第六章 平面向量单元测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

肇庆市第一中学数学平面向量单元测试（文字版|含答案） 一、单选题 1．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 2．若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 3．已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则（   ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 4．在边长为1的正中，，，则（    ） A．1 B． C． D． 5．已知，，均为单位向量，且满足，则（    ） A． B． C． D． 6．平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 7．在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8．设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．下列叙述中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 10．已知是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，能作为一组基底的是（    ） A． B． C． D． 11．有如下判断，其中错误的是（   ） A．对于，若，则 B．对于，若，则是等腰三角形 C．若，则 D．对于，若，则是锐角三角形 三、填空题 12．的内角、、所对边长分别为、、，且，则____． 13．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．若，，则向量在上的投影向量的模为________；设，，若，则________． 14．在中，已知，斜边，D是AB的中点，M是线段CD上的动点，则的取值范围是____________. 四、解答题 15．已知 （1）当为何值时，与垂直 （2）若，且三点共线，求的值． 16．已知是互相垂直的单位向量，，， (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值． 17．在中，已知，，， (1)求角 (2)若角为锐角，求边； (3)求． 18．已知的内角的对边分别为且. (1)求角的大小； (2)若，，，求的长. 19．如图，在中，已知为边上一点，．    (1)求的面积； (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1． 【详解】由已知可得，因为，可得，解得. 故选：C. 2． 【详解】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得， 设，因为，所以四边形OACB为菱形， 则，则为正三角形，所以， 故向量表示从点O出发，朝北偏西方向移动2km. 故选：C 3． 【详解】由题意，，，， 不存在唯一的实数使得，所以，，三点不共线，故A错误， 由于， 所以，则，，三点共线，故D正确. 由于， 不存在唯一的实数使得， 不存在唯一的实数使得，故BC错误， 故选：D. 4．【详解】如图， 因为，，则为边上靠近的三等分点，为边的中点， 所以，， 又在正中，， 则. 故选：D. 5． 【详解】，，则，即，则 故选：C 6． 【详解】由，可得， 所以，即， 可得，所以，即， 又因为为平行四边形，所以四边形为矩形. 故选：C. 7． 【详解】因为，所以， 所以，所以，即， 所以的形状是直角三角形． 故选：C． 8． 【详解】令，如下图示，即为线段的长度， 由对任意，的最小值为，即，而， 显然时，线段最短，此时， 所以，又，故或. 故选：C 9． 【详解】对于A，因，则，故A正确； 对于B，因向量有方向，不能比较大小，故B错误； 对于C，当时，对任意向量满足，，但得不出，故C错误； 对于D，设与垂直的单位向量的坐标为，则：， 解得或，故D正确． 故选：AD． 10． 【详解】∵4－6＝－2(3－2)，∴3－2与4－6共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线.A、C、D选项均可 故选：ACD 11． 【详解】对于A，在中，，A正确； 选项B，在中，由及正弦定理，得， 即，则或，整理得或， 因此是等腰三角形或直角三角形，B错误； 对于C，当时，对任意向量，均有，而不一定成立，C错误； 对于D，由及正弦定理，得，则， 即角是钝角，因此是钝角三角形，D错误. 故选：BCD 12． 【详解】因为，所以， 所以 13． 【详解】由题意，设，则，， 由，则，解得， 因为，所以向量在上的投影向量即为在上的投影向量，即为， 则在上的投影向量的模为； 由 ， 则， 所以，则. 14． 【详解】中,已知,斜边 所以以C为原点建立平面直角坐标系,如下图所示: 由三角函数可知 则 则直线CD的直线方程为. 设, 则 所以由平面向量数量积的坐标运算可得 因为 所以 即的取值范围为 15． 【详解】解：（1）， 因为垂直，所以， 即，得. （2） 因为三点共线，所以． 所以，即，所以. 16． 【详解】（1）由，得，则，即，所以，解得； （2）因为与的夹角为， 所以， ， ， 所以， 平方化简得，解得. 由夹角为 可知 ，即 ， 所以. 17． 【详解】（1）由正弦定理得，即， 故，其中， 解得或，经检验，均满足要求； （2）角为锐角，则， 故， 其中 ， 由正弦定理得，即， 解得； （3）当时，由（2）知， ； 当时， ， ； 综上，或. 18． 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：，即， 由余弦定理知， 又，所以. （2）因为，， 则, 所以 , 所以 19． 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理，可得， 又由，所以． 所以的面积为． （2）解：法一：在中，可得， 由正弦定理得，即，所以， 又由，所以，所以， 因为，且， 由正弦定理得， 可得. 法二：设， 在中，因为且， 由余弦定理，可得， 即，所以，解得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $