5.2 图形的相似-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（人教版）

数学 九年级下册（人教版 ∴.∠B=∠DHF=60° ∠ABC=∠PED=90°，BF∥DE,∴.△PBF∽ 又∠ADF=∠DEB,DF=DE, △PED,. PB BF PF 1 PEDEPD2 ∴.△DFH≌△EDB(AAS),.BD=FH,BE=DH, .·EC=BC-BE=AB-DH=BD+AH=2BD,.·n=2m .PE-2BE-2(-a)-D6 2 ②如图2，过点F作HF∥AC, 交AB于点H, oCE-BF ∴.∠FHB=∠BAC=60° .∠PED=90°，DE=b,PE=2(b-a),PD=PC=PE+ ∠ADF=∠DEB,DF=DE, CE=2(b-a)+=2b-a,∴.b2+[2(b-a)]2-(2b-a)2 、 ∴.△DFH≌△EDB(AAS), 化简得，3a2-4ab+b2-0,.b=a或b=3a, .BD=FH,BE=DH 图2 第22题答图 .EC=BD+A H. 0<450,b舍去，b3a,5m=4b=} 在DH上截取HK=HF,连接KF在BC上截取 ∠DEC=90°，∴.a24b2=20,.㎡+(3a)2=400,∴.-40， BP-EC,连接DP Saa=}r-子×40-30，△CBF的面积是30， HK=HF,∠BHF=6O°，∴.△HKF是等边三角形， 5.2图形的相似 KH=KFHF,∠HKF6O°，∴.∠B=∠HKF,KF-BD, 【例】(1)解：：四边形ABCD为菱形 .AK=AH+HK=AH+BD=EC-BP. .CD∥AB,AD∥BC,.∠CDA=180-∠A=70° ∴.△AKF≌△PBD(SAS),.DP-AF=2V3. .CD=CE,∴.∠CED=∠CDA=70° :点M是BC的中点，BM=CM. AD∥BC,∴.∠BCF=∠CED=70° BP-EC,∴ME=PM. 又：点N是DE的中点，MN=DPV了. (2)解：DE=21E,DE=号DA 23.(1)证明：DE⊥BC,.∠DEC=90°， EG∥AB,∴.△DEG∽△DAB .∴.∠D+∠DCE=90° %胎=号0c=号0子x15 :∠ABC=90°，∴.∠ABC=∠DEC. 10. ·.:线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD :四边形ABCD为菱形， .∠ACD=90°，AC=CD, .CD∥AB,CD=AB,.CD∥EG, ∴.∠DCE+∠ACB=90°，.∠ACB=∠D, .△ABC≌△CED(AAS). ∴.△EGF∽△CDF (2)解：PC=PD,理由如下： FG EG FG EG 2 CF是∠ACD的平分线，∠ACF=∠DCF, 票瓷示83 由(I)知，AC=CD,△ABC≌△CED, fG=号0G=号x104 .∠A=∠DCE. (3)证明：EG∥CD,.△CDF∽△EGF, .CF=CF,∴.△ACF≌△DCF(SAS), DE CF .∠A=∠PDC,∴∠PDC=∠DCE,∴PC=PD. FG-EF (3)①证明：：△BFP沿AF折叠，点P落在点E, DE∥BC,∴.△BCF∽△DEF, PF=EF,∠P∠PEE BFCF.DFBF :DE⊥BC,·.∠PED=90°，.∠PEF+∠DEF=90° DF-EF'FC DF' ∠P4∠PDE=90°，∴.∠PEF+∠PDE=-90°， .DF2=FG·BF ∠PDE=∠DEF,EF=DF,PF=DF,.点F是 一、选择题 PD的中点. 1.B2.B3.C4.C5.B6.C7.A8.C ②解：设CE=-a,BC=DE=b,.BE=BC-CE-b-a, 9.A10.C 由①知，点F是Pm的中点，PF=号Pm 二、填空题 68 参考答案 1.22.2&.号 14.2或0.815.12- AB为直径，∠ADB=90°， 设∠CAD=LDAB=Q,∴LCAE=2a. 4V5 由(I)知△CAD∽△CEA, 三、解答题 .∴.∠ADC=∠CAE=2. 16.(1)证明：：∠ACB=∠AED=90°，∠ABC= :四边形ABDC是圆的内接四边形， ∠ADE,∴.△ABC∽△ADE, .∴.∠CAB+∠CDB=180° AC-AB ,∠BAC=LDAE, 即2a+2a+90°=180°，解得a=22.5° AEAD ∴∠ADC=∠CAE=2x22.5°=45. .∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE, 19.证明：(1)：矩形ABCD, .∠CAE=∠BAD. 又4C=4B.AC-AE .∴∠BAD=90°，∠ADE=90°，AB=DC, AE-ADAB-AD .∴.∠ABD+∠ADB=90° ∴.△CAE∽△BAD. AE⊥BD,.∠DAE+∠ADB=90°， (2)解：AC:BC=1:2,BC=2AC ..∠ABD=∠DAE .∠ACB=90°， .∠BAD=∠ADE=90°，.△ADE∽△BAD .AB=VAC+BC=VAC+(2AC)=V5 AC. 提器4DnE~a4 由(1)可知，△CAE∽△BAD, AB=DC,AD2=DE·DC. BD-AR-V5AC-V5. (2)连接AC,交BD于点O, AC 17.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， 矩形ABCD,.∠ADE=90°， .∴.∠DAE+∠AED=90° AD∥BC,∴.∠DAE=∠AEB. :在□ABCD中，AB∥CD,.∠B+∠C=180°. AE⊥BD,∴.∠DAE+∠ADB=90°， :∠DFE=∠C,∠AFD+∠DFE=180°， ∴.∠ADB=∠AED. ∠FEC=∠AED,∴∠ADO=∠FEC, 六∠B=∠AFD,△ADF△EAB:.4D-DE AEAB 矩形ABCD,0A=0D=号BD, AD=BC,AB=CD,BC=DF AE CD EF-CF-BD 0A-OD-EF-CF. (2)解：在Rt△AED中，由勾股定理得AE= ∴.∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE. VAD+DE=1V(8V3)+8=16, .·∠ADO=∠FEC △ADF∽△EAB,.4D=FD AE AB' ..∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE. 630,解得D5V3. 8V3_ED ∠ODA=∠FEC, 在△ODA和△FEC中， ∠OAD=∠FCE, 18.(1)证明：CD=BD,.∠CAD=∠DAB. OD=FE. DE=AD,.∠DAB=∠E,.LCAD=∠E ∴.△ODA≌△FEC(AAS),∴.CE=AD. 又：∠C=∠C,∴.△CAD∽△CEA. (2)解：连接BD,如图， 第19题答图 20.(1)证明：∠ACB=90°，AC=BC, 第18题答图 .∴.∠A=∠B-45 69 数学 九年级下册（人教版） ∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF,∠A=∠CDF=45°， :①号“E”字与②号“E”字测试的视力相同. ∴∠ACD=∠BDF,.△ACD∽△BDF (2)由(1)可得，G0-4B OD OB 品-提.MCa4D-m (2)解：如图1，延长AC交BF的延长线于点T 1a-45,0B-5.03.g9D-7 答：②号“E”的高度CD应为27mm. 22.(1)证明：四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD,∠B=∠D. 又AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F, .·.∠AEB=∠AFD=90°， ∠B=∠D 图1 在△ABE与△ADF中 ∠AEB=∠AFD, AB=AD. ·.∠A=∠CDF=∠B=45°，.∠T=90°，TA=TB ·.:∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF, ∴.△ABE≌△ADF(AAS),AE=AF (2)证明：如图1，连接AC, ∠AC-∠BmR,△ACDADF,品-品 aD-0,品智 .AD-6V2,.AB-2AD-12V2, .TA=TB=12,.CT=12-9=3,TF=12-8=4, 图1 ..CF-VCTTF=V3+4-5. (3)解：如图2，过点E作EF与CD交于点F, ,四边形ABCD为菱形， 使∠EFD=45°， ∴AB=AD=CD=BC,∠B=∠D=60°， ∴.△ABC和△ACD均为等边三角形， ∴AC=AB,∠ACD=60°=∠B=∠BAC LEAF=∠B,∴.∠EAF=∠BAC, .∠BAE=∠CAF,∴.△BAE≌△CAF(ASA), 图2 .AF=AE. 第20题答图 AD∥BC,∠DAF=∠H. ∠B=∠ADE=45°，.∠BAD=∠EDF, .·∠D=∠B=∠EAF,.△EAH∽△FDA, “△ABD△DFE,Ag=AD DE DE 盟，AE-AF-DF-EH,AE=DNEH. .DE=V2 AD,AB-4V2,..DF=V2 AB=8. (3)解：如图2，在BC上取点E,使∠EAF=60°， ∠EFD=45°，∠ADE=45°， 连接EF,AC,AE, .∠EFC=∠DEC=135°， △BPC△DBC,瓷器 .EC=2V5,.EC=FC.CD=FC.(8+FC), 20=FC.(8+FC),.FC=2,.CD=10. 图2 2L.解：(1)由题可得AB∥CD, 第22题答图 .∠ABO=∠CDO,∠BAO=∠DC0, 由(2)知△AEF为等边三角形，△BAE≌△CAF, .·.△ABO∽△CD0. ..BE=CF. 器胎品品子 .BC=CD...EC=DF. 70 参考答案 DN/c,需-保器. .2a+a=90°，解得a=30° △ABG≌△ACF,∴.∠GAB=∠FAC, 需 ,.∠FBE=∠MBC, .LGAF=∠GAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF=LBAC, ∴.△FBE∽△MBC,∴.∠BFE=LBMC, .∴.∠AFE=∠AGE=∠C=∠ABC=. .EF∥CM,∴.∠ANC=∠AFE=60°， ..∠AFE=∠C=30°. ∴.∠ANC=∠ACF=60°. :LDFE=15°，∴.∠AFM=∠AFE+∠DFE=45. .△AFC∽△ACN,∴AC2=AF-AN AM⊥BC,∴.∠MAF-45°=∠MFA,∴AM=MF 设FN=1,则AF=n,AN=n+1, 设AM=MF=x,则AC=2x,MC=VAC-A证= acva*,需-长-a V(2x)x=V3x, n+1 ..CF=MC-MF=(V3-1)x. 23.(1)证明：∠B=∠C, ∴.△ABC为等腰三角形，AB=AC :CF-2DM,:DM-V3-1x, 2 AML BC,.点M是BC的中点， :DC-DM+MC-3V3-1x BM=CM=号BC 2 :DH=1DC-3V3-1* ~点D始终为BF中点，BD=DF=)BR 2 4 BA/-BD-DM.(BC-BF)-DM :.CH-VCD-DIF-9-V3 x, 4 又：BC-BF=CR,DM=7CR AH=AC-CH-V3-1x 4 (2)解：AE⊥EF,理由如下： 9-V3 -x .4 如图1，延长FE至点G,使FE=GE,连接AG, CH V3-1 .AH=4V3+3. -,CH BG,AF 4 ②当点F在点C右侧时，如图3，作DELAC交 AC于点H,连接AF,FE,AE,延长FE至点J,使 FE=E,连接AJ,BJ,则∠DHC=90°. D 图1 点D始终为BF中点，.DE∥BG,BG=2DE, 由旋转，得DE=DM,∠EDM=2a, B ∴.∠GBF=∠EDM=2a,BG=2DE=2DM=CF ∠ABC=∠C=a(0°<a<45), ∴.∠ABG=∠GBF-∠ABC=a=∠C. 图3 第23题答图 .AB=AC,∴.△ABG≌△ACF(SAS),.AG=AF FE=GE,.AE⊥FG,.AE⊥EF 由(2)同理可得AE⊥EF,由①同理可得∠AFE-a, (3)解：①当点F在点C左侧时，如图2，作 ∠HDC=∠MDE=2a,∠C=a, DE⊥AC交AC于点H,则∠DHC=90°. .2a+a=90°，解得a=30°， .·∠AFE=∠ACB=30° LDFE=号a,∠DFE=15 ..∠AFM=∠AFE-∠DFE=15°， D M 图2 ∴.∠CAF=-LACB-∠AFM=15=∠AFM, ∠HDC=2a,∠C=Q, .∴AC=FC 数学 九年级下册（人教版） 设AM=x,则AC=FC=2x, .BC=2PB=50 (n mile). DM-CF-,MG-VAC-AF-V3x. 2 .PA=100 n mile,∠4=30°， .DC=MC-DM=(V3-1)x, 4G=Y3PA=50V3, DB-V- 2 ∴AB=(50+50V3)n mile, .CH-VDC-DIP-3-Y3x. 2 :轮船的航速是20 n mile/h, AH=AC-CHl=2x-3-Y33x. 50+50V3≈6.8<7. 2 2 20 1+V3 ∴.轮船能在台风到来前赶到避风港B处 3册-2写 AH 2 一、选择题 3 2 1.D2.D3.B4.A5.D6.A7.D8.A 9.D10.D 综上所述，4的值为4V3+3或2V3+3 CH 二、填空题 5.3投影与视图锐角三角函数 11.2012.613.7.414.35V315.180 【例1】解：(1)如图1所示 三、解答题 16.解：(1)图形如下： 主视图 左视图 俯视图 图1 主视图 左视图 俯视图 (2)几何体的表面积为(6+5+6)x2+2=36. 第16题答图 (3)如图2，最多可以再添加3个正方体 (2)保持俯视图和主视图不变，最多可往第2列 前面的1个几何体上放一个小正方体，在第3列前面 的1个几何体上放2个小正方体，2+1=3（个）. 故最多可以再添加3个小正方体. 故答案为3. 图2 17.解：如图所示 例1题答图 【例2】解：(1)过点P作PC⊥AB于点C 在R1△ACP中，∠A=30°， 北 B Pc=PA·sin4=100×1= 2 主视图 左视图 主视图 左视图 50 (n mile). 459 在RL△BCP中，∠B=45°， 俯视图 .PB=W2PC=50V2≈ 30 俯视图 70.7 (n mile). 第17题答图 答：B处距离灯塔P约 y 18.解：(1)根据三视图，可得这个几何体是长 70.7 n mile. 例2题答图 方体.故答案为长方体 (2).PB=50V/2(n mile), (2)由三视图知，几何体是一个长方体，长方体 2图形的变化 专题五 5.2 图形的相似 例题点拨Q素养导向 【例】如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，连接CE交对角线BD 0 于点F,过点E作EG∥AB交BD于点G (1)若CD=CE,∠A=110°，求∠BCF的度数 (2)若BD=15,DE=2AE,求FG的长. (3)求证：DF?=FG·BF 例题图 【点拨】(I)先根据菱形的性质得到CD∥AB,AD∥BC,再根据平行线的性质得到 ∠CDA=70°，接着利用等腰三角形的性质得到∠CED=∠CDA=70°，然后根据平行线的性质， 由AD∥BC得到∠BCF=LCED.(2)先证明△DEG∽△DAB,得到EC-DC=DE=?,所以 AB DB DA 3' DG=号BD=10,再证明入FGRACDF,.得到祭-瓷.则器-号，然后利用比例的性质求 出FC的长.(3)先证明△CDF∽△EGP,得到=乐，证明△BCT∽△DEE,得到K DE 。则利用等量代换得到咒邵，然后根据比例的性质得到结论 CF 专项测试坤拓展提升 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.观察如图每组图形，是相似图形的是() B 2.如图，11∥12∥L3,AB=2,DE=3,BC=4,则EF的长为（) A.4 B.6 C.8 D.10 第2题图 143 数学 九年级下册（人教版） 3.如图，在△ABC纸片中，∠A=76°，∠B=34°.将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方 式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是() 76 第3题图 A.①② B.②④ C.①③ D.③④ 4.如图，点P在△ABC的边AB上，∠A=70°，∠B=45°，若△ABC∽ △ACP,则∠APC=() A.45° B.55 C.65° D.75° 第4题图 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'位似，位 似中心是原点O.已知BC:B'C'=1:2,则点B(2,O)的对应点B'的坐 标是() A.(3,0) B.(4,0) B B C.(6,0) D.(8,0) 第5题图 6.若△ABC△DEF,且SAM:SA=3:4,则△ABC与△DEF的周长比为() A.3:4 B.4:3 C.V3:2 D.2:V3 7如图，AD是A1BC的中线，点E在AC上，B5交AD于友E若品号，则怎为() A.6 B D 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC,则 △CEF的面积为() A.10 B.8 C.5 D.4 9.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,BC=5,结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段 AQ的长为( A.2V13 B.2V15 C.6 D.120 13 144 图形的变化 专题五 10.“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）是中 图中由左向右依次为 测杆、水准仪、照板 国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独 立发展的重要标志.制作地图时，人们会利用测杆、水准仪 和照板来测量距离.在如图所示的测量距离AB的示意图中， 记照板“内芯”的高度为EF观测者的眼睛（图中用点C表 示)与BF在同一水平线上，若某改测量中品-号，则下列 第10题图 结论中错误的是() A能5 B.EF、1 D.SACHE=1 AB6 c器 SACAB 36 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，在△ABC中，DE∥BC.若AD:AB=1:3,DE=4,则BC= 第11题图 第12题图 12.如图，AB∥CD,AD与BC相交于点O,且△AOB与△DOC的面积比是1：4，若 AB=6,则CD的长为 13.在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C”.若点A 和它的对应点A'的坐标分别为(3,7)，(-9，-21)，则△ABC与△A'B'C'的相似比为 14.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度 为2cms,动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s.如果P,Q两动点同时开始运 动，那么经过 s时△OBP与△ABC相似. 第14题图 第15题图 15.如图，△ABC为顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为V5-1的三角形是黄金三 2 角形)，若△ABC,△BDC,△DEC都是黄金三角形，已知AB=8,则DE= 145 口数学 九年级下册（人教版） 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）》 16.(8分)如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE,连接 BD,CE. (1)求证：△CAE∽△BAD. (2)若AC:BC=1:2,求BD的值. CE 第16题图 17.(8分)如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC,垂足为点E,连接AE, F为线段AE上一点，且∠DFE=∠C. )证：船器 (2)若AB=10,AD=8V3,DE=8,求DF的长. 第17题图 18.(8分)如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O,CD=DB,AB,CD的延长线 相交于点E,且DE=AD. (1)求证：△CAD∽△CEA. (2)求∠ADC的度数. 第18题图 @ 图形的变化 专题五 19.(8分)如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD. (1)求证：AD=DE·DC. (2)F为线段AE延长线上一点，且满足EF-CFBD,求证：CE=AD 第19题图 20.(8分)【基础巩固】(1)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是AB边 上一点，F是BC边上一点，∠CDF=45°.求证：ACBF=ADBD. 【尝试应用】(2)如图2，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，∠A=∠B= ∠CDF=45°，若AC=9,BF=8,求线段CF的长 【拓展提高】(3)如图3，在△ABC中，AB=4V2,∠B=45°，以A为直角顶点作等腰 直角三角形ADE,点D在BC上，点E在AC上.若CE=2V5,求CD的长， 图1 图2 图3 第20题图 @ 数学 九年级下册（人教版） 21.(10分)【项目式学习】制作“E”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为5），以小组合作方式，制作变更测试 距离的视力表。 【课题结论】()如图1，利用“E”的高度与它到眼睛的水平距离1之比即么来刻 画视力. (2)大小不同的E”,只要它们这一比值即二相同，那么用他们测得的视力就相同。 【课题应用】(1)根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个 “E”字，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点A,C,0在 同一直线上为止，其中AB是①号“E”字的高度，CD是②号“E”字的高度，请用所学知 识证明：此时①号“E”字与②号“E”字测试的视力相同. (2)小明想制作一张测试距离为3m的“E”形视力表.如图2所示，①号“E”是标准 对数视力表中视力为4.2的“E”字，其高度AB为45mm,求小明在制作视力为4.2的②号 “E”字时，②号“E”的高度CD应为多少毫米？（点A,C,O在一条直线上，点B,D,O 在一条直线上) ① 图1 图2 第21题图 22.(12分)【问题背景】(1)如图1，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于 点F求证：AE=AF 【类比迁移】(2)如图2，在菱形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，∠FAE= ∠ABC=60°.延长AF交BC的延长线于点H.求证：AE=DFEH. 【拓展应用】(3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，F为CD上一点，延长BF交 AD的延长线于点M,连接CM,延长AF交CM于点N,已知AF=nFN,求∠ANC的度数， 并直接写出票的值，（用含n的式子表示） 图 图2 图3 第22题图 148 图形的变化 专题五 23.(13分)如图，在△ABC中，∠B=∠C=a(0°<a<45),AM⊥BC于点M.D是线段 BM上的动点，F是线段BC上的动点（点D不与点M重合），运动过程中D始终为BF中点 (I)求证：DM=CR (2)将线段DM绕点D逆时针旋转2x得到线段DE,连接AE,EF,试判断AE与EF的 位置关系，并说明理由 (3)将“D是线段BM上的动点，F是线段BC上的动点（点D不与点M重合）”条件变 为“D是线段BC上的动点，F是射线BC上的动点（点D不与点M重合）”，其余条件不变 在(2)的条件下，若直线DB与AC互相垂直，垂足为H当∠DFF)0时，求的值 M 备用图 第23题图 @