精品解析：广东深圳实验学校中学部2025-2026学年第二学期八年级阶段检测数学试卷

中学部2025-2026学年第二学期八年级阶段检测 数学试卷 考试时间：90分钟试卷满分：100分 说明：请考生在答题卷指定区域按要求规范作答，考试结束上交答题卷． 第Ⅰ卷 一、选择题：（每题3分，8小题，共24分） 1. 语文的浪漫是诗歌里的乡愁与生机，物理的浪漫是公式描述星辰的诗意，数学的浪漫则在数形之间．下列平面直角坐标系中的图象是中心对称图形的是（　　） A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰线 C. 笛卡尔叶形线 D. 星形线 2. 将多项式分解因式时，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角，应先假设（ ） A. 等腰三角形的顶角为锐角 B. 等腰三角形的底角不为锐角 C. 等腰三角形的底角为钝角 D. 等腰三角形的顶角不为锐角 5. 某商场推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价为150元，标价为250元．现准备打折销售这种商品，且利润率不得低于，则根据题意可列不等式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点D，使点D到、的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 7. 定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（ ） A. 12是智慧数 B. 代数式（是正整数）是智慧数的条件是 C. 所有大于1的奇数都是智慧数 D. 将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16 8. 小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为的等腰；②小球撞击桌边后反弹角等于入射角．如图建立平面直角坐标系，球从点出发，撞击边上的点后反弹，再撞击边上的点反弹，最后回到点．则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题：（每题3分，5小题，共15分） 9. 如图，始建于明朝的道韵楼是中国最大的八卦形土楼，八卦土楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型，则八边形的内角和为___________． 10. 如图，，，将沿方向平移得到，若，，则平移的距离为________． 11. 在深圳湿地公园保护项目中，研究人员需监测两种关键水质指标——溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线：描述，污染物浓度由直线：描述．如图，当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围___________． 12. 新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为___________． 13. 在内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值___________． 三、解答题：（本题共7小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 因式分解： （1）； （2）． 15. 解不等式及不等式组： （1）解不等式：，并将不等式的解集在数轴上表示； （2）解不等式组：，并写出所有正整数解． 16. 平面直角坐标系中的三个顶点的坐标分别是，，． （1）已知与关于点成中心对称． ①若点与原点重合，请在图中画出． ②若把①中的点沿轴向右平移1个单位长度，则①中的向右平移 个单位长度；若把①中的点沿轴向上平移1个单位长度，则①中的向上平移 个单位长度． （2）直接写出点关于点的对称点的坐标 ． 17. 如图，已知，，，，，与相交于点，连接．求证： （1）； （2）是的中垂线． 18. 综合实践 背景一 深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两种型号的“燕宝啾啾”玩偶共80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的． 背景二 经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价每个37元．因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖88元，小号“燕宝啾啾”玩偶每个卖45元． （1）该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？ （2）该文创店所获得的最大利润是多少？ （3）实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过40个．在(1)问的条件下，若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？ 19. 【知识回顾】 一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． （1）【类比推理】 已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___________． （2）【应用公式】 因式分解：． （3）【拓展提升】 如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则①___________． ②若该直角三角形两条边长分别为和，且，先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 20. 如图，在中，，，分别为的高． （1）如图1，若，，连接，___________，___________； （2）如图2，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，为线段上一点，连接．若，求证：； （3）如图3，若是线段上一动点，将线段绕着点逆时针旋转至线段，连接，，．当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中学部2025-2026学年第二学期八年级阶段检测 数学试卷 考试时间：90分钟试卷满分：100分 说明：请考生在答题卷指定区域按要求规范作答，考试结束上交答题卷． 第Ⅰ卷 一、选择题：（每题3分，8小题，共24分） 1. 语文的浪漫是诗歌里的乡愁与生机，物理的浪漫是公式描述星辰的诗意，数学的浪漫则在数形之间．下列平面直角坐标系中的图象是中心对称图形的是（　　） A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰线 C. 笛卡尔叶形线 D. 星形线 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，对四个图形逐一分析，再作出判断据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 2. 将多项式分解因式时，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解——提取公因式，熟练掌握公因式定义是关键． 公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：对多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故选：B． 3. 已知，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质；根据不等式的基本性质，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A、由两边同时乘以得：，故A不符合题意； B、由两边同时减3得：，故B符合题意； C、，，则，但，故C不符合题意； D、由两边同时乘以得：，故D不符合题意. 故选：B. 4. 用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角，应先假设（ ） A. 等腰三角形的顶角为锐角 B. 等腰三角形的底角不为锐角 C. 等腰三角形的底角为钝角 D. 等腰三角形的顶角不为锐角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反证法，根据反证法的第一步是假设结论不成立，结论的对立面成立，判断即可． 【详解】解：由题意，应先假设等腰三角形的底角不为锐角； 故选B． 5. 某商场推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价为150元，标价为250元．现准备打折销售这种商品，且利润率不得低于，则根据题意可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先明确打折的含义和销售问题中的等量关系以及不等关系列出不等式即可． 【详解】解：∵商品打折销售，标价为元， ∴实际售价为元． ∵利润售价-进价，商品进价为元， ∴利润为元． ∵利润率不得低于，利润率， ∴利润不得低于． ∴可列不等式为 ，即B选项符合题意． 6. 如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点D，使点D到、的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图的基本方法，准确理解相关作图法是解题的关键．根据选项，结合尺规作图方法逐一分析即可． 【详解】解：对于选项A：该作图痕迹表明，此时点D到、的距离不相等，不符合题意； 对于选项B：该作图痕迹表明平分，且点D在上，根据角平分线的性质可知，点D到、的距离相等，符合题意； 对于选项C：该作图痕迹表明虚线为的中垂线，点D为该中垂线与的交点，此时点D到、的距离不相等，不符合题意； 对于选项D：该作图痕迹表明于点D，此时点D到、的距离不相等，不符合题意； 故选：B． 7. 定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（ ） A. 12是智慧数 B. 代数式（是正整数）是智慧数的条件是 C. 所有大于1的奇数都是智慧数 D. 将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16 【答案】B 【解析】 【分析】根据“智慧数”定义，将其变形为（，为正整数，），再逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，满足定义，是智慧数； 选项B：对变形得，若它是智慧数，需和为正整数，且，可得，即，因此选项B说法不正确； 选项C：设大于1的奇数为（为正整数），，且当为正整数时，和都是正整数，所有大于1的奇数都是智慧数； 选项D：从小到大判断可得前10个智慧数依次为：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，因此第10个智慧数是16． 综上，说法不正确的是B． 8. 小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为的等腰；②小球撞击桌边后反弹角等于入射角．如图建立平面直角坐标系，球从点出发，撞击边上的点后反弹，再撞击边上的点反弹，最后回到点．则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交直线于点，延长交轴于点，连接，可证明，则可证明，得到，，即可得到；同理可证明，可得垂直平分，则，推出，得到；求出直线和直线的解析式，进而可求出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作交直线于点，延长交轴于点，连接， 由题意得，，， ， ， 又，， ， ，， ， ， ； 同理可证明， ， 垂直平分， ； 是等腰直角三角形， ； ， ， ， 设直线的解析式为，则， ， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得， 点的坐标为， 故选：B． 第II卷 二、填空题：（每题3分，5小题，共15分） 9. 如图，始建于明朝的道韵楼是中国最大的八卦形土楼，八卦土楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型，则八边形的内角和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：八边形的内角和为． 10. 如图，，，将沿方向平移得到，若，，则平移的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】由平移的性质可得，结合题干可计算出，进而计算出平移距离，即的长． 【详解】解：∵由平移得到， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平移的距离． 11. 在深圳湿地公园保护项目中，研究人员需监测两种关键水质指标——溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线：描述，污染物浓度由直线：描述．如图，当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将交点P的坐标代入直线：的解析式求出 m 的值，确定交点坐标，然后观察函数图像，找出直线 在直线 上方（包括交点）部分对应的自变量 x的取值范围即可． 【详解】解：∵点在直线：上，  ∴，解得， ∴ 交点 P的坐标为由函数图像可知，当 时，直线  的图像在直线 的图像上方或重合，即溶解氧浓度不低于污染物浓度  ∴ x的范围是 ． 12. 新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由新定义求出a、b的值，得到，再由新定义得到，利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：∵，， ∴，解得， ∴， ∴． 13. 在内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用含30度直角三角形的性质可得，如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于H．易得，均为等边三角形，，，，进而得到当且仅当B、P、E、F时，，最小值为，再多次利用勾股定理求得的长即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于H． ∴，，，， ∴，均为等边三角形， ∴，，， ∴， 当且仅当B、P、E、F时，，即最小值为， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题：（本题共7小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先凑成公因式，然后提取公因式即可解答； （2）先展开，然后再加括号，最后再提取公因式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 15. 解不等式及不等式组： （1）解不等式：，并将不等式的解集在数轴上表示； （2）解不等式组：，并写出所有正整数解． 【答案】（1），数轴表示见解析 （2）不等式组解集为，所有正整数解为 【解析】 【分析】（1）先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可； （2）先求出各不等式的解集，然后确定不等式组解集，再确定所有正整数解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 在数轴上表示如下： 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为， ∴该不等式组的所有正整数解为1，2． 16. 平面直角坐标系中的三个顶点的坐标分别是，，． （1）已知与关于点成中心对称． ①若点与原点重合，请在图中画出． ②若把①中的点沿轴向右平移1个单位长度，则①中的向右平移 个单位长度；若把①中的点沿轴向上平移1个单位长度，则①中的向上平移 个单位长度． （2）直接写出点关于点的对称点的坐标 ． 【答案】（1）①见解析；②2，2 （2） 【解析】 【分析】（1）①作关于原点成中心对称的即可；②分别以，作的中心对称图形，然后再与对比即可解答； （2）一组对称点的横（纵）坐标之和等于对称点的横（纵）坐标的2倍，由此可解． 【小问1详解】 解：①如图：即为所求； ②把①中的点沿轴向右平移1个单位长度，即以作的中心对称图形，可以发现向右平移了2个单位长度得到； 把①中的点沿轴向上平移1个单位长度，即以作的中心对称图形，可以发现向上平移了2个单位长度得到． 【小问2详解】 解：由坐标系可知： 根据在（1）中获得的经验，可得A点关于点的对称点的坐标分别为． 17. 如图，已知，，，，，与相交于点，连接．求证： （1）； （2）是的中垂线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先利用“”，得出，再利用“”，得出，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，得出，，进一步得，结合，得出点和点在的垂直平分线上，即可得证． 【小问1详解】 证明：， ， 即． ，， ． 又， ， ． 又， ， ． 【小问2详解】 证明：由（1）可知，，， ，， ， 即． 又， 点和点在的垂直平分线上， 是的中垂线． 18. 综合实践 背景一 深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两种型号的“燕宝啾啾”玩偶共80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的． 背景二 经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价每个37元．因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖88元，小号“燕宝啾啾”玩偶每个卖45元． （1）该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？ （2）该文创店所获得的最大利润是多少？ （3）实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过40个．在(1)问的条件下，若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？ 【答案】（1）35件 （2）1630元 （3）当 时，小号数量35 个，利润最大．当时，小号数量可为 35∼40 个；当时，小号数量40 个时，利润最大． 【解析】 【分析】（1）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，然后根据题意列不等式求解即可； （2）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，然后根据题意列出一次函数解析式，再根据一次函数的性质求最值即可； （3）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，易得则文创店所获得的利润，然后分、和三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个， 由题意可得：，解得：， 所以该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少35件． 【小问2详解】 解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，， 则文创店所获得的利润， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，文创店所获得利润最大，最大利润为元． 【小问3详解】 解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，， 则文创店所获得的利润， ∵， ∴当 时，，w 随b增大而减小，故，即小号数量35 个，利润最大． 当时，，小号数量可为 35∼40 个； 当时，，w 随b增大而增大，故，即小号数量： 40 个时，利润最大． 19. 【知识回顾】 一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． （1）【类比推理】 已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___________． （2）【应用公式】 因式分解：． （3）【拓展提升】 如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则①___________． ②若该直角三角形两条边长分别为和，且，先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】（1） （2） （3）①10；②，840 【解析】 【分析】（1）将中的b变成，然后再展开后合并同类项即可； （2）先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可； （3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根，即可得出结果；②先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可；由，，，求得，得到，，再整体代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：①∵图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成， ∴由图形2可知，，， 又∵， ， ． ②∵，，， ∴， ∵该直角三角形两条直角边长分别为和， ∴，，， ∴，， ∴ ． 20. 如图，在中，，，分别为的高． （1）如图1，若，，连接，___________，___________； （2）如图2，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，为线段上一点，连接．若，求证：； （3）如图3，若是线段上一动点，将线段绕着点逆时针旋转至线段，连接，，．当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到是等腰直角三角形，即可求出，利用的面积，求出，在中，利用勾股定理求出，同理在中，利用勾股定理求出，即可得到，故得以证明是等腰三角形，过点E作交于点H，可以得出，即可得到，在中，由，，得到，最后在中，利用勾股定理即可求出； （2）如图：连接，设与交点为点P，由题意得得到，即，得以证明是等腰三角形，得，由旋转的性质得到，即可证明得到，，再证明得到，由，得到，，再根据是直角三角形，得到，即可证明结论； （3）如图：将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点E作交于点H，设与交与点O，此时点Q在上运动，由旋转的性质得到，，是等边三角形，进而得到，，当时，有最小值，根据含30度的直角三角形得到，利用勾股定理求得，由题意得，，再求出，利用求出，根据求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点E作交于点H，        ∵，，分别为的高，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ∴， ， ∵，即， ∴； 在中，，即， 同理在中，， ∴， ， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， 在中，． 【小问2详解】 证明：如图：连接，设与交点为点P，        ∵，，分别为的高， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵将绕点逆时针旋转到，连接， ，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ， ∵，，， ∴， ∴， ，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ，， ， ∴ ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图：将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点E作交于点H，设与交于点O，此时点Q在上运动， 由旋转的性质得到，，是等边三角形， ∴， ∵， ， ∴， 当时，有最小值， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵，， ∴，即，解得：， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $