精品解析：江苏扬州市江都区大桥镇中学等2025-2026学年八年级数学下册期中试卷

八年级数学 一、单选题（共24分） 1. 下列问题中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（　　） A. 调查一批灯泡的使用寿命 B. 调查一架“歼20”飞机各零部件的质量 C. 调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况 D. 调查重庆市空气质量情况 2. 为了解某县七年级9600名学生的视力情况，从中抽取了500名学生进行视力检查.下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②9600名学生是总体；③每名学生的视力是个体；④500名学生是总体的一个样本；⑤500名学生是样本容量. 其中正确的判断有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 下列说法正确的是（ ）． A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 5. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 6. 若多项式可分解为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足的一个条件是（ ） A. 对角线 B. 四边形是菱形 C. 对角线 D. 8. 在四边形中，，E，F分别是和的中点．若，，则为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（共30分） 9. 一个菱形的对角线长为5和6，则其面积为_______． 10. 已知，，则______． 11. 在一个不透明的盒子里装有5个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.25左右，则据此估计盒子中大约有白球______个． 12. 如图，在中，平分，，，则的长是______． 13. 如图，四边形ABCD和四边形OMNP都是边长为4的正方形，点O是正方形ABCD对角线的交点，正方形OMNP绕点O旋转过程中分别交AB，BC于点E，F，则四边形OEBF的面积为_______． 14. 如图，在矩形中，，，为中点，连接，过作于，则的长度为______． 15. 如图，在中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点向点运动．两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．当运动时间为___________秒时，线段． 16. 如图，中，是中点，平分，则________． 17. 如图， 中，，点E是中点，过点A作，垂足为F，连接，则________°． 18. 如图，在矩形ABCD中，，，E、F分别是边AB、BC上的动点，且，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则的最小值是______． 三、解答题（共96分） 19. 对下列式子进行因式分解． （1）； （2）． 20. “书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读．为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数为 名； （2）请直接补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是 度； （4）学校共有1300名学生，试估计全校喜欢“科普类”图书的人数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是：，． （1）画出△ABC关于原点的中心对称图形； （2）画出△ABC绕点顺时针旋转得到； （3）若点在第二象限，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则的坐标为_____． 22. 如图，在平行四边形中，过A作，过C作，交于点F． 求证：． 23. 因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 24. 如图，在平行四边形中，延长到点，使，交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由． 25. 已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求： （1）求的坐标； （2）求的坐标． 26. 如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、． （1）求证：； （2）如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 27. 小明学习了平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形． （1）【理解定义】判断：平行四边形一定是垂美四边形．（ ）（填正确或错误） （2）【探究性质】如图1，在垂美四边形中，对角线，相交于点O，猜想，之间的数量关系，并写出证明过程． （3）【综合运用】如图2，在中，，，，分别以，为腰向外侧作等腰和等腰，且，连接．图中哪个四边形是垂美四边形？并证明你的结论． 28. 综合与实践 问题情境： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程： 动手操作： 步骤一：将边长为的正方形纸片对折，使得点与点重合，折痕为，再将纸片展开，得到图1． 步骤二：将图中的纸片的右上角沿着折叠，使点落到点的位置，连接，，得到图． 步骤三：在图的基础上，延长与边交于点，得到图． 问题解决： （1）在图中，连接．①求的度数．②求的值． （2）在图的基础上延长与边交于点，如图，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、单选题（共24分） 1. 下列问题中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（　　） A. 调查一批灯泡的使用寿命 B. 调查一架“歼20”飞机各零部件的质量 C. 调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况 D. 调查重庆市空气质量情况 【答案】B 【解析】 【分析】对调查对象范围大，数量多，工作量大，具有破坏性，受客观条件限制的，应选择抽样调查，有A、C、D，对关系到安全性的，应采用普查，有B． 【详解】解：A．调查一批灯泡的使用寿命，数量多且具有破坏性，适合使用抽样调查，因此选项A不符合题意； B．调查一架“歼20”飞机各零部件的质量，关系到“歼20”飞机的安全飞行，适合使用全面调查，因此选项B符合题意； C．调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况，人数多，工作量大，适合使用抽样调查，因此选项C不符合题意； D．调查重庆市空气质量情况，调查的范围大，受客观条件限制，适合使用抽样调查，因此选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了普查和抽样调查，解决问题的关键是熟练掌握普查和抽样调查的适用条件，根据调查对象范围大小，个体数量多少，是否具有破坏性，确定调查方式． 2. 为了解某县七年级9600名学生的视力情况，从中抽取了500名学生进行视力检查.下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②9600名学生是总体；③每名学生的视力是个体；④500名学生是总体的一个样本；⑤500名学生是样本容量. 其中正确的判断有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体；个体是总体中的每一个考查对象；样本是总体中所抽取的一部分个体；样本容量是样本中包含的个体数目，不用带单位，根据总体、个体、样本以及样本容量的定义，逐个分析即可得到答案. 【详解】解：①这种调查方式是抽样调查，故①说法正确，符合题意； ②总体是某县七年级9600名学生的视力情况，故②说法错误，不符合题意； ③个体是每名学生的视力，故③说法正确，符合题意； ④500名学生的视力情况才是总体的一个样本，故④说法错误，不符合题意； ⑤500是样本容量，故⑤说法错误，不符合题意； 正确的有：①③ 故选：A． 【点睛】本题考查了调查方式中的抽样调查，总体，个体，样本，样本容量的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 3. 下列说法正确的是（ ）． A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的判定．熟悉特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的判定定理是解题的关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定定理，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但有一组邻边相等的四边形不一定为菱形，所以不符合题意； 选项，有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，所以不符合题意； 选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，所以不符合题意． 故选：． 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项解析判断后利用排除法求解： 【详解】A．矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误，不符合题意； B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确，符合题意； C．矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误，不符合题意； D．矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误，不符合题意． 故选B． 5. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、分解错误，不是因式分解，不符合题意； 故选B． 6. 若多项式可分解为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】展开，与原多项式比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：B． 7. 如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足的一个条件是（ ） A. 对角线 B. 四边形是菱形 C. 对角线 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．利用三角形中位线定理可以证得四边形是平行四边形；然后由菱形的判定定理进行解答． 【详解】解：∵在四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，， ∴； 同理，，， ∴四边形是平行四边形； A、若，得不到，则，不能证明四边形是菱形，故本选项错误； B、若四边形是菱形时，点四点共线；故本选项错误； C、若对角线时，得不到，则，不能证明四边形是菱形；故本选项错误； D、当时，则；所以平行四边形是菱形；故本选项正确； 故选：D． 8. 在四边形中，，E，F分别是和的中点．若，，则为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形中位线定理的知识，取的中点H，连接，根据三角形中位线定理得到，，，，证明，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，取的中点H，连接， ∵E，H分别是和的中点， ，， 同理可得：， ， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 二、填空题（共30分） 9. 一个菱形的对角线长为5和6，则其面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积等于对角线乘积的一半知识，根据公式即可求解． 【详解】解：菱形的对角线长为5和6， 菱形的面积， 故答案为：． 10. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的作用，先提公因式，然后再代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 故答案为： 11. 在一个不透明的盒子里装有5个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.25左右，则据此估计盒子中大约有白球______个． 【答案】15 【解析】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出球的总数，然后即可计算出盒子中白球的个数即可． 【详解】解：设盒子中大约有白球有x个，根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴估计盒子中大约有白球15（个）， 故答案为：15． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是列出方程． 12. 如图，在中，平分，，，则的长是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算，根据等角对等边证明边相等，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据平行四边形的性质，得出，，再利用平行线的性质证明，结合角平分线的意义得出，从而可得出，再利用线段差求得即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 13. 如图，四边形ABCD和四边形OMNP都是边长为4的正方形，点O是正方形ABCD对角线的交点，正方形OMNP绕点O旋转过程中分别交AB，BC于点E，F，则四边形OEBF的面积为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，推出∠BOE=∠COF，根据全等三角形的判定定理得到△BOE≌△COF（ASA），于是得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°， ∴∠BOF+∠COF=90°， ∵∠EOF=90°， ∴∠BOF+∠BOE=90°， ∴∠BOE=∠COF， 在△BOE和△COF中， ， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE =S△BOE+S△COF =S△BOC =S正方形ABCD =×4×4 =4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，，，为中点，连接，过作于，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，三角形的面积公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据矩形的性质得，结合为中点，所以，然后由勾股定理列式，因为，再根据三角形的面积公式得出，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵在矩形中，，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴在中，， 则， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点向点运动．两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．当运动时间为___________秒时，线段． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，一元一次方程的实际应用，由平行四边形的判定和性质可知当时，．设运动时间为t，分别用含t的代数式表示出和，再列出方程，解出t的值即可． 【详解】解：在中，， 当时，四边形是平行四边形， 当时，． 在中，， ， 设运动时间为t，则，， 当时，， 解得， 故答案为：3． 16. 如图，中，是中点，平分，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．延长交于，证明，根据全等三角形的中线得到，，进而求出，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：． 17. 如图， 中，，点E是中点，过点A作，垂足为F，连接，则________°． 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于G，证明，得，再由垂直条件及直角三角形斜边上中线的性质得，由已知易得的度数，从而可求得的度数． 【详解】解：延长交的延长线于G，如图， 在中，， ∴， ∵点E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，点E是中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，构造全等三角形是解题的关键． 18. 如图，在矩形ABCD中，，，E、F分别是边AB、BC上的动点，且，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】11 【解析】 【分析】作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB，则当点P、M在线段BG上时，GP+PM+BM最小，从而 CP+PM最小，在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的长，从而求得最小值． 【详解】如图，作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB 由对称的性质得：PC=PG，GD=CD ∵GP+PM+BM≥BG ∴CP+PM=GP+PM≥BG－BM 则当点P、M在线段BG上时，CP+PM最小，且最小值为线段BG－BM ∵四边形ABCD是矩形 ∴CD=AB=6，∠BCD=∠ABC=90° ∴CG=2CD=12 ∵M为线段EF的中点，且EF=4 ∴ 在Rt△BCG中，由勾股定理得： ∴GM=BG－BM=13－2=11 即CP+PM的最小值为11． 【点睛】本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形性质，折叠的性质，直角三角形斜边上中线的性质，两点间线段最短，勾股定理等知识，有一定的综合性，关键是作点C关于AD的对称点及连接BM，GP+PM+BM的最小值转化为线段CP+PM的最小值． 三、解答题（共96分） 19. 对下列式子进行因式分解． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法分解因式是解题的关键： （1）提取公因式分解因式即可； （2）先将式子变形，再提取公因式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. “书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读．为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数为 名； （2）请直接补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是 度； （4）学校共有1300名学生，试估计全校喜欢“科普类”图书的人数． 【答案】（1）100 （2） 补全条形图如下： （3）36 （4）520名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用： （1）根据B“文学类”的人数以及占比可得总人数； （2）根据总人数减去其他类别的人数可得结果； （3）根据A“艺术类”所占比例可得结果； （4）根据喜欢C“科普类”所占比例乘以总人数即可； 从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图可得：B“文学类”有20名，所占比例为， ∴总人数为：（名）， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：由（1）可得总人数为100名， ∴D“体育类”所占人数为：（名） 【小问3详解】 解：由扇形图可得A“艺术类”所占人数为10名， ∴A“艺术类”所对应的圆心角度数：， 故答案为：36； 【小问4详解】 解：喜欢C“科普类”的人数为40名， ∴喜欢C“科普类”的人数占， 当学校有1300名学生时，此时喜欢“科普类”图书的人数为：（名）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是：，． （1）画出△ABC关于原点的中心对称图形； （2）画出△ABC绕点顺时针旋转得到； （3）若点在第二象限，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则的坐标为_____． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3）或 【解析】 【分析】（1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据网格的特点和旋转方式确定点的位置，再作图即可； （3）分三种情况：为对角线，为对角线，为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同讨论求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：设点D的坐标为， 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得 ， ∴， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得 ， ∴， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得 ， ∴， ∴点D的坐标为，不符合题意； 综上所述，点D的坐标为或． 22. 如图，在平行四边形中，过A作，过C作，交于点F． 求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明． 由平行四边形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】略 23. 因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干信息把代入求解即可； （2）根据题干信息把和分别代入得到关于m，n的二元一次方程组，进而求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，把代入得 解得：； 【小问2详解】 解：把和分别代入， 即 解得： 24. 如图，在平行四边形中，延长到点，使，交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形； （2） 当时，四边形是矩形， 理由如下：四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再由，得，，即可得出结论； （2）当时，根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求： （1）求的坐标； （2）求的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题． （1）根据折叠性质得，，由勾股定理得，可得点坐标； （2）在中，根据勾股定理即可求点坐标． 【小问1详解】 解：由折叠可知：， ， ，， 在中，由勾股定理得， 点坐标为； 【小问2详解】 ，， 由折叠可知：， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得：， 点坐标为． 26. 如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、． （1）求证：； （2）如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 求证：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ； （2） 如图所示，点即为所求： 【解析】 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得到，，进而证明和均为等边三角形，得到，，证明，即可得到； （2）连接、交于点O，连接并延长，交边于点G即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 27. 小明学习了平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形． （1）【理解定义】判断：平行四边形一定是垂美四边形．（ ）（填正确或错误） （2）【探究性质】如图1，在垂美四边形中，对角线，相交于点O，猜想，之间的数量关系，并写出证明过程． （3）【综合运用】如图2，在中，，，，分别以，为腰向外侧作等腰和等腰，且，连接．图中哪个四边形是垂美四边形？并证明你的结论． 【答案】（1）错误 （2） ，证明如下： ∵， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴； （3） 四边形是垂美四边形．理由如下： 连接、，与交于点O，与交于点N，如图2， ∵， ∴，即， ∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴四边形是垂美四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用． （1）由平行四边形的性质即可得出结论； （2）利用勾股定理即可得出结论； （3）根据证明，得，再由三角形内角和定理得，从而可得结论． 【小问1详解】 解：平行四边形的对角线不一定互相垂直，所以平行四边形不一定是垂美四边形，故原说法错误． 故答案为：错误； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 28. 综合与实践 问题情境： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程： 动手操作： 步骤一：将边长为的正方形纸片对折，使得点与点重合，折痕为，再将纸片展开，得到图1． 步骤二：将图中的纸片的右上角沿着折叠，使点落到点的位置，连接，，得到图． 步骤三：在图的基础上，延长与边交于点，得到图． 问题解决： （1）在图中，连接．①求的度数．②求的值． （2）在图的基础上延长与边交于点，如图，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 结论：， 理由：如图，连接， 由折叠可知，，， ， ，， ， ， 设则， 在中， ， ， ， 解得：， ，， 【解析】 【分析】（1）由翻折性质可知，，，，推出，证明，推出，，进而得出，设则，，利用勾股定理求出的值即可； （2）结论：，证明，推出，设则，在中，由勾股定理求出的值即可． 【小问1详解】 解：如图中， 四边形为正方形， ，， 由翻折性质可知，，，，， ， ，， ， ，， ， 四边形的边长为，则， 设则，， 在中， ， ， 解得：， ，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，翻转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $