第五章 分式与分式方程 单元试卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第五章 分式与分式方程（原卷版） （总分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、式子﹣a，，，，中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 3、分式从左至右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4、下列各分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 5、不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 6、已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：可化为最简分式；乙：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 7、甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（    ） A． B． C． D． 8、若关于的分式方程的解为负数，则的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 9、已知，则代数式的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．前面几个答案都不对 10、芦笙，为西南地区苗、瑶、侗等民族的簧管乐器．发源于中原，后传入少数民族地区，其前身为汉族的竽．在贵州各地少数民族居住的村寨，素有“芦笙之乡”“歌舞之乡”的称誉，是少数民族特别喜爱的一种乐器之一．已知A型芦笙比B型芦笙的单价低20元，用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，设B型芦笙的单价为x元，根据题意列出正确的方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若分式的值为0，则x的值为 ． 12、如果，那么 ． 13、若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是 ． 14、若关于x的分式方程无解，则实数m的值为 ． 15、某项工程，若由甲队单独施工，刚好如期完成；若由乙队单独施工，则要超期3天完成．现由甲、乙两队同时施工2天后，剩下的工程由乙队单独做，刚好如期完成．则规定的工期 是 天． 16、观察下列各式：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，根据其中的规律可得an＝　　（用含n的式子表示）． 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算(1)； (2)； (3)． 18、解分式方程 (1) (2)； 19、先化简，再求值：，从，1，3这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 20、小张同学计算时，是这样做的： 第一步 第二步 第三步 ． (1)小张的做法从第______步开始出现错误，本题最终的正确计算结果为____； (2)计算：． 21、北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线路近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 22、随着人们环保意识的增强，混动汽车也成了广大消费者的宠儿．某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为70元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多元．求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？ 23、阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是_____分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 24、阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 (1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：________；：________；：________； (2)解分式不等式：． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 分式与分式方程（解析版） （总分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、式子﹣a，，，，中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【解析】解：根据分式的概念可得：，，是分式，共有3个 2、当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵当时，分式没有意义， ∴， 解得：． 3、分式从左至右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、；故A选项符合题意； B、等式不总是成立，如：当，时，，，即；故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、根据分式的基本性质，乘以分式分子和分母的整式不能为零，当时，，此时满足此条件，故D选项不符合题意； 4、下列各分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】：A． 【解析】解：A．是最简分式； B．＝＝x﹣y，不符合题意； C．＝＝，不符合题意； D．＝，不符合题意； 5、不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：， 6、已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：可化为最简分式；乙：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】C 【解析】解：， 当时，，此时，原分式无意义， 只有甲正确． 7、甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：甲完成次运算用时秒，故速度为次/秒， 乙完成倍于甲的次数，即次，用时秒，故速度为次/秒， ， 因此，甲平台的运算速度是乙平台的倍， 8、若关于的分式方程的解为负数，则的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】解：解分式方程， 两边同乘得：， 展开化简得：， 移项合并同类项得：． 因为方程的解为负数， 所以， 解得． 又因为分母不能为，即，， 所以且， 解得且． 所以的取值范围是且， 则的最小整数值是． 9、已知，则代数式的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．前面几个答案都不对 【答案】C 【解析】解： 10、芦笙，为西南地区苗、瑶、侗等民族的簧管乐器．发源于中原，后传入少数民族地区，其前身为汉族的竽．在贵州各地少数民族居住的村寨，素有“芦笙之乡”“歌舞之乡”的称誉，是少数民族特别喜爱的一种乐器之一．已知A型芦笙比B型芦笙的单价低20元，用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，设B型芦笙的单价为x元，根据题意列出正确的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设B型芦笙的单价为x元，则A型芦笙的单价为元， 根据题意可得． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】7 【解析】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 12、如果，那么 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13、若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是 ． 【答案】16 【解析】解：将分式中，都扩大为原来2倍后，所得式子为： ， 若分式的值为8，则所得分式的值是． 14、若关于x的分式方程无解，则实数m的值为 ． 【答案】或2 【解析】解：， 方程两边都乘以， 得：， 整理，得：， ∵关于x的分式方程无解， ∴①整式方程无解，即，解得：； 当时，此时方程为，方程不成立，故不是增根； ②当产生增根，当时，此时，解得：； ∴或 2 ． 15、某项工程，若由甲队单独施工，刚好如期完成；若由乙队单独施工，则要超期3天完成．现由甲、乙两队同时施工2天后，剩下的工程由乙队单独做，刚好如期完成．则规定的工期 是 天． 【答案】6 【解析】解：设规定的工期是天， 由题意得， 解这个方程得， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：规定工期是6天． 故答案为：6 16、观察下列各式：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，根据其中的规律可得an＝　　（用含n的式子表示）． 【答案】：． 【解析】解：观察分母的变化为3、5、7，…，2n+1次幂； 分子的变化为：奇数项为n2+1；偶数项为n2﹣1； 依此即可求解．由分析可得an＝． 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算(1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【解析】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 18、解分式方程 (1) (2)； 【答案】(1) (2)原方程无解 【解析】（1）解：， 等式两边同时乘得： 整理得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． （2）解：， 等式两边同时乘得：， 整理得：， 解得：， 经检验是分式方程的增根． ∴原方程无解. 19、先化简，再求值：，从，1，3这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】解： ， 要使原分式有意义，则 ， ∴且， ∴当时，原式． 20、小张同学计算时，是这样做的： 第一步 第二步 第三步 ． (1)小张的做法从第______步开始出现错误，本题最终的正确计算结果为____； (2)计算：． 【答案】(1)二，； (2)． 【解析】（1）解：小张的做法从第二步开始出现错误， 正确解法如下： ， 故答案为：二，； （2）解： ． 21、北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线路近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 【答案】公里/天 【解析】解：设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走公里， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走1000公里。 22、随着人们环保意识的增强，混动汽车也成了广大消费者的宠儿．某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为70元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多元．求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？ 【答案】汽车行驶中每千米用电费用是元，甲、乙两地的距离是100千米 【解析】解：设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为元， 甲、乙两地的距离是千米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：汽车行驶中每千米用电费用是元，甲、乙两地的距离是100千米 23、阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1)真 (2) (3)，，，． 【解析】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真． （2）解：∵， 故答案为：． （3）解：， ∵的值为整数，的值也是整数， 故的值为：，，，， ∴的值为：，，，． 故答案为：，，，． 24、阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 (1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：________；：________；：________； (2)解分式不等式：． 【答案】(1)；或；或； (2) 【解析】（1）解：， 根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：，解②得：无解， 所以原不等式的解集是； ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； ， ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； 故答案为：；或；或； （2）解： ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴①或② 解①得：无解，解②得：， ∴原不等式的解集是． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $