广东惠州市光正实验学校2025-2026学年高一下学期五一假期数学作业（1）

**基本信息** 以解三角形、向量、复数、立体几何为核心，通过典例系统整合平面与空间几何、代数运算的知识逻辑，提炼正余弦定理、坐标法等解题方法，培养数学思维与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形|5题|正弦定理、余弦定理、面积公式|从边角关系推导到实际航海问题应用，发展几何直观| |复数|3题|复数方程韦达定理、模的计算|基于复数概念延伸至方程根与代数运算，培养运算能力| |向量|6题|坐标运算、数量积、投影公式|从线性运算到几何意义，构建代数与几何桥梁| |立体几何|5题|表面积体积公式、斜二测画法|从直观图还原到组合体计算，提升空间观念与推理意识|

2025-2026学年惠州光正下学期高一五一假期数学作业（1） 一、单选题： 1.在中，若，，，则角等于(    ) A. B. C. 或 D. 或 2.若复数满足为虚数单位，则(    ) A. B. C. D. 3.已知向量，，若，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 4.若平面向量，满足，，且，则等于(    ) A. B. C. D. 5.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为(    ) A. B. C. D. 6.在直角梯形中，，，，为的中点，为上的点，且，若，，则(    ) A. B. C. D. 7.一艘海轮从处出发，以每小时海里的速度沿南偏东的方向直线航行，小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是(    ) A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 8.若圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是(    ) A. B. C. D. 二、多选题： 9.如图，该几何体由高均为的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为，则(    ) A. 圆锥的母线长为 B. 圆锥与圆柱的体积比为 C. 该几何体的表面积为 D. 圆锥侧面展开图的圆心角为 10.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，则(    ) A. B. 的面积为 C. 外接圆的半径为 D. 为钝角三角形 11.如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则为定值 C. 若点在线段上，则为定值 D. 若，则的最大值为 三、填空题： 12.已知平面向量，，则在方向上的投影向量坐标为        ． 13.已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则这个圆台的表面积为          ． 14.已知是关于的方程的根，则           ． 四、解答题： 15.在中，角，，所对的边分别为，，，，，． 求，的值； 求的值． 16.已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． 求的值； 记复数，求复数的模． 17.已知向量，． 若，求实数的值； 若为钝角，求实数的取值范围． 18.如图；在中，已知，，，其中，边上的两条中线，相交于点． 求的余弦值； 设，求的值． 19.现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为和，高是，求该直四棱柱的侧面积和表面积． 已知棱长均为，底面为正方形的四棱锥如图所示，求它的侧面积、表面积． 已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面是腰长为的等腰梯形，求该四棱台的表面积． 2025-2026学年惠州光正下学期高一五一假期数学作业（1）解析 一、单选题： 1.在中，若，，，则角等于(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】解：，，， 由正弦定理得：，，，则． 2.若复数满足为虚数单位，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：复数满足，则，故， 所以． 3.已知向量，，若，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 解：，，且， ，解得． 4.若平面向量，满足，，且，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：平面向量，满足，，且， 可知向量，可得平面向量，则：． 5.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据题意，由直观图知原几何图形是直角梯形， 如图，由斜二测法则知，， 所以， 6.在直角梯形中，，，，为的中点，为上的点，且，若，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：直角梯形中，，，，为的中点，为上的点，且，可得：， ， 故． 7.一艘海轮从处出发，以每小时海里的速度沿南偏东的方向直线航行，小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是(    ) A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】A  解：由题设可得如下示意图，且，即， 由图知：， 则，又，所以，则海里． 8.若圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】作圆锥的轴截面，如图所示：由题意知，在中，，． 设圆锥的高为，底面半径为，则， 由，得，解得，则． 故圆锥的体积． 二、多选题： 9.如图，该几何体由高均为的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为，则(    ) A. 圆锥的母线长为 B. 圆锥与圆柱的体积比为 C. 该几何体的表面积为 D. 圆锥侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD  【解析】解：对于，设底面圆半径为，高为，则，圆锥的母线长为，A正确；对于，圆锥和圆柱的底面圆半径和高均相等，所以圆锥与圆柱的体积比为，B正确； 对于，几何体的表面积包括一个圆，一个圆柱侧面和一圆锥侧面， 圆面积为，圆柱的侧面积为，圆锥侧面积为， 所以表面积为，C错误； 对于，圆锥侧面展开图的圆心角为，D正确， 10.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，则(    ) A. B. 的面积为 C. 外接圆的半径为 D. 为钝角三角形 【答案】BCD  【解析】解：选项，根据余弦定理可得：，故A选项错误； 选项，根据题意可知，，可得， 三角形的面积为：，故B选项正确； 选项，根据正弦定理，，故C选项正确； 选项，，，为钝角，是钝角三角形，故D选项正确． 11.如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则为定值 C. 若点在线段上，则为定值 D. 若，则的最大值为 【答案】BCD  【解析】解：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 所以，，，，，所以，， 若，则，所以，所以，故A错误；若，则，所以，故B正确； 因为，又，所以， 又点在线段上，所以，所以，故C正确； 若，则，所以， 设，所以， 其中，所以的最大值为，故D正确． 三、填空题： 12.已知平面向量，，则在方向上的投影向量坐标为        ． 【答案】  【解析】解：由题意，，， 则在方向上的投影向量坐标为：． 13.已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则这个圆台的表面积为          ． 【答案】  【解析】因为圆台的上、下底面半径分别为，，高为，所以母线长为，所以圆台的表面积为． 14.已知是关于的方程的根，则           ． 【答案】 【详解】由题意可知，关于的方程的两个虚根分别为、， 由韦达定理可得，解得，，因此，． 四、解答题： 15.在中，角，，所对的边分别为，，，，，． 求，的值； 求的值． 【答案】解：余弦定理，且，， 可得， ，，，可得，． 由可知，，，， 为的内角，，， 的值为．  16.本小题分已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． 求的值； 记复数，求复数的模． 【答案】   【解析】解：因为是关于的方程的一个根， 所以是关于的方程的另一个根， 由韦达定理可知：，解得，所以； 由可得， 所以，所以． 17.本小题分 已知向量，． 若，求实数的值； 若为钝角，求实数的取值范围． 【答案】解：由可得，则， 即，即，得； 若为钝角，则且不共线， 即有，解得， 且不共线，则，解得且， 综上：且．即的取值范围是．  18.如图；在中，已知，，，其中，边上的两条中线，相交于点． 求的余弦值； 设，求的值． 【答案】    【解析】解：由，， 可得，可得， 由题可得：， 可得， ， 所以， 又由 ， 设，则，． 所以的余弦值为． 因为，分别是，边上的中线，且相交于点， 所以为的重心，可得，又因为与方向相同，所以， 因为，所以． 19.现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为和，高是，求该直四棱柱的侧面积和表面积． 已知棱长均为，底面为正方形的四棱锥如图所示，求它的侧面积、表面积． 已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面是腰长为的等腰梯形，求该四棱台的表面积． 【答案】解  如图，设底面对角线，，交点为， 体对角线，， ，， ，． 即，． 该直四棱柱的底面是菱形， ， ． 该直四棱柱的侧面积． 该直四棱柱的底面积． 该直四棱柱的表面积． 解  四棱锥的各棱长均为， 各侧面都是全等的正三角形． ， ． 解  如图，在四棱台中，过作，垂足为， 在中，，， 故， 所以梯形， 故四棱台的侧面积， 所以四棱台的表面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $