陕西西安高级中学2026届高三考前自测数学试题

西安高级中学2026届模考数学试题（三) 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写 在本试卷上。 2.作答选择题时，选出每小题答亲后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答亲标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答素标好。涂写在本试卷上无效。作答非选择题时将答素写在答题卡上，写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1.在复平面内，把与复数z对应的向量绕原点0按顺时针方向旋转60°，得到的向量对应的复数为-25i, 则z=() A.2V3-2V3iB.2W3+2W3i c.3-3i D.3+V3i 2.己知非零不共线向量ā，满足@=a-引，则向量a-与向量的夹角为（) A. B.胃 C. D. 3.己知函数f)=4sim(ox+司+b(o>0)的最小正周期为，若存在x3,x∈[0，引，使得fc)+ f(x2)≤f(x3)成立，则实数b的取值不可能是() A.-10 B.-6 C.5 D.9 4.已知事件A,B,C的概率均不为0，则P(A)=P(B)的充要条件是(） A.P(AUB)=P(A)+P(B) B.P(AUC)=P(BUC) C.P(AB)=P(AB) D.P(AC)=P(BC) 5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M,N分别是棱AD,DD1的中点，点P在正方体ABCD- A1B1C1D1的表面上运动，且AP/平面BMN,则点P的轨迹长度为() D A B W B A.22 B.V5 C.2√2+3V5 D.3W2+2V5 西安高级中学2026届模考数学试题（三)试题第1页共4页 6.已知F,F,分别是椭圆C等+号=1(a>b>0)的左、右焦点，M,N是椭圆C上两点，且2MF=3那， MF·M=0,则椭圆C的离心率为() A.9 B. c.月 D. 7.对于函数y=f(x),x∈D,设Ar={(x,y)y≥f(x),x∈D.对于点集M,若存在(xo,yo)EM,使得任取 (x,y)∈M,总有y≥yo,则称(xo,yo)为“最低点'.对于函数y=f(x)和y=g(x),以下说法中正确的是() A.若y=fx)和y=9()都有最小值，则ArnA,有最低点： B.若Ar∩A,有最低点，则y=f(x)和y=g(x)都有最小值； C.若y=f(x)或y=g(x)有最小值，则Af UAg有最低点； D.若Af U Ag有最低点，则y=f(x)或y=g(x)有最小值. 8.由二项式定理可知(1+)o0-∑0(Co),用赋值法，令x=1,得到∑09ca。=2o,借助赋值 法，可以计算得到∑0c等于() A.2398-2198B.2398+2198 C.2398-2199 D.2398+2199 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分， 选对但不全得部分分，有选错的得0分) 9.某研究机构为调查“高中生睡眠质量与经常使用电子设备是否有关”，分别去两个学校调查.甲校随机抽取 300名学生，乙校随机抽取600名学生，分别得到以下数据： 甲校(300人) 睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 60 40 100 不经常使用电子设 140 60 200 备 合计 200 100 300 乙校(600人) 睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 120 80 200 不经常使用电子设 280 120 400 西安高级中学2026届模考数学试题（三)试题第2页共4页 备 合计 400 200 600 记由甲校、乙校上述数据计算的卡方统计量分别为X,x乙下列说法正确的有() A.甲乙两校样本中经常使用电子设备的学生比例均为号 B.甲乙两校样本经常使用电子设备的学生中睡眠差的比例均为 C.相比甲校数据，乙校数据更容易得出“睡眠质量与使用电子设备有关”的结论 D.若将甲、乙两校合并为一个容量为900人的样本，则合并后的卡方统计量X2=X 10.在平面直角坐标系x0y中，已知双曲线C三-号-1(a>0,b>0)左、右焦点为F1,F2,离心率e=2, 下列说法中正确的有() A.C的渐近线为y=±Vx B.C的焦距是虚轴长的V3倍 C.若C的焦点到其渐近线的距离为V6,则F1F2=4W2 D.若C的焦距为8，则其渐近线上存在点P,使得PF1l-IPF2=2 11.在无穷数列{an}中，an+1=f(an),则下列选项正确的是（) A.若f(x)=x3+1,a1∈(-1,0)，则对任意c>0,都存在n∈N*,使得an>c B.若f)=kx2+1(k>0),a1=1,且对任意nEN,都有a<2，,则k的最大值是 C.若f()=3-是3a1,使得集合man<2,nEN中有有限个元素 D.若f()=x+元sin(2m0,当a1=V2时，{a}为递减数列，且存在常数M≤V2,使得am<M恒成 立 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若函数f(x)=x3-12x-a有三个零点，则实数a的取值范围为 13.某样本中5个数据的平均数为10，方差为6.现增加一个数据10，则这6个数的方差为· 14.若对任意的0∈R,总存在x∈售+8，m+d】,使得simx≤，则m的取值范围是 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15.(13分)2026年是中华全国总工会创立的101周年，学校组织学生参观基层工匠的工作，学生们在参 观一个加工厂时发现，一个师傅在木板上钉了两个钉子，钉子间距为8，师傅用一个长18的绳子连成绳圈， 西安高级中学2026届模考数学试题（三)试题第3页共4页 将两个钉子套在绳圈内，用一根墨笔从绳圈内顶住绳子使得绳子始终紧绷并画线.以两个钉子的连线为x轴、 连线中点为坐标原点建立平面直角坐标系： (1)求轨迹方程C并求离心率e: (2)左、右焦点分别为F1、F2,过F2的直线AB交C于A、B(A在B上方)，求S△ABF,最大值并给出AB的 直线方程。 16.(15分)设数列a小满足a1-营a∈(0)1tama+1-。 (1)证明：数列{tana}是等差数列，并求其通项公式： (2)若sina1sina2…sindm=,求正整数m的值. 17.(15分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，BB11B1C1,BB11AB1 B (1)求证：平面AB1C1⊥平面BB1C1C; (2)若AB=2,AC=V3,BC=√7，BB1=t: (i)当t=1,求直线AB与平面BB1C1C所成角的正弦值： (ii)当t为何值时，三棱柱ABC一A1B1C1体积最大，并求此最大值 18.(17分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2b+c-2 acosC=0. (1)求A; (2)若D为BC边上一点，∠BAD=3LCAD,AC=4,AD=V3,求sinB. 19.(17分)已知函数y=f(x)在定义域D上的导函数为y=f(x),对任意实数t∈D,定义集合A:={xf(x)≥ f'(t),x∈D}· (1)设f(x)=ln(x+1),求集合Ao: (2)设D=R,集合B:={xf(x)≤f(-t),x∈R,求证：“对任意t∈R,B:={-xEA}”是“y=f()为 偶函数的必要不充分条件： (3)设D=R,f()=e-a-2x-1,若对任意t1,t2ER且t1<t2,都有A2∈A,求实数a的取值范围. 西安高级中学2026届模考数学试题（三)试题第4页共4页 西安高级中学2026届模考数学试题（三)参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C Q D C 0 D D 0 ABC ACD 11 AC 8.D【详解11+x)o0=∑0 (C0),令x=1,1+1)o=∑0c0=20,(四 )00=∑0C,(C-D=0.(②)令x=i认壶数单位，P=1,-iit三 2cw同x=i1am-cw(的.用 将(1)+(2)+(3)+(4)，得到200+0+(1+)4o0+(1-)400=4(Co0+C4o0+C00+…+C488) 又(1+i)4=C9i0+C4i1+C泾·i2+Ci3+C4i4=1+4i-6-4i+1=-4, (1+D0=[〔1+D]10=(←-4900=220，(1-)=c4-(-)°+c4-(-)+C4·(-D2+C4·(-)2+ C4(-)4=1-4i-6+4i+1=-4,1-)40=[01-)100=(-4910=20, 则2400+0+(1+)00+(1-i)400=4(C4o0+C400+C8o0+…+C88)转化为2400+0+2200+2200= 4(Co0+C400+Co0+…+C48),即4(C4o0+C400+C8o0+…+C408)=24o0+2201,即Co0+C400+C00+ 十C8-架+要即0C数=2e+2,故选项D正确 11.AC【分析】对于选项A,需要分析函数f(x)=x3+1的单调性，结合α1的范围判断数列的变化趋 势；对于选项B,根据递推关系和α<2的条件，通过不等式求解k的取值范围；对于选项CD,结合 反例可判断它们的正误.【详解】对于选项A,己知f(x)=x3+1,对其求导得f(x)=3x2≥0，所以f(x) 在R上单调递增；因为a1∈(-1,0)，则a2=f(a1)=a+1,由于a1∈(-1,0)，所以a∈(-1,0)， 那么a2=a+1∈(0,1).同理a3=f(a2)=a+1∈(1,2)，下证：当n≥3时，a>n-2. 证明：当n=3时，a3∈(1,2)，故a3>3-2成立；设当n=k时，ak>k-2,则ak+1=a2+1>(k-2)+1, 而(k-2)3+1-[(k+1)-2]=(k-2)3+2-k=k3-6k2+11k-6=k(k2-3k+11)-6≥3×11- 6>0,故ak+1>(k+1)-2,由数学归纳法可得an>n-2(n≥3)，因为n→+∞时，n-2→+∞，故an→+ o,故对任意c>0,都存在n∈N*,使得a,>c,故A正确.对于选项B,已知a1=1,a+1=ka2+1,k> 0.因为对任意n∈N*,都有a<2,所以a2=ka好+1=k+1<2,解得k<1,又a3=ka吃+1= k+1)2+1<2,即kk+1)2<1,当k=时a,=+1=<2,a=×)+1-+1=吕>2， 不满足对任意nEN,an<2,所以k的最大值不可能为，故选项B错误。 答案第1页共6页 对于选项C.当a1,=fa）-3-言-1a,=fa)=3-导=5a4=fa)=3-专=号>2， as=f)=3-会=3-吕-器>2，以此类推，对任意a,都存在neN,使得a,>2, 此时集合{nam<2,n∈N}={1,2,有有限个元素，故选项C正确：对于选项D,因为a1=V2,a2=f(a)= V2+sim(22刑，由于2m<2V2m<3m,故sim(2V2m刊>0，所以>a1,这与{a,}为递减数列矛 盾，故选项D错误， 14.[停+o)【详解】对关于x的命盟p:对任意的9ER,总存在xe后+8，m+小，使得smx≤号 其否定为p:存在0eR,x∈店+0，m+小，使得snx>号，若p为真，由six>气，得+2m<x<号+ 3 2kmk∈z,则G+6,m+日e(G+2km+2km,所尖+日>+2km且m+6<+2km,所以m+ 2k<m+0<否+2km,得m<行，由上，若p为真，则m≥牙，即m的取值范围是[，+∞) 15.【分析】(1)根据已知条件求得a,b,c,由此求得轨迹方程和离心率， (2)设出直线AB的方程，通过面积拆分简化三角形面积表达式，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与 换元法，利用基本不等式求解面积最值及对应直线方程 (a=5 【详解】1)由题意知2c=8,2a+2c=18,c2+B2=2,解得8-3，枚轨迹方程为：茶+号=1， (c=4 离心率e=台= (2)由(1)得焦点F1(-4,0),F2(4,0),设直线AB的方程为x=my+4,A(x,y1),B(x2,y2) △ABF1的面积可拆分为△AFF2与△BFF2的面积之和，即S△ABR,=F1F2Hy1-y2=4y1-y2l 将x=m心y+4代入椭圆方程，消去x得（三+）y2+岩y-号=0.由韦达定理得+力=一2sy 72m 81 则y1-y2l=6y1+y2)2-4y12= 72m12 324 90Vm2+1 9mn2+25 9m2+25 9m2+25 9m2+257 故S6An,=3治要令t=Vm2+7(t≥1).则m2-R-1,56Ar, 360t 360t 360 9m2+25 9e-+25-9e+16-9+ 由基本不等式得9+9≥29t.9=24当且仅当9t=即t=时取等号，满足t之1 此时SaB,≤空-15，即△ABF1面积的最大值为15. 由t=翔Vm2+1-手解得m=土？，代入直线方程整理得x土y-4=0, 16.【分析】(1)对递推式两边平方，利用三角恒等式转化，证明数列是公差为1的等差数列，结合首项求 通项； 答案第2页共6页 (2)由tana,=n+2求sinan,将连乘积转化为可累乘的形式，解方程可得m的值. 【详解】(1)已知ana+1=两边平方得：tam2a+1= 由三角恒等式=2+n2=1十 1 cos2an tan2an,代入得：tan2a+1-tam2a=1.因此{tam2a}是公差为1的等差数列，首项tan2a1=tan2=(3)2= 3 3,由等差数列通项公式得：tan2an=3+(n-1)×1=n+2(n∈W*) (2)由an∈(0，)，tan2a,=n+2,得：sinan=tandcos= tanan m+2 √1+tan2an √n+31 因此乘积Πm”1 sinan n+2 m+3 由愿设气=号，两边平方得3=京解得m=240 17.(1)因为BB1⊥B1C1,BB1⊥AB1,AB1∩B1C1=B1,AB1,B1C1C平面AB1C1, 所以BB1⊥平面AB1C1,又BB1C平面BB1C1C,所以平面AB1C1⊥平面BB1C1C: (2)(i)由(1)知平面AB1C11平面BB1C1C,交线为B1C1,过A作A01B1C1于0，连接0B 则A01平面BB1C1C,因此LABO就是AB与平面BB1C1C所成的角， 由BB11AB1,△AB1B为直角三角形，得AB?=AB2-BB?=4-t2;又CC1/BB1,BB11平面AB1C1,所 以CC11平面AB1C1,因为AC1C平面AB1C1,所以CC11AC1,故AC2=AC子+CC,得AC=AC2-t2=3-t2, 且B1C1=BC=V7,当t=1时，AB1=V3,AC1=V2,在△AB1C1中由余弦定理：coS∠B1AC1= 8E-3-名，得sn4BAc,=1-()- 2AB1AC1 △AB1C1面积：S△AB1G-AB1·AC1 sinB1AC1=×V3×V2×=S, 6 Γ2 又SaA,G1=B,C40,得A0=2=5, 因此直线A5与平面所成角0清足：sn日=岩=享-晋 14 (ii)三棱柱侧棱BB11平面AB1C1,因此体积：V=S△481C1·BB1: 在AAB1C1中由余弦定理：cos∠B1AC1=4+ACC=42+3-2- 2AB1AC1 2W4-t2V3-t2 t2 2 V4-t2√3-t2 得sin∠B1AC1= √-7t2+12 √4-t2√3-t2 V4-t2V3-t21 S△AB,G=AB1AC1 sin/B1AC1=×V4-t×V3-t× √-7t2+12 √-7t2+12 √4t2.3-t2 2 所以V=S△AB1C1·BB1= 45型西-亚s 7t2+12-7t2 2 2 2V7 =9当且仅当72=-7+12，即t=时等号成立，因 此体积的最大值为严 答案第3页共6页 18.【详解】(1)因为2b+c-2ac0sC=0,且cosC=+2-E, 2ab 则2b+c=2ac0sC=2a×3+b2-c2=a2+b2-c2 2ab b 即2b2+bc=a2+b2-c2, 得b2+c2-a2=-bc, 则c0sA=b2+c2-a2 2bc 二一2 1 因为AE(O,),所以A=等 (2)由(1)得，A=票，因为LBAD=3LCAD,所以∠CAD=君 所以∠BAD=晋-LCAD=晋-名登 2 法①：如图在△ACD中，由余弦定理可得： CD2=AD2+AC2-2AD·4Cc0s∠DAC=3+16-2V3×4×9=7, 即CD=V7, 在△a中由球定即品品肾品所以mC品 因为0<C<故cosC=V1-sin2C=27' 5 在△A5C中，smB=sin(A+0=sinAcosC+oAsinG-9×点×号-9 7 法②：同解法①CD=√7， 在△ACD中由正弦定理，cD nzA0C,即Y 4 sin∠ADC 所以sin-ADC-号as影A0C-号=- 7 又因为LADC=∠BAD+∠B=B+5即cos(B+月)=-牙，所以simB= 法③：同上CD=V7, 在直角△ABD中，BD=Vc2+3,所以a=Vc2+3+V7, 由(1)问知a2=b2+c2+bc,所以(Wc2+3+V72=c2+4c+16, 即c2+27Vc2+3+10=c2+4c+16,得V7Wc2+3=2c+3,即c2-4c+4=0, 所以c=2,BD=V7sinB=铝=阿 7 法④：由(1)知A=牙，则∠CAD=若 答案第4页共6页 因为S△ABC=S△ABD+S△ACD: 所以×4csin号=×V3c+×4×V3sing 即V5c=c+3,解得c=2, 所以a2=b2+c2+bc=16+4+8=28,即a=27, 在△ABC中，由正弦定理品一品即曾-点 v3 sinB 2 解得sinB==区 7=7 19.1)由定义得A,=xf)≥f0),xED},而f)=f(o)=1,x>-1, 故≥1解得，-1<x≤0，综上，A,=(-1,01 (x>-1 (2)必要性：若函数f(x)为偶函数，D=R,则对任意的x∈R,有f(x)=f(-x), 对上式两边同时求导，可得：f(x)=-f(-x),故函数y=f(x)是奇函数，D=R,若f(x)≤f(-t),则f(x)≤ -f(t),即-f(x)≥f(t),进而有f(-x)≥f(t),即-xEA, 故对任意t∈R,B:={x-x∈A},故必要性成立：不充分性：不妨取f(x)=2x+1,f(x)=2, 此时At=B:=R,满足题设，但函数f(x)=2x+1显然不是偶函数，故充分性不成立， 综上，“对任意t∈R,B:={x-x∈A}”是“y=f(x)为偶函数”的必要不充分条件. (3)由对任意t1,t2∈R且t1<t2,都有At2∈At,可得：对任意t1,t2∈且t1<t2,都有f(x)≥f(t1), 即函数y=f(x)在x∈R上是不减函数，即f()≥0恒成立，由f(x)=e*-a3-2x-1,可得：f()=e ax2-2,h(x)=f'(x)=ex-ax2-2,'(x)=ex-2ax, 则h闭≥0对x∈R恒成立，即2ax≤e对x∈R恒成立，令g)=会x≠0，故g()=, 2x2 故函数g(x)在x∈(-∞，0)和(0,1)是减函数，在(1，+∞)是增函数， 大致图像如图，g(1)= e 2 (i)当x=0时，不等式可化为0≤1，此时a∈R, 答案第5页共6页 (i)当x>0时，不等式可化为a≤=g(), 此时g()∈5+o∞)，故a≤ ()当x<0时，不等式可化为a≥云=9()， 此时g(x)∈(-oo,0),故a≥0： 综上，实数a的取值范围是[o, 答案第6页共6页