命题大赛 广东高一数学下学期阶段测试2025-2026学年(人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用)

**基本信息** 本卷为高一数学人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用单元卷，立足单元复习，通过基础巩固、实际应用与创新探究的梯度设计，融合数学眼光、思维与语言，适配周测至期末多场景使用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量共线、基底、解三角形、轨迹问题（内心）、单位向量性质|基础题（向量共线）与能力题（轨迹判断）结合，多选题辨析概念（单位向量平行）| |填空题|3题/15分|向量坐标运算、解三角形实际应用（太湖小岛）、向量恒成立与函数最值|联系生活实际（小岛距离），综合向量与函数（恒成立求最值）| |解答题|5题/77分|向量数量积、测量问题（古塔高度）、解三角形综合、费马点原创题|注重实际应用（古塔测量），综合探究（锐角三角形范围），文化创新（费马点）|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 共线向量 0.9 2 单选题 5 向量的基底 0.85 3 单选题 5 平面向量共线定理 0.77 4 单选题 5 正弦定理 0.65 5 单选题 5 数量积；向量夹角 0.65 6 单选题 5 数量积；垂直向量 0.65 7 单选题 5 力的合成；向量的应用 0.65 8 单选题 5 平面向量共线定理；求最值； 0.4 9 多选题 6 零向量与单位向量；相等向量；平行向量（共线向量） 0.75 10 多选题 6 数量积；投影向量 0.75 11 多选题 6 正弦定理；余弦定理 0.4 12 填空题 5 平面向量线性运算 0.85 13 填空题 5 距离测量问题；正弦定理 0.65 14 填空题 5 数量积 0.4 15 解答题 13 数量积 0.83 16 解答题 15 距离测量问题；高度测量问题；余弦定理 0.85 17 解答题 15 正弦定理；三角形面积公式；余弦定理 0.65 18 解答题 17 正弦定理；三角形面积公式；余弦定理；距离测量问题； 0.65 19 解答题 17 正弦定理；余弦定理；向量的数量积；三角恒等变换 0.4 $ 应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末/ 高一数学下学期阶段测试 (人教A版必修第二册 第六章平面向量及其应用) （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 2．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知平面向量且，则一定共线的三点是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 5．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 7．在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 8．在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（   ） A．与的模相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 10．如图所示，已知正八边形，其中，则下面选项正确的是（   ） A． B． C． D．在方向上的投影数量为 11．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D．若，且，O为的内心，则的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，，则点的坐标为________ 13．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西的方向上，则小岛离开公路的距离是__________km． 14．已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知向量，满足，向量的夹角为60°． (1)求的值； (2)求； (3)求向量与的夹角的余弦值． 16．（15分）为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点进行测量．首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行米到达点处，在点处测得塔顶A的仰角为．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内． (1)求古塔的高度； (2)求的面积； (3)若从观测点向后（沿的延长线）退至点，要使在处测得塔顶的仰角为，求后退距离． 17．（15分）中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)若，试判断的形状，并说明理由； (2)若，则的面积为，求，的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 18．（17分）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且． (1)求小岛与小岛之间的距离； (2)求四个小岛所形成的四边形的面积； (3)记为，为，求的值． 19．（原创）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． (1)求角； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学下学期期中测试 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A D A B D B C B AD BC ACD 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．A 【详解】由向量平行的坐标表示，结合题意得 ，解得. 2．D 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，，所以与共线，不能作为基底； 对于C，，所以与共线，不能作为基底； 对于D，设，则， 则，可得不存在这样的，可得与不共线，可以作为基底. 3．A 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设  ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设  ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 4．B 【分析】利用正弦定理求出，结合三角形的内角和定理得到的值，从而得到的值． 【详解】因为，，， 由正弦定理得， 得， 所以或，经检验，均满足题意． 当时，由三角形的内角和定理得； 当时，由三角形的内角和定理得． 因此或． 故选：B. 5．D 【分析】计算、，再利用向量的夹角公式计算. 【详解】由题意得，，， 所以． 故选：D 6．B 【分析】根据数量积的运算可得，进而根据可得，结合垂线的定义即可求解. 【详解】由 ， 则，即， 故，即点的轨迹经过的垂心. 故选：B 7．C 【分析】利用向量分解及直角三角形的性质得，根据余弦函数性质即可判断A；举反例判断B；将角的值代入计算判断CD. 【详解】如图所示，根据题意依次分析选项： 对于A，由于，且，则有，即. 又为定值，故越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，当时，，行李包不会处于平衡状态，即，B错误； 对于C，当时，有，则，C正确； 对于D，当时，有，则，D错误. 故选：C 8．B 【分析】根据平面向量的线性运算法则，及三点共线，推得.利用基本不等式中“1”的妙用，求得的最小值. 【详解】，即，， ，，，， ，三点共线，则. ， 当且仅当，即时，等号成立，因此，的最小值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．AD 【分析】根据单位向量，相等向量，共线向量的定义进行判断即可． 【详解】由，为两个单位向量， ，故A正确； 如果与平行，则当与同向时，； 则当与反向时，； 即如果与平行，那么或，故B错误，D正确； ，为两个单位向量，仅模长相等，但不一定共线，故C错误． 故选：AD． 10．BC 【分析】求得，可判断A；利用向量的数量积的定义求得判断B；求得的模，结合图形可判断C；利用投影向量的概念计算可判断D. 【详解】对于A，由正八边形，所以， 所以，又，故A错误； 对于B，，的夹角为，所以，故B正确； 对于C，， 所以，， 利用向量的加法法则，结合题图可知，的方向与的方向相反， 所以，故C正确； 对于D，在方向上的投影数量为， 因为，所以，故D错误． 故选：BC． 11．ACD 【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积. 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 即 ， 因为，所以，且，所以. 选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ， 所以， 所以的外接圆的面积为，选项A正确； 选项B：由余弦定理得， 将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解， 故 ，解得b，所以选项B错误； 选项C：由正弦定理，得 ，即， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，故选项C正确； 选项D：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理，得，即， 所以， 即，所以， 所以， 又因为，所以，故，，解得 ， 因为，所以， 即是直角三角形，所以内切圆的半径为， 所以的面积为，选项D正确.故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】设点， 则，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故答案为：. 13．/ 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】如图所示，设汽车所在位置分别为，，小岛所在位置为，则， ，，． 因为 在中，由 得． 设到直线的距离为， . 则，即小岛离开公路的距离为． 故选： 14．/ 【分析】先根据向量的夹角、模长及恒成立求出，将表示成关于t的函数，根据二次函数最值即可求解． 【详解】∵，∴， 整理可得， ∵对任意，上式恒成立，∴； 由题意知，∴，∴． ∴． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由题意可得，， 则；（4分） （2）；（8分） （3）由已知，， 则向量与的夹角的余弦值为．（13分） 16．【答案】(1)米 (2)（平方米）； (3)米. 【解析】（1）设，在直角三角形中，因为，故，同理， 在中，，由余弦定理有，（2分）     所以，故（负解舍去）. 所以古塔的高度为米.（5分）     （2）由（1）的分析可得，同理，而， 故，而为三角形内角， 故，故（平方米）.（10分）    （3）由题设有，由（1）可得， 故，故后退距离为米.（15分）       17．【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2) (3) 【解析】（1）因为， 解法一：因为， 可得， 且，则，可得，（2分） 则， 可得，（3分） 且，则，可得， 又因为，所以；（4分） 解法二：可得 整理得， 由正弦定理可得，（2分） 由余弦定理可得，（3分） 又因为，所以；（4分） 若，即，且，可得，， 所以为直角三角形.（5分） （2）因为，则，解得， 由余弦定理可得， 即，可得， 所以.（9分） （3）因为 .（11分） 因为，且三角形是锐角三角形，则，解得，（13分） 则，可得，则， 所以的取值范围为.（15分） 18．【答案】(1)2nmile； (2)18平方海里； (3)． 【解析】（1），且A为钝角，， 在中，由余弦定理可得，（2分） ，即， 解得：或（舍去）． 小岛A与小岛之间的距离为2nmile．（4分） （2）四点共圆，与互补，则 ． 在中，由余弦定理得：，（6分） ，得， 解得（舍去）或．（8分） （平方海里）， 四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里．（10分） （3）在中，由正弦定理得：，即，解．（12分） ，为锐角，则，（13分） 又， ，（15分） （17分） 19. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）， ，（2分） ， ， 又，，（3分） ，,，（4分） （2）， ，又，，（6分） 设，，， ，三角形的三个角均小于120， 根据题意可得， 又， ， ，（8分） ．（10分） （3）由 ， ，， 由余弦定理可得， 同理可得，， 相加可得， 又， 所以，（12分） 由于, 所以又 故，所以，（14分） 故，且 故，当且仅当时等号成立， 又，所以 ， 令，则， 所以，（16分） 由于函数均为上的单调递增函数，故为的单调递增函数， 故，进而.（17分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $