2026年九年级中考数学解答题专项（难）

**基本信息** 聚焦中考数学解答题难点，系统覆盖代数运算、几何综合、函数应用等核心模块，题型典型，知识逻辑递进，强化推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数运算|2题|分式化简求值|从整式运算到分式化简，强调取值合理性判断| |几何综合|8题|四边形证明、圆切线判定、图形旋转|从特殊图形性质到圆的切线证明，构建空间观念与推理链条| |函数应用|5题|一次函数与反比例函数综合、二次函数动态问题|函数表达式求解到数形结合应用，培养抽象能力与计算思维| |实际应用|4题|测量、利润、运动问题|建立实际情境数学模型，发展数据意识与应用意识| |动态探究|4题|图形翻折、动点最值|从静态几何到动态变化，提升创新意识与问题解决能力|

2026年九年级中考数学解答题专项（难） 1.本小题分先化简，再求值：，其中． 2.本小题分先化简：，再从、、、、中选一个合适的数作为的值代入求值． 3.本小题分如图，边长为的正方形中，点为的中点连接，将沿折叠得到，交于点，求的长． 4.本小题分如图，点在▱的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形； 若，，，求菱形的面积． 5.本小题分小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点，并在点处安装了测倾器，测得古树的顶端的视角为；再在的延长线上确定一点，使米，并在处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着方向移动，当移动到点时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测倾器的高度米．已知点，，，在同一水平直线上，且，，均垂直于，求这棵古树的高度小平面镜的大小忽略不计 6.本小题分为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部处米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得教学楼窗户处的仰角为、、、在同一直线上然后，小明沿坡度：的斜坡从走到处，此时正好与地面平行． 求点到直线的距离结果保留根号； 若小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度结果精确到米，，． 7.本小题分某果农为响应国家“乡村振兴”战略的号召计划种植苹果树和桔子树共棵若种植棵苹果树，棵桔子树共需投入成本元；若种植棵桔子树，棵苹果树共需投入成本元． 求苹果树和桔子树每棵各需投入成本多少元？ 若苹果树的种植棵数不少于桔子树的，且总成本投入不超过元，问：共有几种种植方案？ 在的条件下，已知平均每棵苹果树可产苹果，售价为元；平均每棵桔子树可产枯子，售价为元，问：该果农怎样选择种植方案才能使所获利润最大？最大利润为多少元？ 8.本小题分襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示： 有机蔬菜种类 进价元 售价元 甲 乙 该超市购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要元；购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要元．求，的值； 该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于，且不大于实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过的部分，当天需要打折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额元与购进甲种蔬菜的数量之间的函数关系式，并写出的取值范围； 在的条件下，超市在获得的利润额元取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于，求的最大值． 9.本小题分如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与相交于点． 求直线的解析式； 求四边形的面积； 若点为轴上一动点，过点作垂直于轴的直线，与直线交于点若，请直接写出所有符合题意的点的坐标． 10.本小题分如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标为，点的坐标为． 根据图象，直接写出满足的的取值范围； 求这两个函数的表达式； 点在线段上，且，求点的坐标． 11.本小题分如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，反比例函数的图象经过的中点，与，分别相交于点，连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，． 填空：______； 求的面积； 求证：四边形为平行四边形． 12.本小题分如图，在中，，是斜边上的中线，以为直径的分别交、于点、，过点作，垂足为． 若的半径为，，求的长； 求证：与相切． 13.本小题分如图，在四边形中，，，是的直径，平分． 求证：直线与相切； 如图，记中的切点为，为优弧上一点，，求的值． 14.本小题分如图，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，，． 求证：； 求证：以为直径的圆与相切； 若，，求的面积． 15.本小题分如图，是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点，过点作，交的延长线于点，且平分． 求证：是的切线； 求证：； 若，，求的长． 16.本小题分如图，是的直径，点在的延长线上，、是上的两点，，，延长交的延长线于点． 求证：是的切线； 求证：； 若，，求弦的长． 17.本小题分如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长、相交于点，的平分线交于点． 求证：； 求证：； 若，，求的长． 18.本小题分【问题情境】 如图，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 19.本小题分已知抛物线：有最低点． 求二次函数的最小值用含的式子表示； 将抛物线向右平移个单位得到抛物线经过探究发现，随着的变化，抛物线顶点的纵坐标与横坐标之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量的取值范围； 记所求的函数为，抛物线与函数的图象交于点，结合图象，求点的纵坐标的取值范围． 20.本小题分科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器高度不计竖直向上弹射一个小钢球忽略空气阻力，在秒时，它们距离地面都是米，在秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度米与小钢球运动时间秒之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度米与它的运动时间秒之间的函数关系如图中抛物线所示． 直接写出与之间的函数关系式； 求出与之间的函数关系式； 小钢球弹射秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 21.本小题分【阅读理解】对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴交于，两点，点的坐标为，抛物线：的图象经过，，三点． 求抛物线的表达式； 点为第一象限抛物线上的一点，连接交于点，连接，记的面积为，的面积为，若，求点，的值； 已知坐标系中有一直线：，若，求的取值范围． 22.本小题分问题原型：如图，在等腰直角三角形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接过点作的边上的高， 易证≌，从而得到的面积为． 初步探究：如图，在中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接用含的代数式表示的面积，并说明理由． 简单应用：如图，在等腰三角形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接直接写出的面积．用含的代数式表示 23.本小题分【阅读理解】如图，，的面积与的面积相等吗？为什么？ 解：相等在和中，分别作，，垂足分别为，． ， ． ， 四边形是平行四边形， ． 又，． ． 【类比探究】如图，在正方形的右侧作等腰，，，连接，求的面积． 解：过点作于点，连接． 请将余下的求解步骤补充完整． 【拓展应用】如图，在正方形的右侧作正方形，点，，在同一直线上，，连接，，，直接写出的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull