专题特训十二 与三角函数有关的函数综合题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

拔尖特训·数学（人教版）九年级下 专题特训十二与三角函数有关的函数综合题 >“答案与解析”见P42 类型一三角函数与一次函数综合 3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= 1.在平面直角坐标系中，直线y=一2(x一1)十 kx十b的图象与反比例函数y=”m的图象交 1与直线y=0所夹锐角的余弦值是（) 于点A(-1,n),B(2,1) 4 RG号n (1)求一次函数、反比例函数的解析式. (2)连接OA,OB.求： 类型二三角函数与反比例函数综合 ①△OAB的面积. 2.如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为 ②sin∠OAB的值. C,0A=25,tanA=2,反比例函数y= 在第一象限的图象经过OA的中点B,与AC 交于点D (1)求k的值 (第3题) (2)连接BD,求△OBD的面积. y (第2题) 68 第二十八章锐角三角函数 类型三三角函数与二次函数综合 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线L:y= 4.如图①，在直角梯形OABC中，BC∥OA, a.x2-2a.x-3a(a>0)与x轴交于A,B两点 (点A在点B的左侧)，其顶点为C,D是抛 ∠0CB=90°，QA=6,AB=5,0s∠0AB=5· 物线在第四象限内的一点， (1)写出顶点A,B,C的坐标. (1)求线段AB的长， (2)如图②，P为AB边上的动点（点P与点 (2)当a=1时，连接AC,AD,BD,CD,若 A,B不重合)，PM⊥OA,PN⊥OC,垂足分 △ACD的面积与△ABD的面积相等，求 别为M,N.设PM=x,四边形OMPN的面 tan∠ABD的值， 积为y. (3)连接CD并延长，交x轴于点E,连接 ①求y与x之间的函数解析式，并写出自变 AD,DB.当AD=DE时，将△ADB沿DE 量x的取值范围！ 方向平移得到△A'EB'.将抛物线L平移得 ②是否存在一点P,使得四边形OMPN的 到拋物线L',使得点A',B都落在抛物线L′ 面积等于梯形OABC的面积的一半？若存 上.试判断抛物线L'与L是否交于某个定 在，求出点P的坐标；若不存在，请说明 点.若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明 理由， 理由. 43 (第4题) (第5题) 69:tan∠BAV=tan37=B AN≈0.754， .AN≈3.2cm. ·点B对应的直尺上的读数约是 3.2cm. C D y啊 0 2345678 h b A MN G (第3题) 4.A解析：如图，过点B作DC的 平行线交DA的延长线于点M,在 DM的延长线上取MN=CE.易知四 边形MDCB为正方形，△MNB≌ △CEB.'.BE=BN,∠1=∠2 ∴.∠NBE=∠MBE+∠I1 ∠MBE+∠2=∠MBC=90°. ∠ABE=45,.∠ABE= ∠ABN..易得△NAB≌△EAB. ∴.AN=AE,∠N=∠AEB.设 EC=MN=x,AD=a,则CD= BC=BM=2AD=2a,AM=a,DE= 2a-x,AE=AN=a+x.AD2+ DE2=AE2,∴.a2+(2a-x)2=(a十 2 x.a≠0，小x=行a.在 BM 2a ABNM中，tanN一MN2a 3.∴.tan∠AEB=tanN=3. B (第4题) 4 5. 解析：设点D运动ts后，四 边形ADEF是菱形.∴.AD=DE= t cm..'CD=(3-t)cm.DE AB,∴.∠ABC=∠DEC.∠C= 90°，AC=3cm,BC=4cm,∴.AB= √/AC2+BC=√9+16=5(cm). :m∠D=如∠ABC=e 15 7.设AE=x,则易得BE=3x,BC= 4x,AM=DM=2x,CD=4x. ∴.EC=√(3.x)+(4x)2=5x, EM=√x+(2x)'=√5x,CM= √(2.x)2+(4x)=2√5x. .EM2+CM2=CE2. ∴.△CEM是直角三角形，且 ∠EMC=90° ·sin∠ECM=EM￥5 EC 5 8.(1)由题意，知∠A1=90° 在Rt△OA1B1中，tan∠OB1A1= OAOA 3 AB AB4 (2)PA2=OA=3,A2B2= AB=4, .在Rt△PA2B2中，PB2 √PA+A,B=√32+4=5. 由题意，知OP=x,则OB2=OP+ PB2=x+5. .B2C=OB2-OC=OB2-AB= x+1. 由(1)，易知tan∠OB2A2= 3 tan∠OB,A,=4, ∴.在Rt△CB2M1中， tam∠0B:A,=B,C=中1=4 33 ..y=- x+4 当点A2运动到BC边上时，点A2与 点M,重合，易得CM1= PA2·A2B2_3×4_12 PB2 55 令y= 子十产号解得 11 5 11 .x的取值范围是0≤x≤ 9.B 10.(1)如图，连接CE,DE ∠ABC=90, ∴.CE是⊙O的直径. ∴.∠CDE=90. 又AD=CD, 42 .'AE=CE ∴.CE即为所连线段， (2)作切线EF如图所示， ①EF是⊙O的切线， .EF⊥EC. ∴.易得△CEFC∽△EDF ∴器即EP-PDPC ②'AF=DF,AD=CD, &FD=专C. 由①，知EF2=FD·FC, :EF=1FC, “号 ∴.在Rt△CEF中，sin∠ACE= EF√3 F元=31 又EA=EC, .∠ACE=∠A. .'sin A= 31 ×0 (第10题) 专题特训十二与三角 函数有关的函数综合题 1.C 2.(1)AC⊥x轴，tanA=2, .AC=20C. 在Rt△AOC中，OA=25,OC2+ AC2=0A2, .0C2+(20C)2=(2√5)2. '.OC=2,AC=4. .A(2,4). B是OA的中点， ∴.B(1,2) ”点B在反比例函数y=位于第 一象限的图象上， '.k=1×2=2. (2)把x=2代入y=2,得y=1, .D(2,1). .AD=4-1=3. 1 ∴.SAOnD=S△0D-S△ABn=2 ×3× 2-2×3x1=1.5 3.(1)一次函数y=kx十b的图 象与反比例函数y=”的图象交于点 A(-1,n),B(2,1), .m=-n=2X1=2. ∴.m=2,n=-2. 、反比例函数的解析式为y=2,点 A的坐标为（一1，一2） 将A(-1,-2),B(2,1)代人y= 1-k+b=一2， k.x十b,得 解得 2k+b=1, k=1, b=-1. ∴.一次函数的解析式为y=x一1. (2)①设直线AB与x轴的交点 为C. 在y=x-1中，当y=0时，x=1, ∴.C(1,0),即OC=1. Samn=Son+SAm=X1X 1+2×1×2=2 1 ②如图，作OH⊥AB于点H. A(-1,-2),B(2,1), ,.AB=√(-1-2)2+(-2-1)2= 3√2 San=号X3vEX0H=号 0州-9 .OA=√22+1平=√5， ∴.在Rt△OAH中，sin∠OAB= 吟 OH 2 /10 OA 5 10 B A (第3题) 4.(1)如图，过点B作BD⊥OA于 点D,则BD=OC,BC=OD 在Rt△ABD中，AB=5, os∠OAB=AD3 AB 5' .AD=3. ∴.BD=VAB2-AD=4. .BC=OD=0A-AD=6-3=3, OC=BD=4 .点A,B,C的坐标分别为A(6,0), B(3,4),C(0,4). (2)①，∠NOM=90°，PM⊥OA, PN⊥OC, ∴.易得四边形OMPN为矩形 在Rt△APM中，设AM=3a(a>0), 则AP= AM cos∠OAB-5a. .PM=√AP2-AM=4a=x. AM=是x 3 .OM=6-4. “y(6-是)即y= 372+ 4 6x. ∴.y与x之间的函数解析式为y= 4x2+6x,x的取值范围是0≤ x<4. ②存在 由题意，得一 4x2+6x= 1×[(3十 6)×4÷2]. 整理，得x2-8x十12=0，解得x1= 2,x2=6(舍去) ∴.OM=6 “点P的坐标为（号，2）， ∴.存在一点P,使得四边形OMPN 的面积等于梯形OABC的面积的 半，点P的坐标为（号2） D A (第4题) 43 5.(1)在y=a.x2-2ax-3a中，令 y=0,得0=a.x2-2a.x-3a, .a(x-3)(x+1)=0. a>0, ∴.x=3或x=-1. .A(-1,0),B(3,0) ∴.AB=4. (2)如图①，过点D作DM∥y轴，交 x轴于点M,作DN∥x轴，交AC于 点V. 当a=1时，y=x2-2x-3=(.x 1)2-4. .C(1,-4). 由A(-1,0),C(1,-4),易得直线 AC对应的函数解析式为y= -2.x-2. 设点D的坐标为(n,n2一21一3)(0< 3). 在y=-2x-2中，令y=n2-2n -n2+2n+1 3,得x= 2 N(n+2m+1 1n2-21-3) 2 .DN= n- -2+21+1 2 &Sam=2DN·A-北l= 3×22x4=1m-1. ,△ACD的面积与△ABD的面积 相等，而Sam=号AB·1Jn 合×4X(-+2m+3)=-2m2+ 4n+6, ∴.n2-1|=-2n2+41+6,解得 7 n=-1(舍去)或n=3, D(3,-). 72 :BM=3-3=1 20 ,DM= 9 20 ·tam∠ABD=DY-9=1o BM23 (3)抛物线L'与L交于定点. 如图②，过点D作DM⊥x轴于 点M. D(m,am2-2am-3a)(0<m< 3),则AM=m+1,DM=-am2+ 2am+3a. AD-DE, .'.EM=AM=m+1. 将△ADB沿DE方向平移得到 △A'EB',相当于将△ADB向右平移 (m+1)个单位长度，再向上平移 (-am2+2am+3a)个单位长度. A(-1,0),B(3,0), '.A'(m,-am2+2m+3a),B'(m+4, -am2+2am+3a). 设抛物线L对应的函数解析式为y= a.x2+b.x+c(a>0). 点A',B都在抛物线L'上 '.-am2+2am+3a=am2+bm+c, -am2+2am+3a=a(m+4)2+ b(m+4)+c,解得b=一2am-4a, c=6am+3a. ∴.抛物线L'对应的函数解析式为 y=ax2+(-2am-4a)x +6am+ 3a. ax2-2ax-3a=ax2+(-2am- 4a)x+6am+3a,得(m+1)x 3(m+1), .x=3. ∴.抛物线L'与L交于定点(3,0). C ① B B D C ② (第5题) 第二十八章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1号 解析：如图，过点B作 BF∥CD,连接EF,∴∠ABF= ∠APD.'BE=EF=√22+1P √5，BF=√2+32=√0，.BE2十 EF8=BF.∴.∠BEF=90 ∴.∠ABF=45°.∴.∠APD=45. s血∠APD的值为号 A D (典例1图) [变式] /10 10 解析：如图，延长 AD至点E,使DE=AD,连接CE,取 CE的中点F,连接AF,则，点E,F都 在格点上.，DE=AD=√22+1卫 5,AC=√4+2=2W5,∴.AE AD+DE=2√5.∴.AE=AC.F 为CE的中点，.AF⊥CE.又 :BD=CD=3,∠ADB=∠EDC, ∴.△ABD≌△ECD.∴.∠BAD= ∠CED.EF=√+1下=√2，在 Rt△AEF中，cos∠CED= EF AE 25 10 ,.cos∠BAD=@ 10 B 典例2C [变式]B解析：过点D作DE⊥ AB,垂足为E.·△ABC是等边三 角形，∴.AB=AC=2√3，∠A=60°. 44 DE 在Rt△DEB中，tan∠ABD= BE ,设DE=5x,则BE=5.在 Rt△ADE中，AE= DE 3x tan60° √3 DE√3x x,AD= =2x..·AE+ sin60° 3 BE=2√3，'.x十5x=2√3，解得x= 3 AD=2x= 2 3CD= AC-AD=4 31 典例3如图，延长OB交AC于点D. 由题意，得BD⊥CA. 设BC=xcm,则BO=OA-BC= (75-x)cm. 在Rt△CBD中，BD=BC· sin∠ACB=x·sin37°≈0.6.x(cm), .DO=OB+BD=75-x+0.6x= (75-0.4x)cm. 在Rt△AOD中，DO=AO· cos∠AOD=75·cos37°≈60(cm), .75一0.4x=60,解得x=37.5. .BD=22.5cm. '.点B到AC的距离约为22.5cm (典例3图) [变式]如图，过点D作DF⊥AB 于点F,则BE=DF,DE=BF= 10m. 在Rt△ADF中，AF=AB-BF= 70m,∠ADF=∠DAF=45°， ∴.DF=AF=70m. 在Rt△CDE中，DE=10m, ∠DCE=30°， CE=DE 10 tan30°5 =103(m). 9 .BC=BE-CE=DE-CE=(70- 10√5)m.