精品解析：陕西咸阳市2025-2026学年高三下学期模拟检测数学试卷

高考模拟检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】化简集合分式不等式等价于，解得，即， 化简集合由得，即； 根据包含关系求的范围表示中所有元素都属于， 要让区间完全落在内，只需满足：解得， 即的取值范围为. 2. 在复平面内，若 ，则的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】根据虚数单位的幂运算性质，， 代入原式得：，即， 的共轭复数为， 对应点为，位于第四象限. 3. 已知向量与的夹角为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得： ，代入，得： ， ， 故. 4. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定， 故“”的否定为：. 5. 已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将通项公式变形为，通过分析其在分母临界点两侧的单调性来求解最大值. 【详解】对分离常数得：， 令，得， 当（为正整数）时，，因此； 当（为正整数）时，，因此， 因此的最大值一定出现在中，排除C、D， 在时，增大，（负数）增大，减小，增大， 因此随增大而增大，所以时，取到最大值， 验证：，是所有项中的最大值， 故. 6. 函数 在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和函数值的正负逐一分析判断选项. 【详解】已知， ， 因此是奇函数，图象关于原点对称，排除关于轴对称的选项A、B； 当时：，故； 同时，因此负数正数， 即时，图象在轴下方，选项C符合该特征，选项D不符合. 7. 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆 上，点在圆上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆定义，，则当三点共线时，取得最小值. 【详解】根据题意，，且点为椭圆右焦点， 根据椭圆定义，， 即如图，当三点共线时，取得最小值. 8. 方程有两实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】变形构造函数，利用该函数的单调性和值域，将原方程的根的问题转化为函数值相等的问题，所以结合构造函数的性质，分析参数需满足的条件，确定其取值范围. 【详解】由题可知：， 原方程可化为： 令，，故在单调递增， 即每个不同对应唯一不同的，易得的值域为R， 原方程有两个不同实根等价于方程有两个不同解， 变形得：，令，求导得：， 令， 当且时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得极小值，作出的图象如下： 若，则，此时方程仅有一解，不符题意， 故，则，因此只需考虑在上的情况，其在此区间上的最小值为， 当时，有两个不同解，对应原方程有两个不同实根， 因此的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（ ） A. 的值为0.025 B. 参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C. 参加考核学生成绩在区间的学生有104人 D. 估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，成绩在的频率分别为，则成绩的中位数， ，解得，B错误； 对于C，成绩在的频率为， 由，得成绩在区间的学生有104人，C正确； 对于D，成绩的平均数，D正确. 10. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 已知是方程的两根，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角函数两角和差公式与诱导公式结合选项逐一分析. 【详解】选项A：化简得：，A错误； 选项B：，， 代入原式分子得：，因此原式：，B正确； 选项C：由三角恒等变换：，， 因此，C正确； 选项D：由韦达定理得：，， 因此， 因为，说明一正一负，分别在和， 结合和为负，得， 因此满足的角只有，D正确. 11. 是定义在上的奇函数，满足且在上为单调递减的一次函数，，则（ ） A. 函数图象关于直线对称 B. 函数的最小正周期为 C. D. 设和的图象所有交点横坐标之和为 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知是定义在上的奇函数，故，； 又， 选项A：对任意，由，替换为得：， 即满足函数关于直线对称，故A正确； 选项B：由，结合奇函数性质， 得： 以替换得：，故最小正周期为，不是，故B错误； 选项C：已知在上是单调递减的一次函数，，， 可得解析式：，故，，由周期： ， 故：，C正确； 选项D：，显然关于直线对称； 对由周期、对称轴， 可推得也关于对称， 因此与的交点必然关于对称，每对对称交点的横坐标之和为， 在区间内计数交点： ：，，无交点； ：从单调增到，从单调增到， ，，仅有个交点； ：从单调减到，从单调减到，仅有个交点； ：，，无交点； 共个交点，横坐标之和为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，且 ，则等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】由随机变量，可知正态分布曲线关于均值对称， 已知，因此， 由对称性可得：和关于对称， 因此， . 13. 某科技公司研发了5款不同功能的AI助手，其功能分别为：文字创作、图像生成、语音交互、数据计算、智能编程，现将这5款助手分配给甲、乙、丙三个小组进行测试，规定每个小组至少分到1款AI助手且智能编程功能的必须分配给甲组．符合条件的分配方案共有___________种． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，其余4款AI助手可以分成两组分给乙组和丙组，或者分成三组分别分配给甲、乙、丙三个小组，分别求之再相加即可. 【详解】由于智能编程功能的必须分配给甲组， 则其余4款AI助手可以分成两组分给乙组和丙组， 有种分配方法， 或者 有种分配方法， 所以共有种分配方法. 14. 已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题首先可根据题意将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果． 【详解】因为平面平面， 所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分， 如图所示：则四面体的外接球即直三棱柱的外接球， 因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为， 所以直三棱柱的外接球的半径， 则球的表面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15. 已知三内角的对边分别为，且． （1）求角 的值； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理统一为角的三角函数等式，再通过三角形内角和关系替换角 并消去公因式，由辅助角公式解得角 ； （2）先用余弦定理建立边的等量关系，再结合基本不等式求出的最大值，最后代入面积公式求得面积最大值. 【小问1详解】 根据正弦定理得： 中，因此， 代入上式消去得： 因为，，两边同除以整理得： ， 由得，因此，即， 【小问2详解】 由余弦定理，代入、得： 由基本不等式，得： 即，当且仅当时取等号， 的面积， 代入的最大值得： 因此面积的最大值为. 16. 咸阳文旅部门统计了某景点在2025年2月至6月的旅游收入（单位：万元），得到以下数据： 月份 2 3 4 5 6 旅游收入 10 12 11 12 20 （1）根据表中所给数据，用相关系数判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由； （2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 50 女 30 总计 60 参考公式：相关系数，参考数据：． 线性回归方程：，其中 ，其中． 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）可用，线性回归方程为； （2） 喜欢 不喜欢 总计 男 40 10 50 女 20 30 50 总计 60 40 100 能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”. 【解析】 【分析】（1）利用表格中数据求出并判断，再利用最小二乘法求出回归直线方程. （2）完善列联表，求出的观测值，与临界值比对作答. 【小问1详解】 由表格中数据，得， ， ， 因此相关系数， 所以与的线性相关性较强，可用线性回归模型拟合与的关系； ， 所以关于之间的线性回归方程为. 【小问2详解】 依题意，列联表为： 喜欢 不喜欢 总计 男 40 10 50 女 20 30 50 总计 60 40 100 零假设：认为“游客是否喜欢该景点与性别无关联”， 由表格中数据经计算， 依据小概率的独立性检验，推断不成立， 即能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”，此推断犯错误的概率不大于0.001. 17. 如图，在正三棱柱中，，点分别是棱的中点，点满足，其中． （1）当时，求证：平面； （2）当时，若平面与平面的夹角的余弦值是，求的值． 【答案】（1）证明：由题意得，正三棱柱侧棱垂直底面，作，以 为原点， 方向为轴，方向且平行于直线为轴，方向为轴，建立坐标系： ， 由中点坐标得：， 由得， 当时，，则， 平面中，， 设平面的法向量为，由， 由①得，代入②式得：， 取，则，，， ，即， 又平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间坐标系，利用直线与平面的法向量垂直证明直线与平面平行. （2）逆用平面夹角的余弦公式，结合平面的法向量即可求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，： 平面中，， 设平面的法向量为，， 取，则，，故， 平面中，， 设平面的法向量为，， 取，则，故， 设平面与平面的夹角为，， 计算得：，，， 代入得：，整理平方得：，解得. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值； （3）当时，证明：函数 有个零点． 【答案】（1） （2） （3）证明：整理得：， 求导得：， 因为，所以的符号由分子 决定， 令 ，对求导： ， 当时，和都是严格单调递增的正函数，因此在上严格单调递增， 结合条件，代入端点得：时， ； 时， ，因此， 根据零点存在性定理，存在唯一的使得， 故的单调性为：，，严格递减； ，，严格递增， 的最小值为，且时 ，故； 又时，因此存在唯一的，使得，即在上只有一个零点， 结合的符号，可得的单调性： ， ，严格单调递减； ， ，严格单调递增， 因此：在上只有个极值点（极小值点），由单调性可知最多存在个零点； 由，即，解得， 代入得 已知，则， 对取对数得，又因为，所以 即，故， 结合已证的零点存在性结论：时，与极小值， 时，因此和各存在且仅存在个零点， 即恰好有个零点，得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义，先求切点坐标，再求导得切线斜率，由点斜式写出切线方程； （2）将恒成立问题转化为求函数最值，通过分类讨论参数符号确定单调性，构建新函数并利用导数求最值解出参数； （3）通过代数变形将函数拆分为易分析的部分，利用同构思想换元简化，结合零点存在性定理和函数单调性确定零点个数. 【小问1详解】 当时， ，定义域为， ，切点为，求导得，切线斜率， 由点斜式得切线方程：，整理得. 【小问2详解】 求的取值恒成立，即 对恒成立， 设 ，求导得， 若，则，在单调递减， 当时，不满足，舍去； 若，令得，在递减，在递增， 最小值为：， 令，不等式化为 ， 设 ，，在单调递增，在单调递减，在处取最大值， 故仅当成立，得， 综上，. 【小问3详解】 略 19. 在平面直角坐标系中，点为动点，以为直径的圆与轴相切，记的轨迹为曲线 ． （1）求曲线 的方程； （2）若在曲线 上存在三个点，使得的角平分线为，求直线的斜率； （3）过点的直线与曲线 交于两点（ 点在轴上方），点，直线与曲线 的另一个交点为 ，直线与曲线 的另一个交点为，若线段的中点分别为，求面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设动点，根据题意得，化简即可； （2）设直线的方程为：，联立抛物线方程得到韦达定理式，再结合点在抛物线上即可得到答案； （3）设点坐标，求出面积表达式，利用换元法并结合函数单调性即可求出范围. 【小问1详解】 设动点，以为直径的圆与轴相切，圆心， 半径，圆与轴相切， 即圆心到轴的距离等于半径，即， 化简得，所以曲线 的方程为． 【小问2详解】 由于的角平分线为，则直线的斜率均存在， 且，设， 即：，化简得：， 即，可得， 易知满足条件的直线斜率必存在．设直线的方程为：， 将其与抛物线联立得：， 由韦达定理，得：，因此， 又因为点在抛物线上，满足，所以， 而点在角平分线上，即，则，解得． 故直线的斜率为． 【小问3详解】 设，当 不与轴垂直时， 直线 的两点式方程为，代入整理得， 当 与轴垂直时也符合，故直线 的方程为． 由于直线 过，代人得， 设，同理可得直线的方程为， 由于直线过点，代入得， 设，则直线的方程为， 由于直线过，代入得，令， 则， 则， ， 设与轴交于点，直线的两点式方程为， 代入得， 则， 设，则，则， 则， 因为，则， 则在单调递增，则， 则面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考模拟检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，若 ，则的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量与的夹角为，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（） A. B. C. D. 6. 函数 在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 方程有两实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（ ） A. 的值为0.025 B. 参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C. 参加考核学生成绩在区间的学生有104人 D. 估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 10. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 已知是方程的两根，且，则 11. 是定义在上的奇函数，满足且在上为单调递减的一次函数，，则（ ） A. 函数图象关于直线对称 B. 函数的最小正周期为 C. D. 设和的图象所有交点横坐标之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，且 ，则等于___________． 13. 某科技公司研发了5款不同功能的AI助手，其功能分别为：文字创作、图像生成、语音交互、数据计算、智能编程，现将这5款助手分配给甲、乙、丙三个小组进行测试，规定每个小组至少分到1款AI助手且智能编程功能的必须分配给甲组．符合条件的分配方案共有___________种． 14. 已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15. 已知三内角的对边分别为，且． （1）求角的值； （2）若，求面积的最大值． 16. 咸阳文旅部门统计了某景点在2025年2月至6月的旅游收入（单位：万元），得到以下数据： 月份 2 3 4 5 6 旅游收入 10 12 11 12 20 （1）根据表中所给数据，用相关系数判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由； （2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 50 女 30 总计 60 参考公式：相关系数，参考数据：． 线性回归方程：，其中 ，其中． 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在正三棱柱中，，点分别是棱的中点，点满足，其中． （1）当时，求证：平面； （2）当时，若平面与平面的夹角的余弦值是，求的值． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值； （3）当时，证明：函数 有个零点． 19. 在平面直角坐标系中，点为动点，以为直径的圆与轴相切，记的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若在曲线上存在三个点，使得的角平分线为，求直线的斜率； （3）过点的直线与曲线交于两点（点在轴上方），点，直线与曲线的另一个交点为，直线与曲线的另一个交点为，若线段的中点分别为，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $