第28章 锐角三角函数(重难题思维训练)（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

第二十八章锐角三角函数 题型18在网格中求锐角三角函数的值 例【一题多解】如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C,D都在小正方形 的顶点上，AB,CD相交于点P,则tan∠APD的值为 () A B.5 C.2 D.22 拔⊙【变式1】【一题多解】(2025·安庆潜山期末)如图，点A,B,C在正方形网格的格点（小正 高 方形的顶点)上，则sin∠ACB的值为 ( 题 A. 1 5 B 5 C.2 D 3 【变式2】如图，在4×4的正方形网格中，A,B,C,D为格点，连接AB,CD相交于点 E,则tan∠AEC的值是 压【变式3】(2025·合肥肥西期末)在如图所示的小正方形网格中，A,B,C,D均为小正方 轴 形的顶点，线段AB和CD相交于点O,则∠AOC的度数为 () 题 B A.30 B.45° C.60° D.46° 第二十八章锐角三角函数19 题型19在网格中作角 例(2025·滁州全椒三模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中， AB是以网格线的交点为端点的线段， (1)将线段AB向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到线段CD,请画出线 段CD; (2)在网格中，以线段CD为一边，作菱形CDEF,连接DF,使tan∠CDF-号，点E,F也 为格点. - - -- A---1- 拔【变式1】(2025·芜湖无为二模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格 高 中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）， 题 (1)以点O为旋转中心，将△ABC旋转180°，得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1; (2)将线段AB向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段DE,画出 线段DE(点D与点A对应，点B与点E对应)； (3)在(2)的条件下，在网格中画出一个格点F,使得sin∠DEF=5。 压【变式2】(2025·合肥巢湖一模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的6×6 轴 的网格中，线段AB的端点均为格点（网格线的交点） 题 (1)在网格中画一个四边形ABCD,使得四边形ABCD是中心对称图形但不是轴对称 图形，C与D都为格点； (2)在网格中确定一点E,使得tan∠AEB=2. 20数学9年级下册RJ版 题型20相似三角形、圆、锐角三角函数的综合应用 例【一题多解】(2025·合肥瑶海区二模)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为 边AB的中点，点E,F分别在边AC,BC上，连接DE,DF和EF,ED⊥DF,连接BE. (1)求证：∠AED=∠CFD. (2)若∠CBE=k∠ADE. CF ①当k=1时，求8F的值： ②如图2，当k=2时，求tan∠CFE的值. D D 图1 图2 第二十八章锐角三角函数21 压◇【变式】(2025·合肥四十二中三模)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D是 轴 直线BC上的一个动点，以AD为底边作等腰直角三角形ADE,连接BE并延长交直 题 线AC于点F,G为BC的中点，连接AG,EG,FD. (1)如图1，若点D在线段BC上，求证： ①△AEGC△ADC; ②I一题多解】FD⊥BC. (2)如图2，若点D在线段BC的延长线上，AE与BC相交于点H,当△ABC与 △ADE企等时，求片的值， G G D 图1 图2 22数学9年级下册RJ版(180°-90)=45° (2)①由(1)可得，∠BEC=∠CBE=45°， ∴.BC=EC=2. 设AE=GE=x,则AC=AE+EC=x十2. BC∥EG,AB∥CG, ∴.∠ACB=∠CEG=90°，∠A=∠ACG, ∴.△ABC∽△CGE, 8器 m2_x十2 x 2 整理，得x2十2x=4,解得x=√5-1（负值舍去）， ∴.AE=√5-1，AC=√5-1+2=√5+1， 能料 ②由折叠的性质，得∠A=∠BGE BC∥EG,AB∥CG, .∠A=∠ACG,∠ACB=∠CEG=90. CF⊥BG,.∠CFG=90°， ∴.∠CEG=∠CFG=90°. ,∠AHG=∠CHB,∴.∠BGE=∠ACF, .∠A=∠ACF,.AD=CD. BC∥EG,∴△BCH∽△GEH, BC BH GEGH AB∥CG,.△ABH∽△CGH, 州8册器0 由①，知BC=EC,AE=GE, 器HCA CH AE CH-AE. AD=CD,∠A=∠ACF, .△AED≌△CHD(SAS),∴.ED=HD. 第二十八章锐角三角函数 题型18在网格中求锐角三角函数的值 【例】C【变式1】A【变式2】3【变式3】B 题型19在网格中作角 【例】略【变式1】略 【变式2】解：(1)如图，四边形ABCD即为所求.（答 案不唯一) (2)如图，取格点F,连接AF,BF,取BF的中点E, 答 连接AE. 在△ABF中，AB=√32+1下=√I0,BF= √3+1=√10，AF=√4+22=2√5， ..AB2+BF2=AF2, ∴.△ABF是直角三角形，∠ABF=90° 在R△ABE中，AB=0,BE=10 2, .tan∠AEB= AB√10 BE 10 2. 2 此时，点E即为所求.（答案不唯一） 题型20相似三角形、圆、锐角三角函数的 综合应用 【例1(1)路(201生5 ②3 【变式】解：(1)证明：①△ABC,△ADE是等腰直 角三角形， ∴AB=AC,EA=ED,∠BAC=∠AED=90°， ∠ABC=∠ACB=∠EAD=∠EDA=45°. G为BC的中点， .∴.AG⊥BC, ∴△AGB,△AGC是等腰直角三角形， .∠DAE=∠CAG=45°， .∠DAE-∠DAG=∠CAG-∠DAG, 即∠GAE=∠CAD. AD?,cos∠CAG=AG-V2 :cos∠EAD=AE-V2 AC2 ADCAEGAADC ②△AEG∽△ADC,∴∠AGE=∠ACD=45. 由①，知AG⊥BC,.∠AGB=90°，.∠EGB=45°， .∠EGB=∠ACD,.EG∥AC. .BE_BG-1, :G为BC的中点，心EF-GC E为BF的中点. ∠BAF=90°，.AE=BE=FE=DE. 解法1：因此点A,B,D,F在以点E为圆心，BF为 直径的圆上，∴∠FDB=90°，∴.FD⊥BC. 解法2：根据BE=FE=DE,可设∠EFD=∠EDF= a,则∠BED=2a, ∴∠EDB=∠EBD=218O-∠BED)=90-a, ∴∠FDB=∠EDF+∠EDB=a十90°-a=90°， .FD⊥BC (2)81 2 案16·