专题特训十 构造三角函数基本图形解实际应用问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

易错警示 对坡度的概念理解不到位 坡度是斜坡的铅直高度与水 平宽度的比.坡度也称为坡比，它 是坡角的正切值.坡角是指坡面与 水平面的夹角，而不是坡面与铅垂 平面的夹角.坡角越大，坡度也就 越大.易混淆坡度与坡角的概念而 导致错误 7.(1)如图，过点B作BE⊥AC于点 E,设BE=x海里， 依题意，知∠EBC=53°，∠EBD= 46,cD=10x =5(海里)， ..∠C=90°-∠EBC=37°， ∠EDB=90°-∠EBD=45° ∠EDB=∠EBD, ∴.ED=BE=x海里 ∴.EC=ED+DC=(x+5)海里. 在Rt△BCE中，EC= BE tan C x 4 tam37≈0.7万=3x(海里， :告x=x+5,解得r=15 ∴.BE=15海里 ∴.渔船在航行过程中到灯塔B的最 短距离约为15海里， (2)在Rt△ABE中，∠ABE=14°， BE=15海里， ∴.AE=BE·tan14°≈15×0.25= 3.75(海里). ∴.AC=AE+DE+DC=3.75+ 15+5=23.75(海里) 23.75÷10=2.375(小时)，2.375小 时=142.5分钟. ,从14：30，经过142.5分钟是16： 52:30, ∴.能在17：30之前到达 ∴.不改变航行速度，渔船能在浓雾天 气到来前到达码头A (第7题) 8.(1)如图，过点D作DF⊥AE,交 AE的延长线于点F,则易得四边形 ACDF是矩形. .'.DF=AC=170米 在Rt△EFD中，∠DEF=58°， .DE DF170 sim58≈0.85 =200(米). '.人行步道DE的长度约为200米」 (2)在Rt△EFD中，∠DEF=58°， DF=170米 .EF= DF 170 an58≈1.60 =106.25(米). 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-30°= 60°，AC=170米， ∴.BC=AC·tan60°=170√5米， AC 170 AB= C0s60° =340(米) 1 BD=100米， .∴.CD=BC+BD=(1703+100)米. .四边形ACDF是矩形， .AF=DC=(170W5+100)米. ,'.AE=AF-EF=170W3+100 106.25≈287.85（米）. ∴.某人从点A出发，经点B到达点 D的路程=AB十BD=340+100= 440(米)，某人从点A出发，经点E到 达点D的路程=AE+DE=287.85+ 200=487.85(米). :440<487.85, 他走从点A出发，经点B到达点 D的这条路较近」 北 58 →东 (第8题) 专题特训十构造三角函数 基本图形解实际应用问题 1.(1)如图，记太阳光与CD的交点 为E,连接BD. :AB=CD=30m,BA⊥AC, 40 CD⊥AC, .易得四边形ABDC是矩形. .'.BD=AC=24m,∠BDE=90°. ,∠DBE=30, .在Rt△BDE中，DE=BD· m0=24× =8√/5(m. ∴.EC=CD-DE=(30-83)m. ∴.甲楼的影子落在乙楼上有(30一 8w3)m高. (2)当太阳光照射到点C时，甲楼的 影子刚好不影响乙楼的采光，即延长 太阳光线至点C 在Rt△ABC中，AB=30m, ∠ACB=30°， AB ∴.AC 3 tan30=30÷3 =30/5(m). '.两楼间的距离应当为30√3m. 30B 0 E 口口口口 C (第1题) 2.(1)77.2解析：如图，过点B作 BE⊥AC,垂足为E.在Rt△ABE中， ∠BAE=90°-45°=45°，AB=40海 里，.AE=AB·cos45°=20√2海 里，BE=AB·sin45°=20√2海里.在 Rt△BCE中，∠CBE=60°，，∴.CE= BE·tan60°=20√6海里.∴.AC= AE+CE=20W2+20N6≈77.2（海里）. ∴.A,C两港之间的距离约为77.2海里， (2)甲解析：如图，由题意，得 ∠CDF=30°，∠GAD=60°，DF∥ AG,.∴.∠GAD=∠ADF=60°. ∴.∠ADC=90°.在Rt△ACD中， ∠CAD=90°-∠GAD=30°， ·.CD=2AC=(102+105)海 里，则易得AD=√3CD=(10√6+ 30W2)海里.在Rt△BCE中， ∠CBE=60°，BE=20√2海里， ·BC=BE 一0s60=402海里.甲货 轮航行的路程=AB+BC=40十40√2≈ 96.4(海里)，乙货轮航行的路程=AD十 CD=20V6+40√2≈105.4（海里）. ,96.4<105.4,.甲货轮先到达 C港. 北 东 G 230 1609 45 550. B (第2题) 3.如图，分别过点C,D作1的垂线， 垂足分别为M,N,则易得CM= DN,CD=MN. 设BM=x米，则AM=AB+BM= (1500+x)米 在Rt△CBM中，∠CBM=60° :.tam∠CBM BM-3. CM ∴.CM=5BM=√5x米. 在Rt△ACM中，∠A=30°， ∴.tanA= CM3 AM 3 √5x3 .1500+x ,解得x=750. 3 经检验，x=750是原分式方程的解， 且符合题意， ∴.BM=750米，CM=7505米 ∴.DN=CM=7505米. 在Rt△DBN中，∠DBN=45°， tan∠DBN=PN=D ∴.BN=DN=750W5米. ∴.MN=BN-BM=(7505-750)米， 则CD=MN=750W3-750≈548（米）. ∴.大桥的长CD约为548米. 光 东 M (第3题) 4.如图，延长BA交直线PQ于点C, 则∠ACQ=90°. 由题意，得BC=225m,PQ=200m. 在Rt△BCQ中，∠BQC=45°， ∴.易得CQ=BC=225m. ∴.PC=PQ+CQ=425m. 在Rt△PCA中，tan∠APC= m15-瓷*a27, .AC=114.75m. .∴.AB=BC-AC=225-114.75= 110.25≈110(m). .奇楼的高度AB约为110m. P 15” 46 (第4题) 5.如图，连接DF交AH于点G. 由题意，得CD=EF=GH=l.6m, DF=CE=182m,DF⊥AH. 设DG=xm. ∴.FG=(182-x)m. 在Rt△ADG中，∠ADG=45°， ∴.AG=DG·tan45°=xm. 在Rt△AFG中，∠AFG=53°， 4 AG=FG·tan53°≈3(182- x)m. x= 4(182-x),解得x=104. ..AG=104m. ..AH=AG+GH=105.6m. .风电塔筒的高度AH约为105.6m D4°..G 53F (第5题) 6.(1)3.2. (2)∠MPN=90, ∴.∠APM+∠BPN=90°. :∠APM+∠AMP=90, .'.∠AMP=∠BPN. 在△AMP和△BPN中， 41 ∠AMP=∠BPN ∠MAP=∠PBN=9O, MP=PN, '.△AMP≌△BPN. .MA=PB=2.4米. ,PA=√P-AM=0.7米， .AB=PA+PB=0.7+2.4=3.1(米). .乙房间的宽AB为3.1米， (3)如图，过点N作ND⊥AM,垂足 为D,连接NM,则易知AB=DN. ∠BPN=45,AB∥DN, ∴.∠DNP=∠BPN=45°. .∠MPN=180°-∠APM- ∠BPN=60°，PM=PN, .△PMN是等边三角形. ∴.∠PNM=6o°，MN=PM,. ∴.∠MND=∠PNM-∠DNP= 15. .∠PMA=90-∠APM=15, ∴.∠MND=∠PMA. 又∠MDN=∠A=90°， .△NDM≌△MAP. ∴.DN=AM. '.AB=DN=AM=2.8米，即丙房 间的宽AB是2.8米。 25459 P 丙 (第6题) 专题特训十一 与三角 函数有关的几何综合题 kA2号 3.如图，过点B作BN⊥GA于点N, 过点H作HM⊥GA于点M. ∴.∠AMH=∠BNA=90°. 在Rt△AMH中，∠AMH=90°， ∠MAH=45°， .∴.MH=AM=2.4cm. .'.易得BN=MH=2.4cm. 在Rt△BAN中，∠BNA=90°， ∠BAN=37°，拔尖特训·数学（人教版）九年级下 专题特训十 构造三角函数基本图形 解实际应用问题 ●“答案与解析”见P40 类型一 单一型 (1)A,C两港之间的距离约为 海里。 (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B,D 模型示例 两港的时间相同)，则 货轮先到达C 港（填“甲”或“乙”）. 北 D 1.如图所示为住宅区内的甲、乙两幢楼，它们的 东 高AB=CD=30m,现需了解甲楼对乙楼的 609 采光的影响情况.当太阳光与水平地面的夹 角为30时. B (1)若两楼间的距离AC=24m,则甲楼的影 (第2题) 子落在乙楼上有多高？ 3.(2024·大庆)如图，CD是一座南北走向的 (2)若甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光， 大桥，一辆汽车在笔直的公路1上由北向南 则两楼间的距离应当有多远？ 行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向 30B 上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头 乙 C在南偏东60°方向上，桥头D在南偏东45 方向上，求大桥的长CD(结果精确到1米，参 A (第1题) 考数据：√5≈1.73) 北 个东 类型二 母子型 模型示例 (第3题) 2.(2024·重庆A卷)如图，甲、乙两艘货轮同时 从A港出发，分别向B,D两港运送物资，最 后到达A港正东方向的C港装运新的物资. 4.“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为旅游新 甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到 风尚.如图，某数学兴趣小组用无人机测量七 达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离 十二层奇楼AB的高度，先将无人机垂直上 后到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方 升至距水平地面225m的点P处，测得奇楼 向航行一定距离后到达D港，再沿南偏东 顶端A的俯角为15°，再使无人机沿水平方 30°方向航行一定距离后到达C港（参考数 向飞行200m到达点Q处，测得奇楼底端B 据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45). 的俯角为45°，求奇楼的高度AB(结果精确 64 第二十八章锐角三角函数 到1m,参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈ 类型四面对面型 0.97,tan15°≈0.27). 模型示例 45 6.如图所示为盼盼家新装修的房子，其中有甲、 (第4题) 乙、丙三个房间，他将不同的梯子斜靠在每个 房间的墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离 记作MA,如果梯子的底端P不动，顶端靠在 类型三背靠背型 对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直 距离记作NB. 模型示例 (1)当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上， 顶端刚好落在对面的墙角B处.若MA= 1.6米，AP=1.2米，则甲房间的宽度AB= 米 5.(2024·甘肃)我国将力争在2030年前实现 (2)当他在乙房间时，测得MA=2.4米， “碳达峰”，在2060年前实现“碳中和”.甘肃 MP=2.5米，且∠MPN=90°，求乙房间的 省风能资源丰富，风力发电发展迅速.某学习 宽AB. 小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中， (3)当他在丙房间时，测得MA=2.8米，且 “风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要 ∠MPA=75°，∠NPB=45°，求丙房间的 的设计参数，于是小组成员开展了“测量风电 宽AB. 塔筒高度”的实践活动.如图，一风电塔简 AH垂直于地面，测角仪CD,EF在AH两 侧，CD=EF=1.6m,点C与点E相距182m (点C,H,E在同一条直线上)，在D处测得 简尖顶点A的仰角为45°，在F处测得简尖 (第6题) 顶点A的仰角为53°.求风电塔简的高度AH 参考数据：sm53”≈手，0s53≈ 5 tan53°≈ D 45 53F (第5题) 65