安徽池州市2025-2026学年高二下学期4月期中质量检测数学试卷

2024级高二4月期 02,中h:A1 数学（人教 饰水好 满分150分，时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1. 的展开式中，常数项为() A.-20 B.20 C.-160 D.160 2.已知函数f(x)的导函数'(x)的图象如图所示，则下列说法一定正确的是() A.函数f(x)在x=1处取得极大值 B.函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增{)善：1 C.函数f(x)有两个零点 D.当x∈[-1,3]时，函数f(x)的最大值是f(-1) ::至发实 3.记Sn为等差数列{a}的前n项和，若S=S。-6,a4=-1,则a。三(，) A.5 B.2 C.0 D.-2 4.已知函数f(x)=(x+a)'(x+1)在x=1处有极小值，则a=（) A.-5 B.-1 C.-1或-5 D.-1或5 5.有7个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为( A.144 B.72 C.48 D.36 6.我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用长×宽”表示)，其中长与宽之比均为3：2. 规格 一号 二号 三号 四号 五号 尺寸（单位：cm) 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64 根据上表，可以判断五种规格国旗的( A.周长构成等差数列 B.周长构成等比数列 C.面积构成等差数列 D.面积构成等比数列 7. 现将数列、立体几何、解析几何、导数、概率与统计这五道解答题排序，数列必须在第一道或者 第二道位置，解析几何不能在第一道，则不同的题目分配方式有( A.30种 B.36种 C.42种 D.48种 2024级高二4月期中质量检测·数学（人教A版）第1页共4页 期中质量检测 定安抑数空文试代可共，小己共密本：密线 (1)之： )一（以，出( 傲A版)A ,浴满1「八改以老洗，：， 如定牧，次{x2一(79>（1一(114>>0)0 钟。请在答题卡上作答。 8.若实数x,y满足e+n(-x)=（y+1)2,下列说法正确的是（) A.x存在最小值B.x存在最大值C.y存在最小值 D.y存在最大值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列求导运算正确的是（) A.(e2)=-e2- B.(tanx)'=1 COs?x c可 D.(xlogzx)=3x2log2x+x2In2 10.已知(3x-1)”=a。+a,x+a,x2+…+a,x”,且第5项与第8项的二项式系数相等，则下列说法 正确的有( A.n=11 B.a1+a2+.+an-2 C.a2=495 4+号+++品-) 11.已知数列{an},给出以下定义：对于任意n∈N,都有an+a2>2an+1,则称数列{an}为“友 好数列”，下列说法正确的有（) A.若数列{an}满足an=3-,且前n项和为Sn,则数列{Sn}为“友好数列 B.若数列{a}满足a=1,a2=2,且数列{a}为“友好数列，则a6>20260气 C.若数列{an}为“友好数列”，an∈Z且a=a45=2026,则数列{an}没有最小项 东： D.若数列{a}为友好数列”，则对于任意m∈N,当1之m2026时，总有中 am-4<a226-am成立 处克 m-12026-m 餐：字装· 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=20,2a=a1o,则数列 的前2026项和为 13.小唐和小陈去旅游，他们打算从A、B、C、D等8个景点中各自随机选择4个，若他们不同时选 择A景点，且有且只有两个景点是相同的，则选择方法共有 种.（用数字作答) 知关于x的不等式一+2>x+号有且仅有2个整数解，则实数m的取值范匝 2024级高二4月期中质量检测·数学（人教版）第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。膏 15.(13分) 已知函数f(x)=c*,g(x)=ax2 (1)当a=-2时，求函数h(x)=f(x)+g(x)在[1,2]上的最值； (2)若对任意的0<：<x2,f(x)-f(x)<g(x)-g(x2)恒成立，求实数a的取值范围 是哈诗小 16.（15分) 已知数羽a,]的首项4-分且两足a=7中aaeN) (1)求证：数列 是等差数列：无 (2)记6，=-2斗，求6，}的前n项和S an 17.(15分) 用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的数. (1)求可组成多少个四位数； (2)将（1)中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第101个数； (3)求可组成多少个偶数互不相邻的六位数. 注：结果均用数字作答 4 2024级高二4月期中质量检测·数学（人教A版）第3页共4页 18.（17分) 已知(2+a≥4，neN)的展开式中，第4项与第5项的系数之比为8：7 (1)求n的值： (2)求展开式中二项式系数最大的项： （3)求展开式中系数最大的项. 中度个@小口代少代管小8先密本 : 19.(17分) 已知函数f(x)=(nx-2)x2-mx(x>0). (1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若f(x)的两个极值点分别为x和x2,且x<x2 (i)求实数m的取值范围； t-95 (i)求证：2-x<m+2e. ·=。换对学的匹}（四，》一（六 发苦会公人边个法 801 ”家为》国明路中，3 部火1 市心学深 性 裙小，0. 2024级高二4月期中质量检测·数学（人教A版）第4页共4页 A2024级高二4月期中质量检测 数学（人教A版）参考答案A 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B B A C B 1c由民开试的通项得=C气名到 =(-2)Cx6-2k,令6-2k=0,得k=3,“常数项为 (-2)3C8=-8×20=-160.故选C. 2.D由图知，当x<-2时，f(x)>0;当x>-2时，f'(x)<0,所以函数f(x)在(-∞，-2)上单调 递增，在(-2，+∞)上单调递减，所以f(x)在x=-2处取得极大值，无极小值，故A错误，B错误； 由函数f(x)在区间[-1,3]上单调递减，得当x∈[-1,3]时，函数f(x)的最大值是f(-1),故D 正确；由图无法确定函数f(x)的零点个数.故选D. 3.A由题意得，S。-S3=6,即a4+a+a6=3a=6,所以a=2,又a4=-1,则公差d=a-a4=3, 所以a6=a+d=5.故选A. 4.B由题意得，f'(x)=2(x+a)(x+1)+(x+a)=(x+a(3x+a+2),则 f'()=(1+a)(5+a=0,解得a=-1或a=-5.当a=-5时，f'(x)=(x-5)(3x-3),则 f(x)在(-∞，1)和(5，+∞）上单调递增，在(1,5)上单调递减，此时f(x)在x=1处取得极大值， 不符合微意：当a=-1时，了)=(-(3x+,则f)在(%)和(L,)上单调递增， 在（行上单调迷减。此时f心在x=1处取得极小值，符合愿意放选日 5.B由题意，先让3人坐定，有A种方法，这样会形成4个空隙（包括两端，相邻的两个空位看作一 个座位，再将3个座位插入4个空隙中，有CC?种方法，因此恰有两个空位相邻的不同坐法的种 数为ACC=72.故选B 6.A由题意得五种国旗通用规格的具体情况如下： 规格 一号 二号 三号 四号 五号 尺寸 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64 周长 960 800 640 480 320 面积 55296 38400 24576 13824 6144 由960-800=800-640=…=480-320，得周长构成等差数列；由960≠800 得周长不构 800640 成等比数列：由55296-38400≠38400-24576，得面积不构成等差数列：由5526≠38400 3840024576 得面积不构成等比数列.故选A. 7.C数列排在第一道（此时解析几何必然不在第一道)的排序方法有A4=24种；数列排第二道时，第 一道有A,种排法，第三、四、五道有A种，则排序方法有3×6=18种.综上，不同的题目分配方 式有24+18=42种.故选C 2024级高二4月期中质量检测·数学（人教A版)参考答案第1页共6页 A 8B令f)=e+ln(-x),x<0,则f=e'+=e+1,令h(=xe+l,x<0,则 h(x)=(x+1)e,则函数h(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-l,0)上单调递增，所以 h(x)≥h(-=1->0,因为x<0,所以f)=hD<0,则函数fx)在(-∞，0)上单调递 减，当x→-∞时，f(x)→+∞，当x→0时，f(x)→-∞，则函数f(x)的值域为R,而(y+1) 的值域为[0，+∞)，故y不存在最小值，也不存在最大值.因为f(-1)=>0, f八日=子-1<0，函数在(，0)上单调递减，所以存在名e(-1日 使得f(x)=0, 即当x<时，f(x)>0,当x<x<0时，f(x)<0,因为e*+ln(-x)=(y+1)≥0，所以要 使关于y的方程e*+n(-x)=(y+1)有实数解，必须满足e+ln(-x)≥0，得x≤，故x存 在最大值x。,不存在最小值.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABC AC ABD 9.ABC (e2-x)=e2-(2-x)'=-e2-,故A正确； (tanx)= sinx ((sinx)cosx-(cosx/sinx=cos2x+sin2x=1,故B正确； cosx cos2x cos2x cos2x 可-2故c正确，(o)=-(lg+r0ogj- 1 3g+d23ex+后收D,放盖Ac 10.AC由题意得，C4=C?,则n=11,故A正确；令x=0,得a。=(0-1)”=-1,令x=1,得 a+a+a2+…+a,=(3-1)"=2,则a+a2+…+an=21+1,故B错误；(3x-1)”展 开式的通项为T=C1(3x)(-1)',则a2=C9·32.(-1)°=-495，故C正确；由 (Bx-r=4+ax+a2++a,得6-r-a=a+a,x++a,令x=分 得41+a2x+…十anx” +2,故D错误.故选AC 1.ABD由a,=3,得S,=11--3”-1,对于任意neN, 1-32 8+8-25-321)1-2”)1=23”>0,放8+5>28，所以数别 2 2 2 {Sn}是“友好数列”，故A正确；因为数列{an}为“友好数列”，所以对于任意n∈N,都有 an+an+2>2an+1,即a+2-al>a1-an,又a1=1，a3=2,则a2-a1=1,即 am+2-am+1>a+1-an>…>a2-41=1,所以 2024级高二4月期中质量检测·数学（人教A版)参考答案第2页共6页 A a026=(a026-a2s)+(a205-a324)+…+(a,-4）+4>2026,故B正确：因为数列{a,} 为“友好数列”，an∈Z,所以对于任意n∈N,都有an+an+2>2an+1,即 a2-an1>a1-an,设bn=an+1-a,则数列{b.}为单调递增数列，且bn∈Z,所以 b-1+bn-2+…+b=(an-an-i）+(an1-anm-2)+…+(a2-a）=an-a,因为 a1=a345=2026,所以b44+b43+…+b=a345-a1=0,所以存在m∈N,2≤m≤344时， bm-1<0,bm≥0，当n≤m-1时，a+1-an<0,数列{an}为递减数列；当n≥m时， a+1-an≥0，数列{a}为递增数列.因此，数列{an}存在最小项为am,故C错误； 因为{an}为友好数列”，所以对任意n∈N,都有an+a+2>2an1,即an2-01>a1-an, 所以对于任意m∈N,当1<m<2026时，总有a2026-am=(a2026-a22s)+(a225-a2024) ++(a1-a)>(2026-m(aa1-a）,所以g26二a>a1-an,又 2026-m am-a1=(am-am-i)+(am-1-am-2)+…+(a2-a)<(m-1)(am-am-i),所以 乙-<a-an1,由a。-an1<a1-an,得.-<-0，故D正确.故选ABD. m-1 m-12026-m 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2026 12. 2027 S4=20 设公差为d,由 ,得 +4x3d=20 4a,+2 ,解得41=d=2, 2a=a10 2(a,+4d)=a+9d 1-111 8.=2n+n2x2=na+,心na+0日n,故数则 1 S 的前2026项和为 2 1 1 2026 =1 20272027 13.1890 若仅小唐选了A景点，有C2C,C?=30种选法；若仅小陈选了A景点，同理也有CCC?=630种选 法；若小唐和小陈都没有选A景点，则有CCC=630种选法.综上，共有1890种选法. e3+2 .1,3 由题意得，mx>0,不等式化整理得m+2>x+2 e ,即m>e+2-2e.当x<0时，m<0, 且m<c+2-2g,令)=e+22g,所f=e6-2x+2-2 xx xx g(x)=e*(x2-2x+2）-2,则g(x)=ex2>0,所以g(x)在(-∞，0)上单调递增，所以 g(x)<g(0)=0,即f'(x)<0,所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，当x→-∞，f(x)→0， 此时不等式有无穷多个整数解，不符合题意；当x>0时，m>0,且m>e+2_2e,令 =8+2-2空，所r侧-2x+2到-2.0g=K-2+22.周 xx 2024级高二4月期中质量检测·数学（人教A版)参考答案第3页共6页 A g(x)=ex2>0,所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0,即f'(x)>0,所以 f因在0)上单湖递路，因为W=2-ec0.f2=1,f3)=于2，m>0,且不等式 m>e+2_2e有且仅有2个整数解，则这2个整数解为12，所以f2)<m≤f(⊙)，即 xx 1<mc+ 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) (1)当a=-2时，h(x)=f(x)+g(x)=e-2x2，则h(x)=e-4x, 令F(x)=h(x)=e-4x,则F(x)=e-4,由F(x)=0得x=ln4,…(2分) 所以F(x)在[1，ln4]上单调递减，在[1n4,2]上单调递增， 因为F(I)=e-4<0,F(2)=e2-8<0,所以F(x)<0在[1,2]上恒成立， 即h(x)<0在[1,2]上恒成立，所以h(x)在[1,2]上单调递减，…(5分) 所以h(x)在[1,2上的最大值为h(I)=e-2,最小值为h(2)=e2-8.…(6分) (2)由题意得，f(x)-f(x2)<8(x)-g(x),即f(x)-g(x)<f(x)-g(), t(x)=f(x)-g(x)=e*-ax2, 由0<x1<x2,得(x)在(0，+∞)上单调递增，…(8分) 则1()=e-2m≥0在(0，+o）上恒成立，即a≤C在(0，网）上恒成立.…(9分)） 2x 设c=x>0.则G= 2x2 令G(x)>0,解得x>1,令G(x)<0,解得0<x<1, 所以G(y在(0，上单调递减，在(，+)上单调递增，所以C(xm=G0=,…(1分) 所以a≤，即实数a的取值范围为 …（13分) 16.（15分) (1)由题意得，a.≠0，所以由a1=1+3a an ,得1=1+0=1+3，即1-1=3， an+i an an an+l an 又=2，所以 是首项为2，公差为3的等差数列. …（5分)》 e (2)由（1)得， 1=2+3n-1)=3n-1, an 即a=所a=2=6-小(-2.(7分y an 所以Sn=2×(-2)+5×(-2)2+…+(3n-1)(-2)”①， -2Sn=2×(-2)2+5×(-2)3+…+(3nm-1)(-2)+②， …(9分) 2024级高二4月期中质量检测·数学（人教A版)参考答案第4页共6页 A ①-②，得3S,=2×(-2)+3×[-2}+(-2)°++(-2)]-(3n-1)-(-2) =3×(-2)+(-2)2+(-2)3++(-2)]+2-(3n-1-(-2) =3x-2×1=2+2-(6m-10-2=-3n-(2", .…（14分） 1-（-2) Sn=-n-(-2)m1.…(15分) 17.（15分) (1)四位数的千位不能为0，有C,种选法， 再从剩下的6个数字选3个进行排列，有A种选法， 根据分步乘法计数原理，得可组成CA2=720个四位数.…(4分) (2)千位为1时，一共有A=120个四位数，所以第101个数的千位一定为1. 百位为0,2,3,4,5,6中任一个时，有A2=20个四位数， 则第101个数百位为6的最小的四位数，即1602.…（8分) (3)0,1,2,3,4,5,6中有3个奇数，4个偶数， 若有4个偶数，要求偶数互不相邻，至少需要3个奇数隔开， 这样就是7位数，不合题意，所以有3个奇数，3个偶数， …（10分）》 3个奇数全排列，形成4个空位，从4个偶数中选3个将其放在4个空位中的3个， 则有ACA=576种排法.…(12分) 若首位为0,3个奇数全排列，形成4个空位，第一位为0，从3个偶数中选2个将其放在3个空位 中的2个，则有ACA?=108种排法， …（14分) 综上，可组成576-108=468个六位数， …（15分) 18.(17分) (1)(+2)(a≥4neN)的展并式的通项为 -c((-c) x2n-3r 则=c,=c, …（3分)） 则项的系数为C,第5项的系数为C日 P 第4项与第5项的系数之此为8：7，· 解得n=10.…（6分) c (2).n=10,∴.展开式中二项式系数最大项的项为第6项， T。=Co2 x205_63x,小展开式中二项式系数最大项为63.…(9分) 8 8 (3)设T4项为展开式中系数最大的项，且T4=C。 x20-3 2024级高二4月期中质量检测·数学（人教A版)参考答案第5页共6页 A c99" 则 …（11分) c)c( 10! 10! 2 [2C≥C k:(10-k)！(k+1)上(9-k)！ 即 C%≥2C1' 10! 10！ 2(k+1)≥10-，解得8≤号 ≥2 11-k≥2k k处(10-k)2(k-1(11-k)月 …(15分） :keZ,.k=3,“展开式中系数最大的项为T4=C x1=15x1.…（17分） 19.(17分) (1)当m=1时，f(x)=(nx-2)x2-x, 则f(x)的定义域为(0，+∞），f'(x)=2xlnx-3x-1,则f1I)=-3,f'(1)=-4, 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-（-3)=-4(x-1), 即4x+y-1=0.…（3分) (2)(i)f'(x)=2xlnx-3x-m,定义域为(0，+∞). 因为函数f(x)有两个极值点，所以x1,x2是方程2xnx-3x-m=0的两个正根.…(4分) 令h(x)=x(2lnx-3),则定义域为(0，+∞)，h(x)=2lnx-1, 令h(x)>0,解得x>V,令h(x)<0,解得0<x<V, 所以h(x)在(0，VE)上单调递减，在(VE,+∞)上单调递增， 则h(x)mm=hN6=-2VE.…(6分) 又当0<x<eVe时，h(x)<0,当x>eVe时，h(x)>0,…(7分) 所以当-2We<m<0时，h(x)=x(2lnx-3)的图象与直线y=m有两个不同的交点， 综上，实数实数m的取值范围为(-2WE,0).…(10分) (i)由(i)知，m=h(x2),且h(x)=0时，x=e, 又<2，所以VE<x2<eE.…(11分) 令p(x)=h(x2)+2e-x2,则p'(x)=2lnx,-2, 易得p'(x)在(0，+∞）上单调递增，且p'(e)=0,…（12分) 所以当x2∈(V,e时，p'(x)<0,x2e(e,e)时，p'(x)>0, 所以p(x2)在(Ve,e上单调递减，在(e,eVe)上单调递增， 所以p(x2)≥p(e)=2e-3e+2e-e=0, 即h(x2)+2e-x2≥0，则h(x2)+2e≥x2,…（15分) 又因为0<x,<,所以x2>x2-x, 所以h(x2)+2e>x2-x1,即x2-x1<m+2e.…（17分) 以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分. 2024级高二4月期中质量检测·数学（人教A版)参考答案第6页共6页 A