11.1 空间几何体（讲义）高一数学人教B版必修第四册

第十一章 立体几何初步 11.1 空间几何体 知识点一 空间几何体的直观图 1、斜二测画法 斜二测画法的主要步骤如下： （1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系． （2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面． （3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”． （4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 注：直观图和平面图形的面积比为． 2、平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点． 即学即练 1．（25-26高一下·湖北武汉·期中）用斜二测画法得到一个水平放置的四边形的直观图为如图所示的直角梯形，已知，，，四边形的面积为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】设直观图中，由题， 直观图是直角梯形，，所以为等腰直角三角形， 故梯形的高，直角梯形面积 ， 又斜二测画法中，原图形面积与直观图面积满足， 已知原图形面积，代入得， 化简得，即， 斜二测画法中，平行于轴的线段长度不变，轴， 故. 知识点二 构成空间几何体的基本元素 1、空间中点与直线、直线与直线的位置关系：A是点，l，m是直线，α，β是平面. A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 l在α内 l在α外 或 l，m相交于A l，α相交于A α，β相交于l 与平面平行 平面与平面平行 与平面垂直 平面与平面垂直 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，点______________平面；点______________平面；______________平面；______________平面；平面平面______________；平面______________平面______________． 【答案】 【分析】根据点线面的位置关系即可求解. 【详解】根据点线面的位置关系即可知答案为： ；；；；；；. 知识点三 空间几何体的结构 一、多面体的结构特征 1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． （1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱； （2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱； （3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱； （4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱； （5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体； （6）长方体：底面是矩形的直平行六面体； （7）正方体：棱长都相等的长方体． 2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． （1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心； （2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥． 3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． 二、简单旋转体 1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱． 2、圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥． 3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台． 4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）． 三、组合体 由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体． 即学即练 1．（多选）（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选题）下列关于棱柱的说法正确的是（    ） A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行 C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 D．棱柱至少有五个面 【答案】ABD 【详解】对于A，根据棱柱的定义知，棱柱的两个底面相互平行，所以A正确； 对于B，根据棱柱的定义知，棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行，所以B正确； 对于C，由棱柱的定义是这样的；有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱， 显然题中漏掉了“且该多面体的顶点都在这两个面上”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱，如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误； 对于D，棱柱的底面多边形的边数最少的为三角形，即底面多边形边数最少的棱柱为三棱柱，此时三棱柱有五个面，所以棱柱至少有五个面，所以D正确. 知识点四 空间几何体的表面积 表面积公式 柱体：；为直截面周长； 锥体：； 台体：； 球 ： 2、求组合体的表面积：组合体的表面积要注意镂空的部分、叠加的部分的表面积的加减。 即学即练 1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球的半径为，则球的直径为，由题意，圆锥的高， 所以球的体积为， 设圆锥底面半径为，则， 由，即，所以， 又因为圆锥的母线长， 所以， 又，所以. 知识点五 空间几何体的体积 1、祖暅原理：幂势既同，则积不容异。指夹在两个平行平面间的两个几何体，若被平行于这两个平面的任意平面所截，截得的面积总相等，则这两个几何体的体积相等 。‌‌ 2、体积公式 柱体： 锥体： 台体： 球： 3、不规则体的体积： 将不规则的几何体进行切割分成锥体或者台体等能求出体积的图形，将切割后的体积相加。 4、组合体的体积：几个组合体分开求体积相加。 即学即练 1．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为3.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________. 【答案】 【分析】根据题意求圆柱的底面半径及高，代入体积公式求解. 【详解】 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形， 所以，圆柱底面半径为， 正四棱锥的高， 则圆柱的高为， 所以圆柱的体积为. 知识点六 截面问题 1、球的截面 （1）平面与球相交，截面的性质主要有两点：①球的任何截面是圆；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面； （2）这里通常考察角度问题、截面面积、周长等。解决问题核心是构建直角三角形，这样球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径三种之间可以用勾股定理表示出来。 2、正方体的截面 （1）正方体的截面存在以下几种情况：三角形（等边三角形、等腰三角形）、四边形（正方形、矩形、梯形、平行四边形）、五边形、六边形（正方体过各棱中点截得的六边形是面积最大的截面） （2）作截面的方法 1、三点定面法：已知三个不共线的点（多位于棱上），连接其中两点得线段，再延长与棱或面相交，逐步确定截面与各面的交线。 2、平行线法：利用线面平行或面面平行性质，作已知线的平行线，确定截面与对应面的交线。 3、延长交棱法：将截面多边形的一边延长，与几何体的棱或面相交，得到新交点，再连接其他已知点。 即学即练 1．（2025·山东枣庄·二模）如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（    ）    A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】延长BC，与两条棱相交，再连接交点和点A即可得到结果. 【详解】如图，延长BC，与两条棱的延长线分别交于两点，连接， 分别交棱于两点，连接，则五边形及内部，即过点的截面.    故选：C 题型01 斜二测画法 1、横等 (横向不变)：在原图形中平行于x轴的线段，在直观图中依然平行于x'轴，并且长度保持不变。 2、纵半 (纵向减半)：在原图形中平行于y轴的线段，在直观图中要画成平行于y'轴，并且长度变为原来的一半。 3、竖不变 (高度不变)：对于立体图形，原图形中平行于z轴（代表高度）的线段，在直观图中依然平行于z'轴，并且长度保持不变。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为_____．    【答案】9 【分析】根据斜二测画法还原规则，将直观图中相关线段长度按“平行于轴长度不变，平行于轴长度加倍”还原，再通过勾股定理计算出原四边形各边长度，即可求得最长边. 【详解】将直观图还原为原图，如图：    在直观图中，，则， 故在原图中，，， 所以， 而，所以原四边形中最长边的长度为9. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·浙江·期中）如图，用斜二测画法画出的直观图中，的边与轴重合，边平行于轴，长为，长为，则原图中该三角形BC边长为_____． 【答案】6 【分析】根据直观图与原图之间的关系确定的特征，再解三角形求结论. 【详解】由已知满足下列条件，，，， 所以. 2．（25-26高一下·福建漳州·期中）如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 则直观图的面积为 故原图形的面积为. 3．（25-26高一下·浙江·期中）如图，正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜二测画法还原原平面图形，分别求出轴、轴方向线段长度，然后计算周长. 【详解】根据题意，直观图边长为， ，， 还原为平行四边形， ，，所以， 原平面图形的周长是cm.    题型02 空间几何体的基本元素 空间几何体的基本元素是点、线、面，理清点、线、面位置关系。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知直线、和平面、，且、，则“与相交”是“与相交”的（    ） A．充分必要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】C 【分析】根据直线与平面的位置关系判断. 【详解】直线、和平面、，且、， 若与相交，记，由于、， 所以、，则与相交， 所以“与相交”能得到与相交， 但“与相交”，则与可能异面，如图， 平面为，平面为，， 、，， 若与不重合，则直线、为异面直线， 所以“与相交”是“与相交”的充分不必要条件. 故选：C. 变｜式｜巩｜固 1．（2025高三·全国·专题练习）已知点A，B在直线l上，直线平面α，则“直线平面α”是“点A，B到平面α的距离相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合空间中线、面的位置关系，即可得答案. 【详解】如图，取线段AB的中点D，若平面α，则点A，B到平面α的距离相等， 此时直线l与平面α相交，即“点A，B到平面α的距离相等”“直线平面α”，不满足必要性； 若直线平面α，则直线l上的点到平面α的距离都相等，即点A，B到平面α的距离相等， 满足充分性， 故选：A． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在长方体的六个面中，与平面平行的面有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】先明确平面在长方体中的位置，再根据长方体相对面平行的性质，找出与它相对的面. 【详解】根据长方体的结构性质，长方体中相对的两个不同平面互相平行，共三组平行对面， 平面是长方体的一个侧面，仅它的对面与它平行， 余四个面都和平面相交（存在公共交线），不平行. 符合要求的面只有1个. 3．（25-26高二上·上海·期中）已知直线与平面相交，则下列命题中，正确的是（    ） A．平面内的所有直线均与直线异面； B．平面内存在与直线垂直的直线； C．平面内存在直线与直线平行； D．平面内所有直线均与直线相交. 【答案】B 【分析】根据直线与平面的位置关系，逐项验证即可求解. 【详解】由题意有：直线与平面相交，则平面内的直线与直线的关系有：相交或异面 因此内存在与直线垂直的直线，即B正确. 故选：B. 题型03 空间几何体的表面积 1、对规则的柱体、锥体、台体的表面积，直接使用公式。 2、对不规则的图形，则可以对表面积进行分割拆解，对各处面积求解，然后求和。 注意镂空部分、叠加部分面积的加减。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·上海·期末）若一个三棱锥的所有棱的长度构成的集合为，设该三棱锥的表面积的所有可能取值构成的集合为，则集合的元素个数为__________． 【答案】 【分析】根据棱长中有几个棱长为3进行列举即可，并求出面积比较，得到总数. 【详解】首先考虑有2和3能够构成什么样的三角形? ，其中表示三条边分别为2，2，3. 面积分别为 当三棱锥所有棱长中只有1个，构成三棱锥的四个面的三角形， 2个 ，2个.面积为 当三棱锥所有棱长中只有2个3，构成三棱锥的四个面的三角形有两种情况 1个，2个，1个，面积为 当三棱锥所有棱长中只有3个3，构成三棱锥的四个面的三角形 ①1个，3个，面积为 ②1个，3个，面积为 ③2个，2个，面积为 当三棱锥所有棱长中只有4个3，构成三棱锥的四个面的三角形 ①1个，2个，1个，面积为 ②4个，面积为 当三棱锥所有棱长中只有5个3，构成三棱锥的四个面的三角形 2个，2个，面积为 一共8个 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 【答案】 【分析】利用四棱锥侧面积和表面积公式求解即可. 【详解】正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成． ，， ∴斜高． 因此， ． 故答案为：； 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，中的三边长分别是，，，则以边所在直线为轴，将此三角形旋转一周所得旋转体的表面积为______________． 【答案】 【分析】因为为直角三角形，由题意可知得到的旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径，母线长分别是3，4，求出两圆锥的侧面积之和即可. 【详解】在中，作交于点，如下图： 又，，，则， ，． 那么以的边所在直线为轴，将此三角形旋转一周所得到的旋转体是两个同底的圆锥， 且底面半径，母线长分别是3，4， 故答案为：. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（　　） A．225 cm2 B．1000 cm2 C．1800 cm2 D．900＋2000 cm2 【答案】C 【分析】利用八面体的结构特征，求出每个面的面积即可求得表面积. 【详解】由八面体的每一个面都是正三角形，且四边形ABCD是边长为的正方形， 因此每个面的面积为（）， 所以这个八面体的表面积（）. 故选：C 题型04 柱体的体积 直接使用体积公式求体积，柱体： 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·湖北武汉·期中）玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长3 cm，外径长4 cm，筒高6 cm，中部是棱长为4 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________； 【答案】 【分析】根据几何体的特点，结合长方体，圆柱体体积的计算公式，求解即可. 【详解】圆筒体积为底面半径2cm，高度为6cm的圆柱体的体积减去底面半径为cm，高度为6cm的圆柱体的体积， 故其体积； 中间部分的体积为棱长为4 cm的正方体的体积减去底面半径为2cm，高为4 cm的圆柱体的体积， 故其体积； 故玉琮的体积. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·陕西渭南·期中）将一根足够长的圆柱体木棒，沿着截面重新切割，已知底面圆的半径为，，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用一个相同的几何体倒置放在这个几何体上方，得到一个圆柱，再根据圆柱的体积公式求解即可. 【详解】用一个相同的几何体倒置放在这个几何体上方， 得到一个底面圆的半径为，高为的圆柱， 所以所求几何体的体积. 2．（2026·河北张家口·二模）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周与正方形的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径． 【详解】设圆柱的上底面圆周与分别交于点中点为交于点， 因为四边形是边长为2的正方形，所以， 由，得. 由题意，圆柱的底面圆与正方形的四边都相切，故其半径. 又， 所以，圆柱的高， 所以圆柱的体积为. 3．（2026·安徽滁州·一模）若某正三棱柱的表面积是侧面积的两倍，且底面的边长为2，则该正三棱柱的体积为____________． 【答案】 【分析】棱柱的高为，先求出侧面积及表面积，利用题干给出的条件解出高，最后用体积公式求解体积. 【详解】设正三棱柱的高为，底面正三角形边长， 侧面积：， 底面积：， 两个底面的总面积为， 表面积： ， 依题意得：， 代入得： 化简求解：， 正三棱柱体积：. 题型05 锥体的体积 直接使用体积公式求体积，锥体： 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长列方程求出，进而求出高，利用圆锥体积公式即可求解. 【详解】设圆锥底面圆的半径为， 因为圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为， 所以，解得， 所以圆锥的高为， 所以此圆锥的体积为. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三下·广东·月考）已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】球被平面所截得的截面面积为，可得截面圆的半径为，正方形的边长为， 设球的半径为，则到平面的距离为， ，解得， 所以四棱锥的体积为. 2．（25-26高一下·广西河池·月考）如图，正方体的棱长为，，分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为_________________． 【答案】 【分析】借助等体积法及三棱锥体积公式计算即可得. 【详解】， 则. 3．（2026·广东江门·二模）正三棱柱的棱长均为，，分别是棱，的中点，过点，，的平面分别交直线，于点，，则三棱柱与三棱锥公共部分的体积为______． 【答案】/ 【分析】先证明，再确定所求几何体可通过三棱台截去三棱锥得到，结合台体和锥体体积公式求结论. 【详解】如图，连接并延长，与的延长线交于点，连接， 延长与的延长线交于点，连接，交于点，连接，． 因为，，， 所以，所以．， 同理可得． 三棱柱和三棱锥的公共部分为几何体， 其体积为三棱台的体积和三棱锥的体积之差， 即． 题型06 台体的体积 直接使用体积公式求体积，台体： 典｜例｜精｜析 1．（2026高一·全国·专题练习）已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是_____. 【答案】 【分析】根据圆台的上下底面积可计算出其上下底面的半径与周长，根据周长之比计算出展开图的扇形半径之比，根据扇环的面积求出母线l的长度，由两个半径、高、母线构成的直角梯形中求出圆台的高，代入圆台的体积公式即可得出答案． 【详解】依题意知圆台上底面半径为 ，下底面半径为，设圆台的高为h， 如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长， 大扇形弧长， 由知道 ， 则圆台的侧面积， 所以，所以 ， 所以高 ， 所以圆台的体积 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·陕西·期中）在正三棱台中，已知，并且该正三棱台的高为，则此正三棱台的体积为__________． 【答案】 【分析】根据棱台的体积公式即可求解. 【详解】上底边长，， 下底边长，， 所以. 2．（25-26高三下·湖南邵阳·月考）若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________. 【答案】 【分析】由圆台侧面积公式可得母线长，再求出圆台的高，利用圆台的体积求解即可. 【详解】设圆台母线长为，则，所以，所以圆台的高为， 所以圆台的体积为. 3．（湖北孝感市2026届高三第二次统一考试数学试题）设一个圆台的侧面积、体积分别为、，将它的高扩大到原来的2倍（上、下底面圆的半径均不变），得到的圆台的侧面积、体积分别为、，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用圆台的侧面积和体积公式判断. 【详解】设原圆台的底面半径分别为、，高为，母线长为， 则，， 扩大后的圆台母线长为，， 可得； 由台体体积公式可知，上、下底面的面积不变，高扩大到原来的2倍，有． 题型07 球的表面积与体积 球的表面积 ： 球的体积： 典｜例｜精｜析 1．（2026·新疆·一模）若正方体内部有两个球，其中球与正方体的三个面相切，球与正方体的六个面均相切，球与球也相切，设球、球的表面积分别为，则___________． 【答案】 【分析】利用正方体的性质，作出辅助线，可利用三角形相似来求球的半径，从而可求面积比. 【详解】 设正方体的边长为，由球与正方体的六个面均相切，可知球的半径为1， 由球与正方体的三个面相切且与球也相切，设球的半径为， 如图可知，，，所以， 根据，则有，解得：， 所以， 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1．（2026·安徽合肥·二模）已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该圆柱高为，底面半径为，则可得、间关系，再表示出圆柱的侧面积后，利用二次函数性质可得取最大时的、，从而可求出此时该球的半径，即可得其体积. 【详解】设该圆柱高为，底面半径为，则，即有， 圆柱的侧面积， 故当且仅当、时，取最大， 此时圆柱的外接球半径为， 则该球的体积. 2．（25-26高一下·福建漳州·期中）已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出圆锥的底面半径，结合圆锥底面半径、母线及高的关系与侧面面积计算即可得其母线长，再结合球的体积计算公式计算即可得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，则球的半径为圆锥的母线长， 由圆锥的侧面展开图是一个半圆，则有，即， 即有，解得，则， 故球的体积为. 3．（25-26高一下·吉林长春·月考）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积与体积公式求解即可. 【详解】因为，，则，故. 又平面，，可将三棱锥补成长方体，如图： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长. 设三棱锥的外接球半径为， 则，故. 因此该球的表面积为， 体积为. 题型08 祖暅原理与球缺的体积 祖暅原理的应用 典｜例｜精｜析 1．（2026·吉林白山·模拟预测）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（   ）. A．7 B．10 C．7π D．10π 【答案】A 【分析】利用祖暅原理将不规则几何体体积转化为正四棱台体积. 【详解】正四棱台的上底面边长为，故上底面积； 下底面边长为，故下底面积，棱台高 所以. 变｜式｜巩｜固 1．（2026·重庆·二模）球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得球的半径以及平面截外接球所得圆的半径，然后求出球心与截面圆的圆心间距离，再求出球缺的高，最后代入公式求解结果. 【详解】设外接球圆心为，平面截外接球所得圆圆心为. 由题意正方体外接球的半径，平面截外接球所得圆的半径为. 到的距离，则球缺的高. 所以． 2．（25-26高三上·河南周口·期末）一个球被平面截下的一部分（不大于半球的部分）叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高，则棱长为3的正四面体的一个侧面截其外接球所得的球缺的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正四面体的结构特征求出其外接球半径，球缺的高，再代入求出体积. 【详解】如图，记正四面体的外接球球心为，半径为，外接圆圆心为， 则平面，，， ，解得，，， 所以球缺的体积为. 故选：B 3．（25-26高一下·安徽合肥·期中）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体，设截面与下底面的距离为． (1)探究：平面所截得的两个截面（阴影部分）面积的关系，并说明理由；问：半球的体积和新几何体的体积的关系． (2)如图，平面上方与球体之间的部分叫球冠，若，请你利用祖暅原理求球冠的体积． 【答案】(1)两个截面面积相等；半球的体积与新几何体的体积相等，均为. (2) 【分析】（1）分别求平面截半球所得圆面积，以及截圆柱挖去圆锥后的环形面积，比较两者即可，再由祖暅原理得到两个几何体体积相等. （2）把球冠看作半球中位于平面上方的部分，根据祖暅原理转化为新几何体中对应部分的体积，再用柱体体积减去圆台部分体积求解. 【详解】（1）设平面与下底面的距离为，其中. 平面截半球所得圆的半径为，所以截面面积为. 圆锥的顶点在下底面圆心处，平面截圆锥所得圆的半径为， 所以新几何体被平面所截得的阴影部分面积为. 故两个截面的面积相等.由祖暅原理可知，半球的体积与新几何体的体积相等. 又新几何体的体积为，所以半球的体积为. （2）因为，所以平面到球心的距离为，球冠的高为. 由祖暅原理，球冠体积等于新几何体中距下底面高度从到之间的部分的体积. 这部分体积等于高为、底面半径为的圆柱体积减去圆锥中对应的圆台体积. 而圆锥中高度从到的部分是高为、底面半径为的小圆锥， 所以圆锥中高度从到的部分体积为. 因此球冠体积为. 题型09 截面问题 1、截面的性质主要有两点：①球的任何截面是圆；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；关键在于求球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径。 2、对于需要补全截面，根据两个原则，1、延长相交 2、做平行线 典｜例｜精｜析 1．（25-26高三·全国·一轮复习）正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 【答案】C 【详解】解析  连结并延长交的延长线于H，连结DH， 因为M是的中点，所以直线DH经过点M， 连接MN，则，则等腰梯形， 即为过、M、N三点的正方体的截面， 故选：C. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三下·云南昆明·月考）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定四点共面，进而计算结果即可. 【详解】取线段的中点为，的中点为，，如图， 因为正方体中，分别是棱的中点， 所以，所以四点共面. 由正方体的棱长为2，可得，， 所得截面周长为， 故选：B. 2．（湖北襄阳市2026届高三下学期4月统一调研测试数学试题）已知正八面体的中心为点O，各棱长均为，已知，，过点作该正八面体的截面，所得截面面积为______． 【答案】/ 【分析】通过平面与平面相交相关公理，平行相关定理找到设过平面与正八面体各面的交线，从而找到截面，再根据截面的性质计算面积. 【详解】不妨设经过的平面为平面， 如图所示，连接， 连接并延长交于点，连接并延长交BC于点，连接，则平面， 分别取、的中点、，连接,， 那么则平面平面， 作交AB于点,那么平面, 用同样的方法可以在上找到点平面， 顺次连接可得六边形就是所求截面， , ,, ,, 则 易得四边形为矩形， 则. 3．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 【答案】 【分析】取的中点的中点的中点，连接，由面面平行的性质定理，即得截面多边形，分析可得多边形为正六边形，求出边长后计算面积即可. 【详解】 取的中点的中点的中点，连接， 则正六边形为对应的截面，又正六边形的边长为， 所以截面的面积为：. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 立体几何初步 11.1 空间几何体 知识点一 空间几何体的直观图 1、斜二测画法 斜二测画法的主要步骤如下： （1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系． （2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面． （3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”． （4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 注：直观图和平面图形的面积比为． 2、平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点． 即学即练 1．（25-26高一下·湖北武汉·期中）用斜二测画法得到一个水平放置的四边形的直观图为如图所示的直角梯形，已知，，，四边形的面积为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 知识点二 构成空间几何体的基本元素 1、空间中点与直线、直线与直线的位置关系：A是点，l，m是直线，α，β是平面. A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 l在α内 l在α外 或 l，m相交于A l，α相交于A α，β相交于l 与平面平行 平面与平面平行 与平面垂直 平面与平面垂直 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，点______________平面；点______________平面；______________平面；______________平面；平面平面______________；平面______________平面______________． 知识点三 空间几何体的结构 一、多面体的结构特征 1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． （1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱； （2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱； （3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱； （4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱； （5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体； （6）长方体：底面是矩形的直平行六面体； （7）正方体：棱长都相等的长方体． 2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． （1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心； （2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥． 3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． 二、简单旋转体 1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱． 2、圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥． 3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台． 4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）． 三、组合体 由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体． 即学即练 1．（多选）（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选题）下列关于棱柱的说法正确的是（    ） A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行 C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 D．棱柱至少有五个面 知识点四 空间几何体的表面积 表面积公式 柱体：；为直截面周长； 锥体：； 台体：； 球 ： 2、求组合体的表面积：组合体的表面积要注意镂空的部分、叠加的部分的表面积的加减。 即学即练 1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 知识点五 空间几何体的体积 1、祖暅原理：幂势既同，则积不容异。指夹在两个平行平面间的两个几何体，若被平行于这两个平面的任意平面所截，截得的面积总相等，则这两个几何体的体积相等 。‌‌ 2、体积公式 柱体： 锥体： 台体： 球： 3、不规则体的体积： 将不规则的几何体进行切割分成锥体或者台体等能求出体积的图形，将切割后的体积相加。 4、组合体的体积：几个组合体分开求体积相加。 即学即练 1．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为3.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________. 知识点六 截面问题 1、球的截面 （1）平面与球相交，截面的性质主要有两点：①球的任何截面是圆；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面； （2）这里通常考察角度问题、截面面积、周长等。解决问题核心是构建直角三角形，这样球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径三种之间可以用勾股定理表示出来。 2、正方体的截面 （1）正方体的截面存在以下几种情况：三角形（等边三角形、等腰三角形）、四边形（正方形、矩形、梯形、平行四边形）、五边形、六边形（正方体过各棱中点截得的六边形是面积最大的截面） （2）作截面的方法 1、三点定面法：已知三个不共线的点（多位于棱上），连接其中两点得线段，再延长与棱或面相交，逐步确定截面与各面的交线。 2、平行线法：利用线面平行或面面平行性质，作已知线的平行线，确定截面与对应面的交线。 3、延长交棱法：将截面多边形的一边延长，与几何体的棱或面相交，得到新交点，再连接其他已知点。 即学即练 1．（2025·山东枣庄·二模）如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（    ）    A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 题型01 斜二测画法 1、横等 (横向不变)：在原图形中平行于x轴的线段，在直观图中依然平行于x'轴，并且长度保持不变。 2、纵半 (纵向减半)：在原图形中平行于y轴的线段，在直观图中要画成平行于y'轴，并且长度变为原来的一半。 3、竖不变 (高度不变)：对于立体图形，原图形中平行于z轴（代表高度）的线段，在直观图中依然平行于z'轴，并且长度保持不变。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为_____．    变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·浙江·期中）如图，用斜二测画法画出的直观图中，的边与轴重合，边平行于轴，长为，长为，则原图中该三角形BC边长为_____． 2．（25-26高一下·福建漳州·期中）如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 3．（25-26高一下·浙江·期中）如图，正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（   ）    A． B． C． D． 题型02 空间几何体的基本元素 空间几何体的基本元素是点、线、面，理清点、线、面位置关系。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知直线、和平面、，且、，则“与相交”是“与相交”的（    ） A．充分必要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 变｜式｜巩｜固 1．（2025高三·全国·专题练习）已知点A，B在直线l上，直线平面α，则“直线平面α”是“点A，B到平面α的距离相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在长方体的六个面中，与平面平行的面有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26高二上·上海·期中）已知直线与平面相交，则下列命题中，正确的是（    ） A．平面内的所有直线均与直线异面； B．平面内存在与直线垂直的直线； C．平面内存在直线与直线平行； D．平面内所有直线均与直线相交. 题型03 空间几何体的表面积 1、对规则的柱体、锥体、台体的表面积，直接使用公式。 2、对不规则的图形，则可以对表面积进行分割拆解，对各处面积求解，然后求和。 注意镂空部分、叠加部分面积的加减。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·上海·期末）若一个三棱锥的所有棱的长度构成的集合为，设该三棱锥的表面积的所有可能取值构成的集合为，则集合的元素个数为__________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，中的三边长分别是，，，则以边所在直线为轴，将此三角形旋转一周所得旋转体的表面积为______________． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（　　） A．225 cm2 B．1000 cm2 C．1800 cm2 D．900＋2000 cm2 题型04 柱体的体积 直接使用体积公式求体积，柱体： 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·湖北武汉·期中）玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长3 cm，外径长4 cm，筒高6 cm，中部是棱长为4 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________； 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·陕西渭南·期中）将一根足够长的圆柱体木棒，沿着截面重新切割，已知底面圆的半径为，，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北张家口·二模）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周与正方形的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽滁州·一模）若某正三棱柱的表面积是侧面积的两倍，且底面的边长为2，则该正三棱柱的体积为____________． 题型05 锥体的体积 直接使用体积公式求体积，锥体： 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三下·广东·月考）已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广西河池·月考）如图，正方体的棱长为，，分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为_________________． 3．（2026·广东江门·二模）正三棱柱的棱长均为，，分别是棱，的中点，过点，，的平面分别交直线，于点，，则三棱柱与三棱锥公共部分的体积为______． 题型06 台体的体积 直接使用体积公式求体积，台体： 典｜例｜精｜析 1．（2026高一·全国·专题练习）已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是_____. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·陕西·期中）在正三棱台中，已知，并且该正三棱台的高为，则此正三棱台的体积为__________． 2．（25-26高三下·湖南邵阳·月考）若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________. 3．（湖北孝感市2026届高三第二次统一考试数学试题）设一个圆台的侧面积、体积分别为、，将它的高扩大到原来的2倍（上、下底面圆的半径均不变），得到的圆台的侧面积、体积分别为、，则（   ） A．， B．， C．， D．， 题型07 球的表面积与体积 球的表面积 ： 球的体积： 典｜例｜精｜析 1．（2026·新疆·一模）若正方体内部有两个球，其中球与正方体的三个面相切，球与正方体的六个面均相切，球与球也相切，设球、球的表面积分别为，则___________． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·安徽合肥·二模）已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·福建漳州·期中）已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的体积为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·吉林长春·月考）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型08 祖暅原理与球缺的体积 祖暅原理的应用 典｜例｜精｜析 1．（2026·吉林白山·模拟预测）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（   ）. A．7 B．10 C．7π D．10π 变｜式｜巩｜固 1．（2026·重庆·二模）球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河南周口·期末）一个球被平面截下的一部分（不大于半球的部分）叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高，则棱长为3的正四面体的一个侧面截其外接球所得的球缺的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·安徽合肥·期中）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体，设截面与下底面的距离为． (1)探究：平面所截得的两个截面（阴影部分）面积的关系，并说明理由；问：半球的体积和新几何体的体积的关系． (2)如图，平面上方与球体之间的部分叫球冠，若，请你利用祖暅原理求球冠的体积． 题型09 截面问题 1、截面的性质主要有两点：①球的任何截面是圆；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；关键在于求球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径。 2、对于需要补全截面，根据两个原则，1、延长相交 2、做平行线 典｜例｜精｜析 1．（25-26高三·全国·一轮复习）正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三下·云南昆明·月考）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 2．（湖北襄阳市2026届高三下学期4月统一调研测试数学试题）已知正八面体的中心为点O，各棱长均为，已知，，过点作该正八面体的截面，所得截面面积为______． 3．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $