第27章 相似 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

·y关于x的函数解析式为y=6 (x>0),画出图象如图所示. (3)w=(x-2).60=60-120 x10, ∴.当x=l0时，心有最大值 .当日销售单价定为10元时，才能 获得最大日销售利润。 ↑y/张 2 20H 15 10 5 01234567x/元 (第22题) 23.(1)将矩形ABCD放置在平 面直角坐标系中的第一象限内，顶点 A,D在y轴正半轴上，OA=1,AD 2,AB=4, .A(0,1),D(0,3),B(4,1),DC= AB=4,DC∥AB. .C(4,3). :函数y=冬快≠0>0)的图象经 过点C, .k=4×3=12 (2)把矩形ABCD沿x轴正方向平 移m个单位长度，使得矩形ABCD的 一个顶点落在函数y=(k≠0，x> 0)的图象上，若平移后，点B的对应 点在函数y=(k≠0，x>0)的图象 上，则点B的对应，点为(4十m,1), ∴.1×(4+m)=12,解得m=8. 若平移后，点D的对应点在函数y (k≠0，x>0)的图象上，则点D的 对应点为(m,3) ∴.3m=12,解得m=4. 若平移后，点A的对应点在函数y= (k≠0，x>0)的图象上，则点A的 x 对应点为(m,1), ..m=12. 综上所述，m的值为4或8或12. (3)a=2b+2 24.(1)如图①，延长FE交x轴于点 H,则FH⊥x轴，四边形AOHF和 四边形DBHE是矩形 .AF=OH,EH=BD 由题意，得AC=BC=2,CF= CD=1, ∴.OH=AF=AC+CF=3,EH= BD=BC-CD=1. .E(3,1) ,函数y= (k>0,x>0)的图象经 x 过点E, k=3. ∴.这两个正方形的“和谐值”为3. (2)设大正方形的边长为a,小正方 形的边长为b. 同理于(1)，可得E(a+b,a一b), ∴.k=(a+b)(a-b)=a2-b2. m=a2,n=b2, ∴.m-n=a2-b2 ∴.k=m-2. (3)设大正方形的面积为S1,小正方 形的面积为S2。 D如图②，当AG=3AC时， ,正方形AOBC的边长为6， .G(2,6). :点G在函数y= k(k>0,x>0) 的图象上， ..k=12. 由(2)，知k=S1一S2, .S2=S1-k=62-12=24. ∴.小正方形的边长为2√6， ②如图③，当AG=号AC时。 .·正方形AOBC的边长为6， .G(4,6) :点G在函数y=(k>0,x>0) x 的图象上， .k=24. :k=S1-S2, .S2=S1-k=62-24=12. 57 '.小正方形的边长为23， 综上所述，小正方形的边长为23或 2√6 ③ (第24题) 第二十七章拔尖测评 -、1.A2.D3.A4.A5.B 6.A7.C 8.D解析：四边形ABCD是正 方形，∴.BC=CD=DA=AB.:E 是正方形ABCD的边AB上的黄金 分割点，且AE>FB铝需 。:回边形AF是正方花。 ∴.EH=HF=FA=AE,FH∥AE, AF∥HE.'.△FHGc∽△BEG, △BEG∽△BAF.∴.易得△FHG △AR,货贸易得 HE .GH=5H AB 2 5-1AE.:∠C=∠CBE= 2 ∠BEI=90°，∴.四边形BCIE是矩 形.·C=BE.小a S△L 2BC·IC 2FH·HG :- AE·HG AB_5-1 AB HG =25-1AE 5-1× 2 2 1 5+1 5-1×5-1 21 2 2 9.B解析：如图，过点A作AH⊥ BC于点H.当点P'与点A重合时， 点F'与点C重合，当点P"与点B重 合时，点F的对应点为F”,连接 M'M',点M的运动轨迹是△ECF"的 中位线，MM=CF.:AB= AC,AH⊥BC,∴.BH=CH= BC.:AE∥BC,AE=BC, ∴.AE=CH.∴.四边形AHCE是平 行四边形.：∠AHC=90°，∴.四边 形AHCE是矩形.∴.EC⊥BF", AH=EC.'BC=2,SAARC=23, ·号X×2XAH=2.AH=BC= 23.∠BEF"=∠ECB=∠ECF" 90°，∴.∠BEC+∠CEF"=90°， ∠CEF"+∠F"=90.∴.∠BEC= ∠F..△ECBn△F'CE.F EC P,即EC=CB·CF%.CF"3 EC(23)2 CB =6.∴.M'M"= 2 CF-s A(P E M" 公公 B(P"H C(F (第9题) 10.C解析：设GH=x.四边形 ABCD是矩形，∴.∠A=∠ADH= 90°，AD=BC=1.由折叠，得∠A= ∠DHE=90°，AD=DH=1,BC CG=1,'.四边形ADHE是矩形. AD=DH,.四边形ADHE是正 方形..AD=HE=1.矩形 HEFG与原矩形ABCD相似， 8=楼：兰-中本 1 ∴x=2-1..GH=√2-1. ∴.CD=2+x=√2+1. 二、11.√612.313.93 14.3解析：如图，延长DC至点F, 使CF=CD,连接FQ,取AB的中，点 O,以点O为圆心，AB长为直径作 圆，连接FO,FO的延长线交⊙O于 点Q',交BC于点G,连接DQ',OQ. :∠AQB=90°，.点Q是在以点O 为圆心，AB长为直径的圆上运动. :Q是矩形ABCD左侧的一点， ∴.点Q是在AQB上运动.，CD= CF,∴.C为DF的中点.，E为DQ 的中点，'.CE为△DQF的中位线 CE=号rQ.:FQ≤F0+OQ, ∴当F,O,Q三点共线时，FQ最长， 即为FQ的长.：AB=2,∴.OQ'= OA=OB=1.,四边形ABCD为矩 形，AB=2,BC=4,.AB=CD=2, AD=BC=4,AB∥CD,∠ABC= 90°.∴.CF=CD=2.AB∥DF, 1△0BG0△P0G.:%器 0日G=20c.G=2BG. 设BG=x,则CG=2x,x十2x= 4,解得r=专BG=专，CG=是 .4 在Rt△OBG中，由勾股定理，得OG VOB+G=√+（传）=号， .'.FG=2OG= 号0=00+ G+G=1+号+=6 CE大=2FQ=3, Q (第14题) 58 15.35解析：四边形ABCD,四 2 边形CEGF都是正方形， ∴.∠HAC=45°，∠HGA=∠CGF= 45°.∴.∠HAC=∠HGA. .∠AHG=∠CHA,∴.△AHG∽ △CHA“普霜计：四边 形ABCD是正方形，.设BC= CD=AD=a,则CA=2a.:AG CA GH 3√2 2 、A月·a=A后，解得AH=3a. 21 ∴DH=AD-AH=a-3a=a, CH =CD2+DH 10 3a. 2 √2a 10 3 a a5C-35 2· 2 16. 解析：设FG=a,则GE= 2a,FE=3a.DE∥BC,EF∥AB, ∴.四边形BDEF为平行四边形 ∴.BD=EF=3a,DE=BF. 2a.:DE∥ BC,.△ADE∽△ABC&B= 3 AD 1 AB 3 3a+2u . CF BC = .:FG∥BN, .△CFGn△CBN.·BNCB FG CF 子BN=2FG=a.DN 3 3 3DBN=3a”a= 2a.:FG∥ DN△FMG∽△DMN.MR MG FG_a- 2 DN 3 3 2a 三、17.由题意，得AB⊥BH,CD⊥ BH,EF⊥BH, '.∠ABH=∠CDH=∠EFH= 90°. ,∠CGD=∠AGB, .△CDG∽△ABG. 器瓷 设AB=a米，BD=b米. 94 :∠H=∠H, ∴.△EHF△AHB. “需器 :20 160 ,a160+200+b 80 160 .80十b160+200+6 ∴.b=200,即BD=200米 ∷20 80 a80+200 ∴.a=70,即AB=70米. .山峰AB的高度为70米，它和标 杆CD的水平距离(BD的长)为2O0米. 18.(1):四边形ABCD是平行四 边形， ∴∠B=∠D :AE⊥BC,AF⊥DC, ∴.∠AEB=∠AFD=90. .△ABE∽△ADF. (2)不一定成立」 理由：若△AEF)△ABC,则 ∠BAC=∠EAF. ∴.∠BAE=∠CAF. 由等角的余角相等，得∠B=∠ACD. 由平行四边形的性质可得∠ACD= ∠BAC. .∠B=∠BAC 平行四边形不一定具有这一条件， ∴.△AEF△ABC不一定成立. 19.(1)连接OD. ∠C=90, .∠CAD+∠ADC=90. OB=OD, ∴.∠B=∠ODB. ,∠CAD=∠B, .∠CAD=∠ODB. .∠ODB+∠ADC=90. .'.∠ADO=90° 又OD是⊙O的半径， ∴.AD是⊙O的切线. (2)连接DE. .·BE是⊙O的直径， ∴.∠BDE=90. ∴.∠C=∠BDE=90°. .AC∥DE ,∠B=∠CAD,∠ACD=∠BDE, .△ACD∽△BDE. “品是号 设CD=2x,则DE=3.x. .AC∥DE, 易得器肥 华-2 x=1. ∴.CD=2,BC=BD+CD=8. .'.AB=√JAC2+BC2=4√5. DE∥AC, “指畏 AF-AB CD-45X2-/5. BC 8 20.(1)△ABC为等边三角形， ∴.∠A=∠B=∠C=60°. ,将△AEF沿EF折叠，点A落在 边BC上的，点D处， ∴.∠EDF=∠A=60°， .∠BED+∠BDE=180°-∠B= 180°-60°=120°，∠BDE+∠CDF= 180°-∠EDF=180°-60°=120°， .'.∠BED=∠CDF 又：∠B=∠C, .△BEDP△CDF. (2)CD=2BD, '.设BD=1,则CD=2 由折叠，可设ED=AE=x,DF= AF=y. :.AB=BC=AC=3,BE=3-x, CF=3-y. ,△BED∽△CDF, ED BD BE DF-CF CD' 59 =1=3-x y3-y2 由号=得y=由 1 N 字得y 2x 许兴解得子或=0 (不合题意，舍去). 经检验，x 号是方程的解 4 “器青 2L.(1):四边形ABCD是平行四 边形， .∠B=∠D ∵∠ECA=∠D, ∴∠ECA=∠B. ∠E=∠E, '.△ECAc∽△EBC. (2)四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,CD∥AB,即CD∥AE. 贯限 ·DF=AF, .CD=AE. .AB=CD, .'.AE=AB. ·AE=2BE. :△ECAP△EBC, AE-CE_AC CE BE CB 太CE=AE·BE=子BE,即 CE√E BE 2 …瓷9 22.(1)DECF, '.△BDEp△BCF DE BE BD ∴CF-BF-BC :BD2' .BD=2CD. DE BE 2CD 2 CF BF 2CD+CD 设DE=2a,则CF=3a. DE 2 EA 3 ∴.EA=3a. AE//CF, ..△AEGc∽△CFG. 架瓷兰1 FG CFCG .EG=FG. DE//CF, CD EF1 BDBE 21 .BE=2EF=4GF. FG FG 1 BG FG+4FG (2)过点B作BH⊥DE于点H. BD=BE, .DH=EH=a. DE//CF, .△BDE∽△BCF. 器器即 2-BC BE ,∴.BC=BF=√3CF=35a. ·BE=子BF=25a. EF-BE-4. ·BG= 2a. BE _23a_23 EH AE一 3a 3'EG 2a 2w3 3 BE EH ·AEEG1 ,∠BEH=∠AEG, ∴.△BEHc∽△AEG. ∴.∠BHE=∠AGE=90°. 由(1)，得AG=CG, .BG垂直平分AC .BA=BC. .'AB=BF. (3),AB=AD, ∴.∠ABD=∠ADB. BD=BE, .∠BED=∠BDE. .∠BED=∠ABD. :∠BDE=∠ADB, ∴.△DBE△DAB. 册即毁品 .BD=√10a. BD2· BD2 ·BC3 ..BC=- BD-3 -a. 2 CF 3a w√/10 3w√10 5 23.(1)四边形AEDG是菱形 理由：，AB=AC,AD是边BC上的 中线， BD-CD-BC,ADLBC. .∠ADB=∠ADC=90° 由折叠，得BF=DF=2BD,CH DH--CD.EFLBD.GHLCD. ∴.EFGH∥AD. “船器-1爱鼎 .'BE=AE,CG=AG. :DE=AE=号AB,GD=AG= AC. .AB=AC, .'DE=AE-GD=AG. ∴.四边形AEDG是菱形. (2)如图，过点K作KI⊥DH于点 I,则∠KIH=90° .AB=AC=17,BC=30,AD是边 BC上的中线， .AD L BC,BD =CD= 名×30=15 ∴.AD=√AB2-BDd=√17-15= 60 8,cH=DH=cD=×15= 2 :BH=BC-CH=0号号 .CH=DH,CG=AG, GH-2AD- 2×8=4 由折叠，得BN=HN=2BH= 名×号-号MN 1B, .MN∥AD. ∴.△MBN∽△ABD. 45 燃器是 MN=2AD=是X8=6 '∠KHD=∠B,∠KDH=∠C,且 ∠B=∠C, ∴.∠KHD=∠KDH. .KD=KH. x5=15 D1=HI=2DH=2×2- ·易得△KIH∽△ADC, 品0是 :'S四边形MGA=S△AX一S△MH一 S△Gx+S△KDH, ×30×8-2 ∴.S四边形GA= 2 45 ×6- 1 1 ×15×4+2×2 2=30. '.四边形MKGA的面积是30. M G K B N DI H C (第23题) 24.(1)5 8 2)当∠rc=∠A时，器-沿 AD 成立 理由：：∠FOC=∠A,∠DOE= ∠FOC, ..∠DOE=∠A 又：∠ODE=∠ADF, .△ODE△ADF. DO DA DE DE ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.CD∥AB,AB=CD. ..∠A+∠ADC=180 又：∠FOC+∠COD=180, ∴.∠ADC=∠COD. .∠DCE=∠OCD, .△DCE∽△OCD, 器器 DF CE ·DACD “船 (3)如图，过点C作CN∥AD交AB 的延长线于点N,过点D作DM∥AB 交NC的延长线于点M,则四边形 DANM是平行四边形 .∠M=∠A=120°，DM=AN, MN-AD- ∠BOC=∠A, 同2.可得0品 在NM上取一点P使得NB=NP, 连接BP ADMN,∠A=120°， .∠N=60°. .△NBP是等边三角形 .BP=NB=NP,∠BPN=6O. .∠BPC=120°=∠M. .∠BCD=120°， ∴.∠PCB+∠PBC=60 ∠PCB+∠MCD. '.∠MCD=∠PBC. ∴.△MCDc∽△PBC. 器兴贵 41 设DM=3.x,则PC=4x,BP=PN= BN=AN-AB=3x-7. CM=是PB 921 4x-4 :MN=PN+PC+CM=到 2 x=3. ..DM=3x=9. 31 “80册普器 AE 0 B N--- CM (第24题) 期中拔尖测评 -、1.A2.D3.A4.D5.D 6.C7.B8.C 9.D解析：根据题图③，由U= I(R。十Rp),可知U=6V,且恒定不 变，故A正确，不符合题意.由题图② 可知，随着下潜深度的增大，压敏电阻 的阻值逐渐减小，故B正确，不符合 题意.潜水员下潜到水下10m深处， 由题图②，知Rp=302,.R。十 Rp=402.由题图③，知电路中的电 流为0.15A,故C正确，不符合题意。 :Rp允许通过的最大电流为 0.3A,R。+Rp三03=20(2. .Rp=20-10=10(2).由题图②， 可知当Rp=102时，深度表能测量 的最大深度为60m,故D错误，符合 题意， 10.B解析：.点P(一3,0)在直线 y=x+b上，.b=3.∴.y=x+3.令 +3-冬2+3x-6=0.A 32-4×1×(-)=9+4k.直线 y一十3与双曲线y-兰有丙个交 9 点心9+4>0.>-4“x+ 3x-k=0,:x=3±9+4地 2 ·点M的横坐标为一3-9十45 2 61 点N的横坐标为二3+9干4.如 图，过点M作ME⊥x轴于点E,过点 N作ND⊥x轴于点D,则ME∥ PN_PD.:P(-3,0, ND.PM-PE .PD=-3+9+4 2 +3,PE= -3一√/9+4k 2 +3.: PM ≤2， PD≤2PE.:-3+V9+ 十3≤ 2(仁3-牛亚+3)·9+秋< 2 9∠k≤ 1.0<9十4h≤1.- -2. 0 (第10题) 二、11. 2-1 2 解析：如图，连接OF 交CD于点M,延长FO交AB于点 N.F是CD的中点，易得OF⊥ CD.四边形ABCD是⊙O的内接 正方形，∴.易得OF⊥AB.设⊙O的 半径为r,则易得AB=√2r,∴易得 ② ON=OM三2r..MF=r-2r. :在正方形ABCD中，EM∥AN, MN=AB=反r,:需= EF MF √2 r-272-1 √2r 2 W--0- (第11题) 12. 9 3 13.64 14.√2 15 2解析：，AB=10,BC=8, AC =6,.AC2+BC2 AB2.拔尖特训·数学（人教版）九年级下 第二十七章拔尖测评 ◎满分：120分◎时间：120分钟 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分）》 1.在如图所示的平面直角坐标系中，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，已知点 B的坐标为(3,3)，点D的坐标为（一2，一2），则△OAB与△OCD的周长之比是 ) A.3:2 B.9:4 C.5:2 D.25:4 (第1题) (第2题) (第3题) (第4题)》 2.如图，△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，下列选项中，错误 的是 ( ) A.AC∥A'C' B.S△4'B'C':S△ABC=4：9 C.△BCOp△B'C'O D.OB':BB'=3:2 3.如图，在△ABC中，D,E为边AB上的三等分点，点F,G在边BC上，AC∥DG∥EF,H为 AF与DG的交点.若EF=4,则HG的长为 () A.6 B.5 C.4 D.3 4.如图，△ABC是面积为27cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等 份，则图中阴影部分的面积为 ( A.9 cm2 B.8 cm C.6 cm2 D.12 cm2 5.如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，且CE:BE=1:3,连接AE,过点E作EF⊥ AE,交CD于点F,连接AF并延长，交BC的延长线于点G.若CG=3,则AB的长为() A.14 B.13 C.12 D.11 B B B D (第5题) (第6题)》 (第7题) 6.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D在小正方形的顶点处，AC与BD 相交于点O,则AO的长为 、呼 B26 3 C20 D26 2 2 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，AF=2BF,CE=3AE,连接CP交DE于点P,则号 的值为 ) A 1 C. 8.把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个 分制法称为黄金分制，比值为5，，它被公认为是最能引起关感的比如图，E足正方形 ABCD的边AB上的黄金分割点，且AE>EB,以AE为边作正方形AEHF,延长EH交CD 干点连接BP交I干点G.连接，BI则C的值明 A.1 B5+1 3 C.5-1 D W5+1 2 2 E B (第8题) (第9题) (第10题) 9.如图，等腰三角形ABC的面积为2w5,AB=AC,BC-2,作AE,/BC且AE-号BC,P是线段 AB上一动点，连接PE,过点E作PE的垂线，交BC的延长线于点F,M是线段EF的中点 当点P从点A运动到，点B时，点M的运动路径长为 A.√5 B.3 C.23 D.4 10.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠，使边DA落在边DC上， 点A落在点H处，折痕为DE,使边CB落在边CD上，点B落在点G处，折痕为CF.若矩形 HEFG与原矩形ABCD相似，AD=1,则CD的长为 () A.√2-1 B.W5-1 C.√2+1 D.√5+1 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.如图，D是△ABC的边AB上的一点，AD=2BD=2,当AC= 时，△ACD∽ △ABC. (第11题) (第12题) (第13题) (第14题) 12.如图，在△ABC中，延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DECB,且DE=DC,连接AE 交BC于点F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF= 13.如图，在等边三角形ABC中，ODBC,OE∥AC,OF∥AB.若OD=3,OE=2,OF=1,则等 边三角形ABC的面积为 14.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,Q是矩形ABCD左侧的一点，连接AQ,BQ,且 ∠AQB=90°，连接DQ,E为DQ的中点，连接CE,则CE长的最大值为 3 15.如图，正方形CEGF的边EC初始位置在BC上，绕正方形ABCD的顶点C按顺时针方向旋 转α(0°<α<45)，当B,E,F三，点在同一条直线上时，连接CG并延长，交AD于点H,连接 AC,AG.若AG=3,GH=2,则BC的长为 D (第15题) (第16题) 16.如图，点D在△ABC的边AB上，作DEBC交AC于点E,EF∥AB交BC于点F.点G在 线段EF上连接CG并延长，交线段DF于点M,交线段DB于点N.书北C}则 的值是 MG 三、解答题（共72分） 17.(6分)如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处竖起标杆CD和EF,标杆的 高都是20米，D,F两处相隔200米，并且AB,CD和EF在同一平面内.从标杆CD处后退 80米到G处，可以看到峰顶A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF处后退160米到 H处，可以看到峰顶A和标杆顶端E在同一条直线上.求山峰AB的高度及它和标杆CD的 水平距离(BD的长). D G (第17题) 18.(6分)如图，在□ABCD中，AE⊥BC,交BC于点E,AF⊥DC,交DC于点F. (1)求证：△ABE∽△ADF. (2)探讨△AEF∽△ABC是否成立，并说明理由. (第18题) 19.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径作 ⊙O,分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD,∠CAD=∠B. (1)求证：AD是⊙O的切线， (2)若AC=4,BD=6,求AE的长. 0 C D (第19题) 20.(8分)如图，在等边三角形ABC中，点E,F分别在边AB,AC上，将△AEF沿EF折叠，点 A落在边BC上的点D处 (1)求证：△BED∽△CDF. (2)若CD=25D,水P的值 (第20题) 21.(10分)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F, ∠ECA=∠D. (1)求证：△ECAp△EBC. (2)若DF=AF,求C的值 (第21题) 22.(10分)如图，在△ABC中，D,G分别是边BC,AC上的点，连接AD,BG相交于点E,BE= BD.过点C作AD的平行线，与G的廷长线交T点r,品号货-号 O)祭的脱 (2)若BC=√3FC,求证：AB=BF (8)者AB=AD,求瓷的值 B (第22题) 23.(12分)如图①，在△ABC中，AB=AC=17,BC=30,AD是边BC上的中线.如图②，将 △ABC分别沿EF,GH折叠，顶点B,C均与点D重合，折痕分别交AB,AC,BC于点E,G, F,H. (1)如图②，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由. (2)如图③，将图②中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重 合，折痕分别交AB,BC于点M,N,BM的对应线段交DG于点K,求四边形MKGA的 面积. B B ① ② (第23题) 4 24.(12分) (1)如图①，在矩形ABCD中，点E,F分别在边AD,AB上，连接DF与CE交于点O,若 ∠P0C=0,且AD=8,CD=52E (2)如图②，在□ABCD中，点E,F分别在边AD,AB上，连接DF与CE交于点O,当 DF AD ∠FOC与∠A满足什么关系时，CE一AB成立？请说明理由. 3)知圈®，在四边形A5CD中，AD}AB=7,∠A=∠BCD=120,设-点E在边 AD上，连接DB与CE交于点O.当∠BOC=∠A时，求2的值 A ① ② ③ (第24题)