第二十八章 锐角三角函数 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

拔尖特训·数学（人教版）九年级下 第二十八章整合拔尖 “答案与解析”见P44 知识体系构建 ∠A的对边 正弦的定义 sin A= (0<sinA<1) 斜边 在Rt△ABC中， ∠A的邻边 正弦、余弦、 ∠C=90° 余弦的定义 cosA= (0<cosA<1) 斜边 正切的定义 ∠A的对边 正切的定义 tanA= ∠A的邻边 特殊锐角的 sin30°= 2,sin45 2,sin60°= 3 2 三角函数值 C0s30° 2,c0s45°= 2 2,c0s60°= 2 锐角三角函数 an30°= 3,tan45°=l,tan60°=3 用计算器求 己知锐角，用计算器求锐角三角函数值 锐角三角函 数值或求锐角 己知锐角三角函数值，用计算器求相应锐角的度数 直角三角形的边角关系 三边之间的关系 a+b2=c(勾股定理) 解直角 a,b为直角边，c为斜边 两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90° 三角形 边角之间的关系 解直角三角形的基本类型知二（至少有一条边）求三 仰角、俯角 解直角三角形的应用中常见的概念 方向角 解直角三角形的应用 坡度（坡比）、坡角 解直角三角形的应用问题的一般步骤 9幻高频考点突破 考点一网格背景下的锐角三角函数 变式]如图，网格内每个 典例1如图，网格内每个小 小正方形的边长都是1个 正方形的边长都是1个单位 单位长度，△ABC在网格 长度，A,B,C,D都是格点， 内，且A,B,C都是格点，D 且AB与CD相交于点P,则 为BC的中点，连接AD,则cos∠BAD的值为 sin∠APD的值为 (典例1图) 70 第二十八章锐角三角函数 考点二解直角三角形及综合 的长度，求点B到AC的距离（参考数据sin37°≈ 典例2如图，在△ABC中，∠B和∠C都是锐 0.6,os37°≈0.8，tan37°≈0.75). 角.若∠B=α，∠C=B,则下列结论中，正确 的是 (典例3图) B (典例2图) A.AB·cosB=AC·cosa B.AB·sina=AC·cosB C.AB·sina=AC·sinB D.AB·sinB=AC·sina [变式](2025·芜湖南陵一模)如图，在等边三 [变式](2025·盐城一模)如图，大楼AB的底 部有一障碍物，在另一幢小楼DE的顶端D处 角形ABC中，AB=2√3，点D在AC上， 测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶 tan∠ABD= 写，则CD的长为 )端点A的仰角为45（点B,C,E在同一水平直 线上).已知AB=80m,DE=10m,求障碍物 B,C两点间的距离（结果保留根号）. A.55 C.2 D.√3 C30E 考点三解直角三角形的实际应用 典例3(2025·阳泉平定一模)高铁列车座位 后面的小桌板收起时可以近似地看作与地面垂 直，展开小桌板后，桌面会保持水平.如图所示 为小桌板展开后的示意图，其中OB表示小桌板 桌面的宽度，BC表示小桌板的支架长度，连接 OA,此时OA=75cm,∠AOB=∠ACB=37°， 且支架长BC与桌面宽OB的长度之和等于OA 71 拔尖特训·数学（人教版）九年级下 墨综合素能提升 1.如图，在四边形ABCD中，cosB= 之，直线 5.新考法·过程性学习我们所学的锐角三角函 数反映了直角三角形中的边角关系：如图①， EF分别交AB,BC于点E,F,则∠AEF十 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=a,sina= ∠EFC的度数为 os&一6mC一银地，当a BC 为任意角时，sin(a十B)与sin(a一B)的值可 E (第1题) 以用下面的公式求得：sin(a+B) A.135 B.225° sin acos B+cosasin B;sin(a-B)=sin acos B- C.265° D.280 cos asin3.例如：sin15°=sin(45°-30°)= 2.(2025·深圳龙华期中)在△ABC中，若 sin45°cos30°-cos45'sin30°=y6-√/2 4 ∠A,∠B满足 A受} (1)计算：sin105°= 名}°-0，则△1C是 (2)如图②，在△ABC中，∠B=15°，∠C 45°，AC=2√3一2，求AB和BC的长 A.等腰（非等边）三角形 B等边三角形 C.直角三角形 B ① ② D.钝角三角形 (第5题) 3.如图，△ABC,△DCE,△FEG是三 个全等的等腰三角形，底边BC, CE,EG在同一条直线上，连接AG, 与边DC,DE,FE分别交于点P,Q,N.若 △DPQ是以∠DPQ为直角的直角三角形， 则sin∠BAC= (第3题) (第4题) 4.已知点A(-2,0),B(6,0),C(0,m),以BC 为斜边按如图所示的方式作Rt△PBC(B, P,C三点按顺时针方向排列)，使∠BPC 90°，tan∠BCP=2,连接AP.当线段 AP的长最小时，点P的坐标为 ,此 时m= 72 第二十八章锐角三角函数 6.随着科学技术的发展，机器人能按照设计的7.(1)刘老师提出这样一个问题：已知 指令完成各种动作，在坐标平面上，根据指令 a为锐角，且ama=方求sm2a的 [s,a](s≥0,0°<a<180),机器人能完成下 列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其对 值.下面是小娟的解法：如图①，在⊙O中， 面方向沿直线行走距离s. AB是直径，点C在⊙O上，∠BAC=a, (1)如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面 ∠ACB=90',tana BC 1 AC=3'∠BOC= 对y轴的正方向，现要使其移动到点A(2,2), 2a.设BC=x,则AC=3x.∴.AB=√10x 则给机器人发出的指令应是 (2)机器人在完成上述(1)中的指令后，发现 过点C作CD⊥AB于点D,求出CD 在点P(6,0)处有一小球正向坐标原点做匀 (用含x的式子表示)，可求得 速直线运动，已知小球运动的速度与机器 CD sin 2a- OC 人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转 (2)如图②，M,N,P为⊙O上的三点，且 的时间，请你给机器人发出一个指令，使它刚 ∠P=B,tanB= 2,求sin23的值， 好能截住小球参考数据：sin53°≈0.8， M cos37r0.8,tan37r≈，an26.50.5】 D ① ② (第7题) (第6题) 73D(m,am2-2am-3a)(0<m< 3),则AM=m+1,DM=-am2+ 2am+3a. AD-DE, .'.EM=AM=m+1. 将△ADB沿DE方向平移得到 △A'EB',相当于将△ADB向右平移 (m+1)个单位长度，再向上平移 (-am2+2am+3a)个单位长度. A(-1,0),B(3,0), '.A'(m,-am2+2m+3a),B'(m+4, -am2+2am+3a). 设抛物线L对应的函数解析式为y= a.x2+b.x+c(a>0). 点A',B都在抛物线L'上 '.-am2+2am+3a=am2+bm+c, -am2+2am+3a=a(m+4)2+ b(m+4)+c,解得b=一2am-4a, c=6am+3a. ∴.抛物线L'对应的函数解析式为 y=ax2+(-2am-4a)x +6am+ 3a. ax2-2ax-3a=ax2+(-2am- 4a)x+6am+3a,得(m+1)x 3(m+1), .x=3. ∴.抛物线L'与L交于定点(3,0). C ① B B D C ② (第5题) 第二十八章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1号 解析：如图，过点B作 BF∥CD,连接EF,∴∠ABF= ∠APD.'BE=EF=√22+1P √5，BF=√2+32=√0，.BE2十 EF8=BF.∴.∠BEF=90 ∴.∠ABF=45°.∴.∠APD=45. s血∠APD的值为号 A D (典例1图) [变式] /10 10 解析：如图，延长 AD至点E,使DE=AD,连接CE,取 CE的中点F,连接AF,则，点E,F都 在格点上.，DE=AD=√22+1卫 5,AC=√4+2=2W5,∴.AE AD+DE=2√5.∴.AE=AC.F 为CE的中点，.AF⊥CE.又 :BD=CD=3,∠ADB=∠EDC, ∴.△ABD≌△ECD.∴.∠BAD= ∠CED.EF=√+1下=√2，在 Rt△AEF中，cos∠CED= EF AE 25 10 ,.cos∠BAD=@ 10 B 典例2C [变式]B解析：过点D作DE⊥ AB,垂足为E.·△ABC是等边三 角形，∴.AB=AC=2√3，∠A=60°. 44 DE 在Rt△DEB中，tan∠ABD= BE ,设DE=5x,则BE=5.在 Rt△ADE中，AE= DE 3x tan60° √3 DE√3x x,AD= =2x..·AE+ sin60° 3 BE=2√3，'.x十5x=2√3，解得x= 3 AD=2x= 2 3CD= AC-AD=4 31 典例3如图，延长OB交AC于点D. 由题意，得BD⊥CA. 设BC=xcm,则BO=OA-BC= (75-x)cm. 在Rt△CBD中，BD=BC· sin∠ACB=x·sin37°≈0.6.x(cm), .DO=OB+BD=75-x+0.6x= (75-0.4x)cm. 在Rt△AOD中，DO=AO· cos∠AOD=75·cos37°≈60(cm), .75一0.4x=60,解得x=37.5. .BD=22.5cm. '.点B到AC的距离约为22.5cm (典例3图) [变式]如图，过点D作DF⊥AB 于点F,则BE=DF,DE=BF= 10m. 在Rt△ADF中，AF=AB-BF= 70m,∠ADF=∠DAF=45°， ∴.DF=AF=70m. 在Rt△CDE中，DE=10m, ∠DCE=30°， CE=DE 10 tan30°5 =103(m). 9 .BC=BE-CE=DE-CE=(70- 10√5)m. .障碍物B,C两点间的距离为 (70-10w3)m. B [综合素能提升] 1.B2.B 3号 解析：·△ABC,△DCE, △FEG是三个全等的等腰三角形， .BC=CE=EG,∠B=∠DCE= ∠FEG.'.AB∥DC∥EF.∴.△CPG △BAG.S-%令AB=AC= m则=景=号m在 2 m △Ac中，N=√m-(号m= 5 3m.∴.sin∠ACP=A=3n √5 AC 3 .:AB∥CD,.∠BAC= ∠ACP.∴.sin∠BAC=sin∠ACP= 5 31 4(号) 4解析：如图①，在 R△BC中，m∠PCn-得-2 .PB=2PC.设P(a,b).由题意，知 ab≤0.过，点P分别作PE⊥x轴于点 E,PF⊥y轴于点F,.E(a,0), F(0,b),∠PEB=∠PEO= ∠PFC=90°.∴.四边形OEPF是矩 形.∴.∠EPF=90°.∠BPC=90°， .∠BPE+∠CPE=90°」 ∠CPF+∠CPE=90, .∠BPE=∠CPF.∠PEB= ∠PFC=90°，∴.△PEB∽△PFC 器器腮-2服=r PE=2PF.∴.lb=2a.ab≤0， .b=-2a..b2=4a2.A(-2, 0),P(a,b),∴.AP2=(a+2)2+b2= a2+4a+4+b2=a2+4a+4+4a2= a2+4u+4=(a+号)》+9当 a=一二时，AP的长最小，最小值为 5 5b=-2a=号p(-号 2 5 专)，此时点P在第二象限，如图② 所示.B(6,0),C(0,m),∴.BE= 6-a=.CF=m-手BE 32 20F2(m-)=3是m=4 ② (第4题) 5.)②+6 4 (2)如图，过点A作AD⊥BC于点 D,在BC上找点E,使BE=AE,连 接AE. ∠C=45°，AC=25-2, .∠DAC=45 .AD CD,sin C= AD AD 23-2 ∴AD=√6-√2 .CD=√6-√2 :∠B=15,sinB=AD AB :6-巨6-2 AB .AB=4. BE=AE. ∴.∠B=∠EAB=15. ∴.∠AED=30° 45 ∴.BE=AE=2AD=2√6-2√2. :m∠AED品 :56-2 3ED· ∴.ED=32一√6 ∴.BC=BE+ED+CD=2V6. B E D (第5题) 6.(1)[2√2,45].解析：如图，作 AB⊥x轴于点B.A(2,2), ∴.OA=V√22+22=2√2，OB=AB. ∴.∠AOB=∠OAB=45..给机器 人发出的指令为[2W2,45]. (2)如图，在OP上找一点C,连接 AC,使得AC=PC. 设PC=x,则AC=x,BC=4-x. 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2, 即22+(4-x)2=x2,解得x=2.5. .AC=2.5,BC=4-x=1.5. 又"，'tan∠BAC= BC=:5=3 AB=2=4 ∴.∠BAC≈37. .∠OAB=45°， ∴.∠OAC=37°+45=82°. ∴.∠DAC=180°-82°=98°. .给机器人发出的指令为 [2.5,98]. D 0 C (第6题) 7.1)3西，.3 10x5 (2)如图，连接NO并延长，交⊙O于 点Q,连接MQ,MO,过点M作 MH⊥NO于点H. 在⊙O中，∠NMQ=90°. :∠Q=∠P=B, ∴.∠MON=2∠Q=23. :m8浴子 .设MN=k,则MQ=2k. ∴.NQ=√MN+MQ=√5k QM-NQ- 6. :Saw=专MN·M0-号NQ· MH, ∴.k·2k=√5k·MH. .H MH 在Rt△MHO中，sin29=OM 2 5 4 5 5 (第7题) 第二十九章投影与视图 29.1投影 1D2D39 4.acos 20 5.C6B7.C8.0+855 24 9.6 10.设当AC的宽为x米时，太阳光 能直接射人室内. 根据题意，得∠ACB=60°，且AB= 1.5米. =tan60=√5， .=8 21 .当AC的宽大于0米且不大于 号米时，太用光能直按射人室内。 11.(1)路灯灯泡所在的位置G如图 所示」 (2).AB//GH, .△ABC∽△GHC. “品C .GH=AB.HC_1.6X(6+3) BC 3 4.8(m). (3)如图，A,B1GH, ∴.△A,B,C,△GHC. 品忌 B1为HB的中点， .HB1=3m. 设B,C1=a1m. 小+ 3 3 a,=2,即B,C=2m 设B2C2=a2m 同理，可得干 ∴.a2=1,即B2C2=1m. 按此规律，易得B,C。=十m 3 777777777 77777 B2 B(C)C B (第11题) 易错警示 对中心投影的理解错误 部分同学容易误认为物体在 中心投影下，物高与影长成比例， 而事实上：①等高的物体垂直于地 面放置时，在灯光下，离点光源近 的物体的影子短，离，点光源远的物 体的影子长；②等长的物体平行于 地面放置时，在灯光下，点光源越 低，影子越长，点光源越高，影子越 短，但不会比物体本身的长度还短 29.2三视图 第1课时由几何体到三视图 1.B2.D3.A4.9655.B 6.A7.C8.C9.C10.S3< S2<S 11.如图所示. 主视图 左视图 俯视图 (第11题) 46 方法归纳 三视图的画法 视图位置要明确，画图规则要 记清.主、俯视图“长对正”，左、俯 视图“宽相等”，主、左视图“高平 齐”，实线和虚线要分清 12.(1)如图所示. (2)1:2:3. (3)最多可以再添加4个正方体. 主视图 左视图 俯视图 第12题) 13.(1)主：俯 (2)这个组合几何体的表面积为2× (8×5+8×2+5×2)+3.14×4×6= 207.36(cm2). 第2课时由三视图到几何体 1.D2.B 3.根据三视图，可得上面的长方体长 4mm,宽2mm,高4mm,下面的长方 体长8mm,宽6mm,高2mm, '.这个几何体的表面积是4×4×2十 4×2×2+4×2+6×2×2+8×2× 2+6×8×2-4×2=200(mm2). 4.A5.A6.C 7.3π+4 易错警示 不能正确识别半圆柱的三视图 此处求表面积时，要注意该 几何体是半圆柱，切勿求成圆柱 的表面积。 8.350解析：一件工件的表面积 为2×(30×20+20×20+10×30+ 10×10)=2800(cm),2800cm2= 0.28m,'.涂完这批工件要用防锈 漆5000×0.28÷4=350(kg). 9.14.4解析：由三视图可得该模型