广东惠州市光正实验学校2025-2026学年高一下学期五一假期数学作业（2）

**基本信息** 聚焦复数、空间几何、向量与解三角形的跨模块整合，通过概念辨析与综合应用，培养空间观念、运算能力及推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数与空间几何|6题|概念辨析与位置关系判断|从基本定义到空间线面关系推导| |向量与解三角形|8题|向量运算与三角形边角互化|向量数量积与正余弦定理的应用拓展| |综合应用|5题|立体几何计算证明与实际问题|空间几何性质与数学模型构建|

2025-2026学年惠州光正下学期高一五一假期数学作业（2） 一、单选题 1．若，其中，是虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．如果空间两条直线与没有公共点，那么与（    ） A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 3．下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个平面 B．三条平行直线确定一个平面 C．梯形的四个顶点确定一个平面 D．两两相交的三条直线确定一个平面 4．已知向量与的夹角为，，，则的值为（    ） A． B． C． D．6 5．在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，若满足且，则（    ） A． B． C． D． 7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，是的中点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（    ） A．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 B．若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 10．已知复数，是关于的方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 11．中，角的对边分别是，向量，且，则下列说法正确的是（   ） A．C= B．若，则 C．若，则周长为16 D．若，则面积的最大值为 三、填空题 12．若向量满足，且与的夹角为，则___________． 13．如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m． 14．已知一平面截球所得截面圆的半径为1，且球心到截面圆所在平面的距离为2，则球的表面积为__________． 四、解答题 15．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角B； (2)若，，求边c和的面积. 16．已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若是单位向量，且，求与的夹角． 17．如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求证：四点共面. 18．已知在中，为中点，. (1)若，求； (2)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 19．记的内角，，的对边分别为，，，已知点为线段上的一点，为的平分线，. (1)若，， （i）求角的大小： （ii）求的面积： (2)当时，求的最小值. 2025-2026学年惠州光正下学期高一五一假期数学作业（2）解析 一、单选题 1．若，其中，是虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为，故，故复数的虚部为2 2．如果空间两条直线与没有公共点，那么与（    ） A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【详解】因为两条直线异面或平行时，都没有公共点，所以D选项正确. 3．下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个平面 B．三条平行直线确定一个平面 C．梯形的四个顶点确定一个平面 D．两两相交的三条直线确定一个平面 【答案】C【详解】对于选项A：不在同一条直线上三点确定一个平面，故A错误；对于选项B：三条平行直线不一定能确定一个平面，例如三棱柱的三条侧棱所在的直线，这三条直线就不共面，故B错误； 对于选项C：因为梯形有两边是平行的，且两条平行直线是共面直线， 所以梯形的四个顶点确定一个平面，故C正确；对于选项D：两两相交的三条直线不一定能确定一个平面， 例如三棱锥的三条侧棱所在直线，这三条直线就不共面，故D错误. 4．已知向量与的夹角为，，，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A【详解】由，则. 5．在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】两边平方得，即， 又两边平方得，即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 6．已知向量，若满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，所以，， 因为且，所以且，解得. 7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由余弦定理的推论，结合，得， 整理得，所以.所以. 因为，所以. 8．如图，在中，，，是的中点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由题意可得：，， 故 ， 二、多选题 9．关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（    ） A．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 B．若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 【答案】BD【详解】平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面，所以A错误； 若直线不平行于平面且，则直线与平面相交，所以平面内不存在与平行的直线，所以B正确；若两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条有可能在平面内，就不与平面平行，所以C选项错误；若直线与平面平行，根据线面平行的定义，可得直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，所以D正确. 10．已知复数，是关于的方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC【详解】根据题意知，所以， 不妨令，，则，， ，而，故A、B、C正确，D错误. 11．中，角的对边分别是，向量，且，则下列说法正确的是（   ） A．C= B．若，则 C．若，则周长为16 D．若，则面积的最大值为 【答案】ABD【详解】选项A:或, 若 若与矛盾，故，A正确. 选项B:由A知，，若, 由余弦定理得：故B正确. 选项C:, 由余弦定理得： 的周长为，故C错误. 选项D:,由余弦定理得：, 即,,当且仅当时成立,故D正确. 三、填空题 12．若向量满足，且与的夹角为，则___________． 【答案】【详解】. 13．如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m． 【答案】【详解】由题设， 在中，由正弦定理，得∴m. 14．已知一平面截球所得截面圆的半径为1，且球心到截面圆所在平面的距离为2，则球的表面积为__________． 【答案】【详解】作出对应的截面图，∵截面圆的半径为1，∴BC，∵球心O到截面圆所在平面的距离为2，∴OC＝2，设球的半径为R，在直角三角形OCB中，OB2＝OC2+BC2＝5．即R2＝5，∴该球的表面积为4πR2＝20π， 四、解答题 15．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角B； (2)若，，求边c和的面积. 【答案】(1)(2)，面积 【详解】（1）已知，由余弦定理得：， 所以，化简可得：.又，故 （2）， 由正弦定理，代入，，，所以. 因为， 所以. 16．已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若是单位向量，且，求与的夹角． 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）设，由，且， 得所以或故或； （2）因为，，且，所以，即. 所以，即.因为夹角，所以与的夹角． 17．如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求证：四点共面. 【详解】（1）由题意，， 在三角形中，， 所以， 所以. （2）,因为三棱锥的高， 所以. （3）连接，因为分别为的中点，所以且. 因为是直四棱柱，且底面是正方形， 所以，且，即四边形是平行四边形， 所以又，所以，所以四点共面. 18．已知在中，为中点，. (1)若，求； (2)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【详解】（1）因为，所以，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，. （2）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，解得，此时点为线段的中点. 19．记的内角，，的对边分别为，，，已知点为线段上的一点，为的平分线，. (1)若，， （i）求角的大小： （ii）求的面积： (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)（i）（ii）(2) 【详解】（1）（i）已知，由正弦定理得 整理得即 左边，因此 因为，，所以，又，故 (ii) 设，在中，已知，，， 由余弦定理得代入得， 整理得，解得（负根舍去） （2）设，是角平分线，，代入面积公式： ，代入，得 由余弦定理，，且， 代入化简得整理得 令，，得 由基本不等式， ，且，代入得 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $