精品解析：宁夏回族自治区银川市兴庆区银川北塔中学2025-2026学年第二学期第一次模拟考试九年级数学试卷

银川北塔中学2025-2026学年第二学期第一次模拟考试九年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案．下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形是沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕某点旋转 后能与自身重合的图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意． 2. 中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》为全球华人和海外朋友奉上了一道年味浓郁、文化醇厚、科技闪耀的“文化年夜饭”，截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达亿次，创13年来新高．数据“23063000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中 ，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 3. 下列计算中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法、积的乘方以及幂的乘方、合并同类项进行计算，即可找出不正确的选项． 【详解】解：A，∵， ∴A计算正确； B，∵， ∴B计算正确； C，∵， ∴C计算不正确； D，∵， ∴D计算正确． 4. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出 的长度，再根据圆的半径相等得到 的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴； ∵于点，， ∴ 是直角三角形，， 由勾股定理得：； ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 5. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 上用其他材料做了宽为 的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设 段的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设 段的长为，根据篱笆总长为以及有两个宽为 的门，表示出 的长，再根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设 段的长为，  篱笆总长为，且中间隔有一道篱笆，  垂直于墙的三段篱笆总长为，  在 上有两扇宽为 的小门（不用篱笆），   平行于墙的边 的长度为 ，即，  花圃的面积为，  可列方程为 ． 6. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 将二次函数 的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数 ， 令 ，解得， ∴原二次函数 与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数 ， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数 ， 令 ，则有 ， 即，解得，， ∴原二次函数 与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当 时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 8. 如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以 的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时， 或 ．其中结论错误的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，表示出 ，，和 的长，当四边形为矩形时，根据，列出方程求解即可；当四边形为平行四边形时，根据，列出方程求解即可；当时，分两种情况：四边形是平行四边形时；四边形是等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，可得， ∵， ∴ 当四边形为矩形时，， 即， 解得，故①不正确； 当四边形为平行四边形时，则， 即， 解得，故②不正确； 当时，分两种情况： 当四边形是平行四边形时，则， 即， 解得， 当四边形是等腰梯形时， 过点M作于点G，过点C作于点H，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 即， 解得， 综上可得，当时， 或， 故③错误，④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含t的代数式表示各线段的长度是解题的关键． 二、填空题（每题3分） 9. 的立方根是__． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根： ∵，∴的立方根是． 10. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点关于轴对称， ∴对称点的横坐标保持不变为，纵坐标取相反数为， ∴对称点的坐标为， 故答案为：． 11. 如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，2)，则关于x的不等式x＋1＞mx＋n的解集为_____． 【答案】x＞1 【解析】 【分析】结合函数图象，写出直线l1在直线l2上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（1，2）， ∴当x＞1时，x＋1＞mx＋n， 即关于x的不等式x＋1＞mx＋n的解集为x＞1． 故答案为：x＞1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 12. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估算概率，概率公式的计算，理解图②中的频率得到相应的概率，掌握概率的计算公式是解题的关键． 根据图②可得频率稳定在，则概率为，计算出长为，宽为的长方形，由不规则图形的面积除以长方形的面积等于，由此即可求解． 【详解】解：根据图②可得频率稳定在，则概率为， 长为，宽为的长方形的面积为，设不规则图案的面积为， ∴， 解得，， ∴不规则图案的面积大约为， 故答案为：  ． 13. 如图， 是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为 ________ 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1＋x2＝4，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵x1＋x2＝4， ∴x1＋3x2＝x1＋x2＋2x2＝4＋2x2＝5， ∴x2＝， 把x2＝代入得：（）2－4×＋m＝0， 解得：m＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1＋x2＝－，x1•x2＝是解题的关键． 15. 如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接 证明 为圆的直径，再利用勾股定理求解 再利用扇形面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接 为圆的直径， 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形的面积的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 16. 如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树 的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为．依据他们测量的数据求出大树 的高度___________．（参考数据：，，） 【答案】48米## 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握三角函数的相关定义和运算是解题关键．作于，过点作 于点，根据题意可得，然后利用勾股定理求出 米，得出米，证明四边形为矩形，易得，；设米，证明 为等腰直角三角形，可得米，进一步可得米，米，然后利用三角函数求解即可． 【详解】解：作于，过点作 于点，如图所示： 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （米）， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设米， 在中， ， ∴， ∴米， ∴在矩形中，米，米， 在中，米， ∵， ∴， 解得：， 答：大树的高度约为48米． 故答案为：48． 三、解答题 17. 下面是某同学解不等式组的部分解答过程，请阅读并完成相应的任务． 解：…… 由不等式②得，． 第一步 移项，得． 第二步 合并同类项得， 第三步 所以： 第四步 （1）任务一：小明的解答过程中，第一步的依据是 ，第 步开始出现错误，错误的原因是 ． （2）任务二：请你求出这个不等式组正确的解集． 【答案】（1）不等式的基本性质2，四，化系数为1时没有变号 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤结合不等式的性质判断即可 （2）分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解：小明的解答过程中，第一步的依据是不等式的基本性质2，第四步开始出现错误，错误的原因是化系数为1时没有变号， 故答案为：不等式的基本性质2，四，化系数为1时没有变号； 【小问2详解】 解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 18. 先化简，再求值：，任选一个a代入，其中a是满足的整数． 【答案】，当 时，原式（或 ，当时，原式，任选其一作为答案即可） 【解析】 【分析】进行通分计算，并把分式除法转化为乘法，然后进行约分简化，所以找出分子分母中的公因式并约去，得到最简分式．因为要选取合适的值代入，所以先根据分式有意义的条件，排除使分母为0的值，再从满足的整数中选取符合条件的代入最简分式计算． 【详解】解： ； ∵、、，即且． 结合条件且为整数，符合要求的只能是或 ． 若选，代入得：； 若选，代入得：． 19. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长． （3）求菱形ABCD的面积 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ， 是的中点， 是 的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）OE＝5，BG＝2 （3）80 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，中位线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据菱形的性质，得到，进而得到 是 的中位线，推出，易证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，由矩形的性质可知，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案． （3）由（2）可知，求出 长度，由（1）知，四边形是矩形，求出，利用勾股定理求出求出 ，的长度，最后根据菱形面积公式计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， ， 是的中点， ； 由（1）可知，四边形是矩形， ， ，， ， 由勾股定理得：， ； 【小问3详解】 解：由（2）可知， ， 由（1）知，四边形是矩形， ， ， ， 又∵四边形是菱形， ， ． 20. 为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，明信片的进价为6元/套，一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．若顾客花150元购买的吉祥物钥匙扣数量与花50元购买的明信片数量相同． （1）求吉祥物钥匙扣和明信片的售价； （2）为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售，某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利80元，请问有几种购买方案． 【答案】（1）钥匙扣单价30元，明信片10元 （2）有2种购买方案 【解析】 【分析】（1）设吉祥物钥匙扣的售价为x元，则明信片的售价为（x-20）元，由题意：顾客花150元购买的吉祥物钥匙扣数量与花50元购买的明信片数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n个，由题意：商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售．某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利80元，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【小问1详解】 解：设吉祥物钥匙扣的售价为x元，则明信片的售价为（x-20）元， 由题意得：， 解得：x=30， 经检验，x=30是原方程的解，且符合题意， 则x-20=10， 答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元； 【小问2详解】 解：设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n个， 由题意得：（30×0.9-18）m+（10-6）n=80， 整理得：n=20-m， ∵m、n为正整数， ∴或， ∴有2种购买方案， 答：有2种购买方案． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 21. 某班级拟开展科技主题班会活动，现从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑选一个主题．全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次投票共 ___________ 人参与，其中科技安全所占百分比为 ___________ ，并补全条形统计图． （2）为确定班会科技主题，从该班选择7名学生代表为“科技畅想”和“科技故事”打分，分数列表如下： 科技畅想 10 9 9 3 6 9 10 科技故事 9 10 7 8 6 8 8 平均数 中位数 众数 科技畅想 a b 9 科技故事 8 8 c 求表中的数据： ___________ ， ___________ ， ___________ ． （3）扇形统计图中，科技前沿组对应的圆心角的度数是___________ °； （4）该学校总人数为500人，请估计其中投科技生活的人数是多少？ 【答案】（1）50，20%， 补全条形统计图为： （2）8，9，8 （3） （4）人 【解析】 【分析】（1）由科技生活的人数除以占比得到投票人数，用总人数减去其余的人数求出科技安全的人数，再除以总人数，即可求出占比，以及补全条形统计图； （2）用科技前沿组的占比乘以即可； （3）根据样本估计总体的思想求解即可． 【小问1详解】 解：本次投票人数为：（人）， 科技安全人数为：（人）， ∴占比为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 将“科技畅想”的打分排列为：3，6，9，9，9，10，10， 则中位数； 在“科技故事”打分中，8分出现次数最多， ∴ ， 故答案为：8，9，8； 【小问3详解】 ， 即科技前沿组对应的圆心角的度数是 ； 【小问4详解】 （人） 即估计其中投科技生活的人数是人． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法． （1）在图①中，画 的高线． （2）在图②中，画 的中线 ． （3）在图③中，画 的角平分线． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： （3） 如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据三角形的高的定义，结合正方形或矩形相邻两条边垂直的性质，即可求得答案． （2）根据全等三角形的判定及性质，可求得 的边 的中点． （3）根据相似三角形的判定及性质，结合角平分线的定义即可求得答案． 【小问1详解】 解：根据图形可知，结合三角形的高的定义，可知即为 的高线． 【小问2详解】 解：在 和中 ∴． ∴ 为 的中线． 【小问3详解】 解：根据勾股定理可求得，，． ∵， ∴． ∴． ∴为 的角平分线． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理，以及三角形的高、中线、角平分线的定义，牢记矩形的性质、全等三角形的判定方法及性质、相似三角形的判定方法及性质是解题的关键． 23. 为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成为正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时与药物燃烧后，关于的函数关系式； （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【答案】（1）药物燃烧时：（）；药物燃烧后：（） （2） （3） 解：把 代入， 解得：， 把 代入， 解得：， ∵， 所以这次消毒是有效的． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式，把点代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点代入即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的x即可； （3）把 代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效． 【小问1详解】 解：设药物燃烧时y与x之间的解析式为， 把点代入， 得 解得：， 设药物燃烧后y与x之间的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， 故药物燃烧时y与x的函数关系式为（）； 药物燃烧时y与x的函数关系式为（）． 【小问2详解】 解：把，代入，得 ； ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 即从消毒开始，至少需要30分钟后员工才能回到办公室． 【小问3详解】 略 24. 如图，在矩形中， ，，是上一点，，过点，与 交于点． （1）求弦 的长． （2）求证：是的切线． 【答案】（1）； （2）证明：连接 ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，在上， 是的切线． 【解析】 【分析】（1）过作 ，根据勾股定理得到，由，得到，根据相似三角形的性质得到，确定 ，再根据勾股定理即可得到结论； （2）连接 ，在中，根据勾股定理得到，由勾股定理的逆定理得到，根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：（1）解：过作 ， 在 中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）略 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是正确的作出辅助线是解题的关键． 25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点且，与y轴交于点C，连接BC，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）求 面积的最大值及此时D点的坐标； （3）抛物线上是否存在点D，使得以点O、D、E为顶点的三角形与 相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 面积的最大值, （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求点的坐标，根据待定系数法求出的解析式，设点的横坐标为，则点，则点，则,,根据二次函数性质、三角形的面积公式求得最大值，即可求解； （3）点 ( )，则，，以点，，为顶点的三角形与相似，分两种情况：①当时两三角形相似；②当时两三角形相似，求解即可． 【小问1详解】 解：因为过点且，则, 则， 解得：， 故抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 对于，令 ，则 ，故点， 设直线 的解析式为，由直线过点、的坐标得， 解得 直线 的表达式为：， 设点的横坐标为，则点，则点， 则， ∵，故有最大值， 则 面积最大值为 此时，点； 【小问3详解】 存在，理由： 点( )，则，， 以点，，为顶点的三角形与相似， ①当时两三角形相似，即 则解得：或（舍去） 经检验，是原分式方程的解， ②当时两三角形相似，即 则解得：或（舍去） 经检验，是分式方程的解， 故或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的性质，相似三角形的性质并正确计算是解题的关键． 26. 如图，在中，点是斜边 上的动点（点与点不重合），连接 ，以 为直角边在 的右侧构造 ， ，连接， ． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是__________，数量关系是__________； （2）如图2，当 时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接 ，，，如图3．已知 ，四边形的面积为18． ①求的长； ②当 时，请直接写出的长度． 【答案】（1）， ； （2） ，； 证明：， ， ， ， ， ，则 ， ， ， ， ； （3）①； ②或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和相似三角形的综合应用，熟记全等三角形的判定与性质和相似三角形判定与性质是解题的关键． （1）由 证明 ，即可得出， ； （2）由已知得出 ，即可得出 ，； （3）①由已知得出四边形是正方形，求得边长，由勾股定理即可得出，数形结合即可求解； ②过作 于，则 是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1） ， ， ， ， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ，即， 故答案为：， ； （2）略 （3）①如图，连接 交于，由（1）知， ，， 设， ， ， 同（1）原理可得 ，， ， 点与点关于对称， 垂直平分 ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， 正方形的面积为 ， 解得， 即为； ②如图，过作 于，则 是等腰直角三角形， 设， ， ， 连接，由直角三角形性质得 ， ， ， ，即 ， ， ， 则， ， ， 解得或 ， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川北塔中学2025-2026学年第二学期第一次模拟考试九年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案．下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》为全球华人和海外朋友奉上了一道年味浓郁、文化醇厚、科技闪耀的“文化年夜饭”，截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达亿次，创13年来新高．数据“23063000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 上用其他材料做了宽为 的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设 段的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 7. 将二次函数 的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 8. 如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以 的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时， 或 ．其中结论错误的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（每题3分） 9. 的立方根是__． 10. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 11. 如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，2)，则关于x的不等式x＋1＞mx＋n的解集为_____． 12. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为____________． 13. 如图， 是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为________． 14. 关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为 ________ 15. 如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为_____． 16. 如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树 的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为．依据他们测量的数据求出大树 的高度___________．（参考数据：，，） 三、解答题 17. 下面是某同学解不等式组的部分解答过程，请阅读并完成相应的任务． 解：…… 由不等式②得，． 第一步 移项，得． 第二步 合并同类项得， 第三步 所以： 第四步 （1）任务一：小明的解答过程中，第一步的依据是 ，第 步开始出现错误，错误的原因是 ． （2）任务二：请你求出这个不等式组正确的解集． 18. 先化简，再求值：，任选一个a代入，其中a是满足的整数． 19. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长． （3）求菱形ABCD的面积 20. 为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，明信片的进价为6元/套，一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．若顾客花150元购买的吉祥物钥匙扣数量与花50元购买的明信片数量相同． （1）求吉祥物钥匙扣和明信片的售价； （2）为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售，某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利80元，请问有几种购买方案． 21. 某班级拟开展科技主题班会活动，现从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑选一个主题．全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次投票共 ___________ 人参与，其中科技安全所占百分比为 ___________ ，并补全条形统计图． （2）为确定班会科技主题，从该班选择7名学生代表为“科技畅想”和“科技故事”打分，分数列表如下： 科技畅想 10 9 9 3 6 9 10 科技故事 9 10 7 8 6 8 8 平均数 中位数 众数 科技畅想 a b 9 科技故事 8 8 c 求表中的数据： ___________ ， ___________ ， ___________ ． （3）扇形统计图中，科技前沿组对应的圆心角的度数是___________ °； （4）该学校总人数为500人，请估计其中投科技生活的人数是多少？ 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法． （1）在图①中，画 的高线． （2）在图②中，画 的中线 ． （3）在图③中，画 的角平分线． 23. 为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成为正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时与药物燃烧后，关于的函数关系式； （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 24. 如图，在矩形中， ，，是上一点，，过点，与 交于点． （1）求弦 的长． （2）求证：是的切线． 25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点且，与y轴交于点C，连接BC，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）求 面积的最大值及此时D点的坐标； （3）抛物线上是否存在点D，使得以点O、D、E为顶点的三角形与 相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 26. 如图，在中，点是斜边 上的动点（点与点不重合），连接 ，以 为直角边在 的右侧构造 ， ，连接， ． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是__________，数量关系是__________； （2）如图2，当 时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接 ，，，如图3．已知 ，四边形的面积为18． ①求的长； ②当 时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $