-2, 解得 y-x=3, y=1. 三个方程相同的“整解点”为（一2，一1）和（一2,1）.…(10分) 25.【解析】(1)如图，过P点做辅助线PH∥AB, B PH∥AB, H--------- ∴.∠BEP=∠EPH=65°， - -D F 又CD∥AB,.PH∥CD, 图1 .∠PFD=∠HPF=20°，∠EPF=∠HPF+∠EPH=85°.…(3分) (2)①甲、乙两光束旋转的初始速度为7：3， A B 两光束旅转的初始速度之和为10°/秒， .V甲=7/秒，Vz=3°/秒， 又EF⊥CD,AB∥CD, 图2 甲光束旋转的角度∠AEM=7t,乙光束旋转的角度∠CFM=3t十30°；… …（4分) .∠FEM=∠AEF-∠AEM=90°-7t, ∠EFM=∠CFE-∠CFM=60°-3t; …… …(5分) .7∠EFM-3∠FEM=150°.… …(6分) ②两光束以4：1的初始速度同时旋转，两光束旋转的初始速度之和为10°/秒，将两束光命名为射线EM与射线 FN, ∴.Vw=8°/秒，VN=2°/秒， 七年级数学参考答案(F)一3 一共分四种情况讨论， I.0≤t≤22.5时，EM第一次从EA旋转到EB,如图3， :EM∥FN,AB∥CD, ∴.∠AEF=∠DFE,∠NFE=∠MEF, 图3 .∠NFD=∠AEM, ,∠NFD=180°-∠CFN=180°-2t,∠AEM=8t, .180°-2t=8t, 解得t=18秒； Ⅱ.22.5≤t≤37.5时，EM第一次从EB改变速度往EA运动，如图4， 此时V=8X号-12/#， .EM∥FN,AB∥CD, 图4 ∴.∠AEF=∠DFE,∠NFE=∠MEF, ∴.∠NFD=∠AEM, :∠NFD=180°-∠CFN=180°-2，∠AEM=180°-12(-182）=450°-12， .180°-2t=450°-12t, 解得t=27秒； Ⅲl.37.5≤t≤52.5时，EM第二次从EA往EB旋转，如图5， :EM∥FN,AB∥CD, .∠AEF=∠DFE,∠NFE=∠MEF, '.∠NFD=∠AEM, 图5 ,∠NFD=180°-∠CFN=180°-2t, ∠AEM=12(-1g-）=121-460, .180°-2t=12t-450°， 解得t=45秒； V.52.5≤60时，EM第二次从EB改变速度往EA旋转，如图6， E 此时Vam=12×号=18/书， ,EM∥FN,AB∥CD, 图6 ∴∠BEF=∠CFE,∠NFE=∠MEF, .∠CFN=∠BEM, :∠CFN=2,∠BEM=18(e-180102) =18t-945°， .2t=18t-945°， 解得秒， 综上，1=18秒或27秒或45秒或945秒. 16 (10分) 七年级数学参考答案(F)一4