28.1 第3课时 特殊角的三角函数值&专题特训九 求锐角三角函数值的常用方法-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

第二十八章锐角三角函数 第3课时特殊角的三角函数值 ●“答案与解析”见P33 山基础进阶 幻素能攀升 1.已知coa=4,则锐角a的取值范围是（ 6.如图，在△ABC中，a,b,c分别为 ∠A,∠B,∠C的对边.若∠B= A.0°<a<30° B.30°<a<459 C.45°<a<60° D.60°<a<90 60,则，千6十千6的值为 () 2.(2025·云南模拟)在△ABC中，若 +(tanB-1)2=0,则∠C的度 数是 (第6题) A.45° B.60°C.75 D.105 3.在△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A, A 号 C.1 D.2 ∠B,∠C的对边，且有c2+4b2一4bc=0,则 7.若锐角x满足tanx-(5+1)tanx十√3= sinA+cosA的值为 0,则x= A.13 B1+ 8.一般地，当a,3为任意角时，sin(a十B)与 2 2 sin(a一B)的值可以用下面的公式求得： C1+② 3+2 sin(a+B)=sin acos B+cos asin B;sin(a- 2 D 2 B)=sin acos B-cos asin B. 4.(2025·青岛市北一模)计算：√9+tan45°- 例如：sin15°=sin(60°-45°)=sin60°cos45°- (π-3)°= 类似地，可以求得 5*已知a为锐角，sin(a十15°)= 之，计算8 cos60sin45°=6-√2 4 sin75°的值是 4cos a+tan a- 的值 9.在△ABC中，已知∠A=60°，∠B 为锐角，且tanA,cosB恰为一元二 次方程2x2-3m.x十3=0的两个实 数根.求m的值并判断△ABC的形状， 55 拔尖特训·数学（人教版）九年级下 专题特训九求锐角三角函数值的常用方法 :》“答案与解析”见P34 类型一定义法 过点C作CEDB,BE,CE交于点E,连接 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3,AC=2, DE,则tan∠EDC的值为 那么cosA的值是 ( n号 0 A.吉 R昌 2.(2025·哈尔滨模拟)已知正方形ABCD的 (第5题) 边长为2，P是直线CD上一点.若DP=1, A B寻 C 则tan∠BPC的值是 6 n是 3.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,以 6.(2025·南阳南召开学)在Rt△ABC中，∠C= AC为直径的⊙O与BC交于点D,DEI 90,若c0sA= 3,则sinB的值为 AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线 7.如图，在□ABCD中，BF是边CD 交于点F. 上的高，O是高BF上一点，以点O (1)求证：DE是⊙O的切线 为圆心，OB长为半径画圆，⊙O经 (2)若⊙O的半径为2，BE=1,求cosA的值 过B,C,D三点，高BF的延长线与⊙O交 于点E,连接CE,BD (1)若AB=BC,求证：直线AD是⊙O的 0 切线。 (第3题) (2②)连接AE交CD于点G.若脱-，求 tan∠BEC的值. (第7题) 类型二设参数法 4.(2024·无为三模)在锐角三角形ABC中， 1 AD⊥BC于点D.若tan∠BAD= 2’ an∠CAD=,则∠BAC的度数是() 类型三等角替换法 A.30°B.45° C.60°D.90 8.(2025·宿迁宿豫一模)如图，⊙O位于由边 5.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于 长均为1的小正方形组成的网格中，点O在 点O,AB:BC=3：2,过点B作BE∥AC, 格点上，点A,B,C在⊙O上，且都在格点 56 第二十八章锐角三角函数 上，则∠ABC的正弦值是 ）类型四 构造直角三角形法 12.如图，在正六边形ABCDEF中，AC=2√3， 则它的边长是 A.1B.√2 C.5D.2 (第8题) A R C.25 D. 5 9.如图，在4×4的网格图中，每个小正方形的 B B (第12题) (第13题) 边长均为1，点A,B,C均在格点上，D是 13.如图，半径为√3的⊙0与边长为8的等边三 AB与网格线的交点，则sin∠ADC 2 的值是 角形ABC的两边AB,BC相切，连接 OC,则tan∠OCB的值为 14.如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4,则 tan15的值为 B (第9题) (第10题) (第14题) 10.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,H 15.在△ABC中，已知AB=10,AC=2√7， 是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，使得 ∠B=30°，求△ABC的面积. 点B落在矩形内的点P处，连接AP,则 tan∠HAP的值为 11.如图，正方形ABCD的边长为1，E,F分别 为边BC,CD的中点，连接AE,BF交于点 P,连接PD,求tan∠APD的值 B E C (第11题) 57,解析：连接OD.,AB是⊙O 的直径，且经过弦CD的中点H, .AB⊥CD...∠OHD=∠BHD= 90s∠CDB=D那=号，BD 5,.DH=4.BH= √BD-DH=3.设OH=x,则 OD=OB=x+3.在Rt△ODH中，由 勾股定理，得OH+DH=OD,即 x2+4=（x十3)2，解得x=6 7 2 OB=OH+BH=6+3- 61 :00的半径为号 解析：如图①，在 Rt△ABC中，∠B=90°，AC=2AB, 则易知最小的角为∠C,根据勾股定 理，得BC=√AC2-AB=√5AB. 小mC-提AB一返 BCV5AB了·如图②， 在Rt△ABC中，∠B=90°，BC= 2AB,则最小的角为∠C,.'.tanC= 瓷踪上所述，这个直角三角毛 中较小悦角的正切值为号皮 1 C B ① ② (第9题) 10 ,解析：如图，给图中各点标 上字母，并连接CE,DE,AE.在 △ABC中，.∠ABC=60°X2= 120°，BA=BC,∴.a=30°.同理，可得 ∠CDE=∠CED=30°=a.:∠AEC= 60°，.'.∠AED=∠AEC+∠CED 90°.设等边三角形的边长为a(a> 0),则BD=AE=2a,DE √BD2-BE=5a.∴.AD √AE+DE=√7a.∴.cos(a+ B)=coS∠ADE-AB DE√21 7 B (第10题) 11.依题意，得拼接得到的四边形 ABCD为矩形， .:AB=CD=5,BC=AD=CF+ BF=8+5=13. ∴.在Rt△CEF中，tan∠CEF CF EF 8 :在Rt△CAB中，tan∠EAB=AB 13 :tan∠CEF>tan∠EAB, ,'.∠CEF>∠EAB ·EF∥AB, .∠EAB+∠AEF=180°. ∴.∠CEF+∠AEF>180°. ∴A,E,C三点不共线， 同理，可得A,G,C三，点不共线。 ∴拼接得到的矩形内部有空隙，故面 积比拼接前多了1. 12.如图，过点A作AH⊥y轴于点 H,过点B作BK⊥AH交HA的延 长线于点K,则∠AHO=∠BKA= 90°=∠BAO. .'.∠AOH=∠BAK=90 ∠HAO. ∴.△AHO∽△BKA. ÷款张器 :∠BA0=90,tam∠AB0=2,点 A的坐标为（一4,3）， OA1 .OH=3,AH=4,AB=2 431 .BKAK =2 .BK=8,AK=6. ,将△ABO平移，得到△EFG, ∴.OF=BK=8,OE=AK=6. .E(6,0) ∴.将点A先向右平移10个单位长 33 度，再向下平移3个单位长度得到 点E. .将点O(0,0)先向右平移10个单 位长度，再向下平移3个单位长度得 到点G .点G的坐标为(10，一3) y G F (第12题) 13.(1)如图，过点A作AE∥PC,与 PB的延长线交于点E. BC是⊙O的直径， .∠BPC=90. ·AE∥PC, '.∠AEP=∠BPC=90° 易知AB=BC,∠ABE=∠CBP, .'.△ABE≌△CBP. .BE=BP,AE=CP 1 PB-7PC, .易得AE=PE. :tan∠APB=p能 =1. (2)由(1)，可得△ABE≌△CBP. ∴.BE=BP,AE=CP :.tan∠APB-=P元-2PB AE PC 如图，过点D作DFPB,与PC的延 长线交于点F. 同理，可证△PBC≌△FDC,∠F= ∠BPC=90°， ∴.PB=FD,PC=FC. &m∠DrC0 ,tan∠APB·tan∠DPC= PC 2PB PB 1 2PC4· (第13题) 第3课时特殊角的三角函数值 1.B2.C3.B4.3 5.“sna+15)=5 2 .a+15°=60°. .a=45° ∴.8-4cosa+tana+ 22-4x2 +1+3=4. 一方法归纳 巧记特殊角的三角函数值 30°，45°，60°角的三角函数值 要记住，正弦、余弦值可表示为 的形式，正切值可表示为 2 3 的形式，有关m的值可归纳如下： 一、二、三；三、二、一；三、九、二 十七.正弦正切递增值，余弦递 减恰相反， 6.C解析：如图，过点A作AD⊥ BC于点D.在Rt△BDA中， ∠B=60°，∴.DB=AB·cosB= 分，AD=AB·SmB=9。在 R△ADC中，DC2=AC2-AD2, (a-台）广=62-是c2,即a2+ c2=+ac.六a+b+千b c2+cb+a2+ab a2+c2+ab+bc (a+b)(c+b)ac+ab+bc+b2 actabtlc=1. b2+ac+ab+bc C B D a (第6题) 7.45°或60°解析：tan2x (3+1)tan +3=0,.(tan x- 1)(tanx-√5)=0.∴.tanx=1或 tanx=√5.当tanx=1时，x=45°；当 tanx=√5时，x=60°. 86+② 9.∠A=60, .tanA=√5. 把x=W5代人2x2-3mx+3=0,得 2×(√5)2-3√5m+3=0,解得 m=√5. 把m=√3代人2x2-3mx十3=0，得 2x2-35x+3=0,解得x1=5, DsB-g即∠B=30 ∴.∠C=180°-∠A-∠B=90°，即 △ABC是直角三角形. 专题特训九求锐角 三角函数值的常用方法 1.B 2.2或号 解析：分两种情况讨论： ①如图①，点P在线段CD上 BC=2,PC=CD-DP=1,∠C 90°，.tan∠BPC=PC=2.②如图 ②，点P在CD的延长线上.·DP 1,DC=2,∴.PC=3.又BC=2, ∠C=90,.tan∠BPC=BC=2 综上所述，tan∠BPC的值为2或 2 ① ② (第2题) 3.(1)如图，连接AD,OD :AC是⊙O的直径， '.AD⊥BC AB=AC, .D是BC的中，点。 又O是AC的中点， .OD∥AB. DE⊥AB, .DE⊥OD OD是⊙O的半径， '.DE是⊙O的切线 34 (2)由(1)，知OD∥AE, .∠FOD=∠FAE,∠FDO= ∠FEA. ∴.△FOD∽△FAE. 黑是 .Fc+oc OD FC+AC AB-BE ⊙0的半径为2， ∴.OC=OD=2,AC=AB=4. 号名解得PC=2 ∴.AF=FC+AC=6. ∴.在Rt△AEF中，cos∠FAE= AEAB-BE4-11 AF AF 621 (第3题) 4.B解析：如图，，tan∠BAD= 2am∠CAD=子，设AD=, ·BD=x,CD= 3x,则BC= 6x.在R△ABD中，AB= √2+（分=.同理，可得 AC=V 3x.过点C作CE⊥AB于 点E,则子AB·GE=BC·AD ·CE= 3x.在Rt△ACE中， 5 sin∠EAC= CE 30 AC √0 32 .∠BAC=45 B D (第4题) 5.A6. 1 7.(1)如图，连接OD. ⊙O经过B,C,D三点， .'OD=OB. ∠OBD=∠ODB. ,·四边形ABCD是平行四边形， AB=BC, ∴.四边形ABCD是菱形，ABCD. .AB=AD. ∴.∠ABD=∠ADB. '.∠ABD+∠OBD=∠ADB+ ∠ODB,即∠ABO=∠ADO. BF是边CD上的高， .BF⊥CD. AB//CD, .BF⊥AB,即∠ABO=90° ∴.∠ADO=90°，即OD⊥AD. OD是⊙O的半径， ∴.直线AD是⊙O的切线. (2)如图，过点A作AH⊥CD,交CD 的延长线于点H. ∴.设FG=a,则DG=2a. OF⊥CD, .'CF=DF=FG+DG=3a. ∴.易得AB=CD=6a. ,ABCD,BF⊥CD,AH⊥CD, .易得四边形ABFH是矩形， BF∥AH. ∴.FH=AB=6a,AH=BF. .GH=FH-FG=5a. .BE∥AH, ∴.易得△EFGO△AHG. EF FG 1 AHHG =5 AH=BF, .BE是⊙O的直径， .∠BCE=90°. ∴.∠BCF=90°-∠ECF. BF⊥CD, '.∠CFE=∠BFC=90°，∠CEF= 90°-∠ECF=∠BCF. ∴.△ECF∽△CBF 器器周CP-B即·R 又：EF1 BF=5CF=34, EF=3 5a. E=5. :.tan∠BBC=E (第7题) 8c9 4 10.3 解析：如图，连接PB,交CH 于点E.由折叠，可得CH垂直平分 BP,∴.E为BP的中点.又H为 AB的中点，∴.HE是△ABP的中位 线，BH=AB=号：AP∥HE. ∴.∠BAP=∠BHE.,在Rt△BCH 中，tan∠BHC= C== 4 2 ÷m∠HAP=专 D C 、E H (第10题) 11.连接AF. ,四边形ABCD是正方形， .AB BC CD AD =1, ∠ABC=∠C=∠ADF=90. E,F分别为边BC,CD的中点， 服=CF架-2 '.易证Rt△ABE≌Rt△BCF. ∴.∠BAE=∠CBF. 又：∠BAE+∠BEA=90, ∴.∠CBF+∠BEA=90. ∴.∠BPE=∠APF=90. 35 ∠ADF=90°， .∠ADF+∠APF=180°. ∴A,P,F,D四点共圆. .∠AFD=∠APD. .tan∠APD=tan∠AFD= 架2 12.D13.5 5 14.2-√5解析：如图，过点A作 AD⊥BC,交BC的延长线于点D :∠ACB=150°，.∠ACD=30°.在 Rt△ADC中，AC=4,.AD= 2AC=2,CD=AC·cos30°=4X 5=25.在边BC上取一点M,使得 CM=AC=4,连接AM.:'∠ACB= 150°，∴.∠AMC=∠MAC=15°. :.tanl5°=tan∠AMD=MD AD AD 2 1 CM+CD 4+252+3 =2 .-d B M C D (第14题) 15.分两种情况讨论：①如图①，过 点A作AD⊥BC于点D. AB=10,∠B=30°， AD=AB= X10=5,BD= AB·c0s30°=10x 2 =5B. AC=2√7， ∴.CD=√AC-AD=√5. ∴.BC=BD+CD=5W5+3=63. ·Saw=2CAD=2X65X 5=15w3. ②如图②，过点A作AD⊥BC,交 BC的延长线于点D. AB=10,∠B=30°， AD-=合AB=合×10=5，D AB·0ms3D=10Xξ-55. AC=2√7， ∴.CD=√AC2-AD=5 ∴.BC=BD-CD=5W5-√5=45 ·Sr=20AD=号×45X 5=105. 综上所述，△ABC的面积为15√5或 105. ① C ② (第15题) 28.2解直角三角形 及其应用 第1课时解直角三角形 1.C2.C3.24.2或4 5.24<BP≤6 6.B解析：过点A作AE⊥BC于 点E,则AE=h.,垂线段最短， .AE<AD..h<AD..A不正 确.在Rt△ABE中，：simB=AE AB ∴.h=AE=AB·sinB.AB> AD,.AB·sinB>AD·sinB. .h>AD·sinB..B正确.在 R△ADE中，：=∠DAE=S ∴.h=AE=AD·cos∠DAE..C 不正确mB能年amC 瓷华+= htan B十 amC,即BE+C h tan B tan C' k()=D不 正确. 一方法归纳 选择恰当的锐角三角函数 解直角三角形 解直角三角形的关键是要结 合图形的性质，灵活运用锐角三角 函数的定义，根据已知的边角条 件，求出未知的边或角.一般的解 题方法是观察题目所涉及的已知 的边或角，明确边的对角或者邻 角，或者明确角的对边或者邻边， 在熟记锐角三角函数定义的基 础上，选择恰当的锐角三角函数 进行求解」 7.B解析：过点D作DF⊥AB,垂 足为F.'AD平分∠BAC,DE⊥ AC,DF⊥AB,.DE=DF=1.在 DF√2 Rt△BFD中，：simB=BD=乞， '.BD=√2.∴.BF=/BD2-DF= /2-1=1...AF=AB-BF=2.在 Rt△AFD中，AD=√JAF2+DF= √22+1平=√5， 8.D解析：如图，过点A作ADL x轴于点D,作AE⊥y轴于点E,则四 边形ADOE是矩形.A(5,4), .AD=OE=4,AE=OD=5.C(, 0),且0<x<5,.OC=x..DC= OD-OC=5-x.设OB=m,则 BE=OE-OB=4-m..'BCLAC, .∴.∠BOC=∠BCA=∠ADC=90°. .∴.∠OBC=90°-∠OCB=∠DCA. &△0c△CA.所- =兴m= 1 x2+ =--)= i(- )广+瓷当x=号时，m取得最 大值，此时BE=4一m取得最小值. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 AB2=AE+BE2=25+BE2,∴.当 BE取得最小值时，AB也取得最小 36 值：血8-福=衣AB政得 最小值时，s血®=品取装大值 x=2 EP B ▣ 0 (第8题) 9(） 解析：设C(a,0), ∴.OC=a..A(1,0),B(0,-3, ∴.OA=1,AC=a-1,OB=3. .BC=√32+a=√9+a.在 R△0AB中，m∠0BA-8器-号 :am∠ABC=子，·∠OBA= ∠ABC.如图，过点C作CD∥y轴，交 BA的延长线于点D..∠OBA= ∠D,∠AOB=∠ACD..∴.△OBAn △DA,∠AC=∠n票器 D=是即 J9+a4 a=是“点C的坐标为 1 (是 D (第9题) 10.1解析：如图，延长AE,DC交 于点F.:AE⊥DE,∴.∠AED= ∠FED=90°.：DE平分∠ADC, ∴.∠ADE=∠FDE.,DE=DE, ∴.△ADE≌△FDE.∴.AE=FE= &n∠E=g那=是 EF 3 ∴.DF=5.AB∥CD,.∠F=