专题特训十一 与三角函数有关的几何综合题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

拔尖特训·数学（人教版）九年级下 专题特训十一与三角函数有关的几何综合题 。“答案与解析”见P41 类型一三角函数与三角形综合 类型二三角函数与四边形综合 1.如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点4.如图，在梯形ABCD中，ADBC,AD⊥CD, 上，则tan∠ACB的值为 BC=CD=2AD,E是CD上一点，∠ABE= B.2 D26 45°，则tan∠AEB的值为 5 A.3 B.2 5 C.2 R D.2 (第4题) (第1题) (第2题) 2.(2025·临沂郑城模拟)在△ABC中有如图 5.(2025·福州台江模拟)四边形具有不稳定 所示的6个大小相同的小正方形，则tanB 性.如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4 的值为 的平行四边形，则tana的值为 3.如图，将含45°角的三角尺放置在一把直尺 上，三角尺与直尺的下边沿重合，三角尺的一 a 个顶点A在直尺的0刻度线的正下方，AC (第5题) 与直尺交于点H,按上述方法将一个37°的 6.如图，在Rt△ABC中，∠C= ∠DAG放置在该直尺上，AD与直尺交于点 90°，AC=3cm,BC=4cm, B.若点H对应的直尺上的读数为2.4cm, 点D从点A出发，沿AC方 求点B对应的直尺上的读数（结果精确到 向以1cm/s的速度向终点C (第6题) 0.1cm,参考数据：sin37°≈0.602，cos37°≈ 匀速运动，过点D作DE∥ 0.799,tan37°≈0.754). AB交BC于点E,过点E作EF⊥BC交AB D 于点F.当四边形ADEF为菱形时，点D运 动的时间为 S. 01c2345 67 8 7.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点， BE=3AE,求sin∠ECM的值 (第3题) B (第7题)》 66 第二十八章锐角三角函数 8.如图①，矩形OABC的两边OA和OC所在 类型三三角函数与圆综合 直线分别为L1,l2,l1和l2的交点为O,OA= 9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O 3,AB=4.将矩形OABC绕点O逆时针旋 转，使点B落在射线OC上，旋转后的矩形为 的直径.若⊙0的半径为号，AC=3,则c0sB OA1B1C1,BC,A1B1相交于点M, 的值为 (1)求图①中tan∠OB,A1的值， (2)将图①中的矩形OA1BC1沿射线O℃ 0 向上平移（如图②），矩形PA2B2C2是平移 过程中的某一位置，BC,A2B2相交于点 (第9题) M1,点P运动到点C停止.设点P运动的距 离为x,CM1=y,求y关于x的函数解析式， A昌 R吉 cn月 并写出x的取值范围！ 10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是 AC的中点，⊙O经过B,C,D三点，与AB B/ M 交于另一点E (1)请你仔细观察图形，连接图中已标明字 母的某两点，得到一条新线段，并证明它与 A 线段AE相等 ① ② (2)在图中过点E作⊙O的切线，交AD于 (第8题) 点F ①求证：EF2=FD·FC. ②若AF=DF,求sinA的值 (第10题) 67轮航行的路程=AB+BC=40十40√2≈ 96.4(海里)，乙货轮航行的路程=AD十 CD=20V6+40√2≈105.4（海里）. ,96.4<105.4,.甲货轮先到达 C港. 北 东 G 230 1609 45 550. B (第2题) 3.如图，分别过点C,D作1的垂线， 垂足分别为M,N,则易得CM= DN,CD=MN. 设BM=x米，则AM=AB+BM= (1500+x)米 在Rt△CBM中，∠CBM=60° :.tam∠CBM BM-3. CM ∴.CM=5BM=√5x米. 在Rt△ACM中，∠A=30°， ∴.tanA= CM3 AM 3 √5x3 .1500+x ,解得x=750. 3 经检验，x=750是原分式方程的解， 且符合题意， ∴.BM=750米，CM=7505米 ∴.DN=CM=7505米. 在Rt△DBN中，∠DBN=45°， tan∠DBN=PN=D ∴.BN=DN=750W5米. ∴.MN=BN-BM=(7505-750)米， 则CD=MN=750W3-750≈548（米）. ∴.大桥的长CD约为548米. 光 东 M (第3题) 4.如图，延长BA交直线PQ于点C, 则∠ACQ=90°. 由题意，得BC=225m,PQ=200m. 在Rt△BCQ中，∠BQC=45°， ∴.易得CQ=BC=225m. ∴.PC=PQ+CQ=425m. 在Rt△PCA中，tan∠APC= m15-瓷*a27, .AC=114.75m. .∴.AB=BC-AC=225-114.75= 110.25≈110(m). .奇楼的高度AB约为110m. P 15” 46 (第4题) 5.如图，连接DF交AH于点G. 由题意，得CD=EF=GH=l.6m, DF=CE=182m,DF⊥AH. 设DG=xm. ∴.FG=(182-x)m. 在Rt△ADG中，∠ADG=45°， ∴.AG=DG·tan45°=xm. 在Rt△AFG中，∠AFG=53°， 4 AG=FG·tan53°≈3(182- x)m. x= 4(182-x),解得x=104. ..AG=104m. ..AH=AG+GH=105.6m. .风电塔筒的高度AH约为105.6m D4°..G 53F (第5题) 6.(1)3.2. (2)∠MPN=90, ∴.∠APM+∠BPN=90°. :∠APM+∠AMP=90, .'.∠AMP=∠BPN. 在△AMP和△BPN中， 41 ∠AMP=∠BPN ∠MAP=∠PBN=9O, MP=PN, '.△AMP≌△BPN. .MA=PB=2.4米. ,PA=√P-AM=0.7米， .AB=PA+PB=0.7+2.4=3.1(米). .乙房间的宽AB为3.1米， (3)如图，过点N作ND⊥AM,垂足 为D,连接NM,则易知AB=DN. ∠BPN=45,AB∥DN, ∴.∠DNP=∠BPN=45°. .∠MPN=180°-∠APM- ∠BPN=60°，PM=PN, .△PMN是等边三角形. ∴.∠PNM=6o°，MN=PM,. ∴.∠MND=∠PNM-∠DNP= 15. .∠PMA=90-∠APM=15, ∴.∠MND=∠PMA. 又∠MDN=∠A=90°， .△NDM≌△MAP. ∴.DN=AM. '.AB=DN=AM=2.8米，即丙房 间的宽AB是2.8米。 25459 P 丙 (第6题) 专题特训十一 与三角 函数有关的几何综合题 kA2号 3.如图，过点B作BN⊥GA于点N, 过点H作HM⊥GA于点M. ∴.∠AMH=∠BNA=90°. 在Rt△AMH中，∠AMH=90°， ∠MAH=45°， .∴.MH=AM=2.4cm. .'.易得BN=MH=2.4cm. 在Rt△BAN中，∠BNA=90°， ∠BAN=37°， :tan∠BAV=tan37=B AN≈0.754， .AN≈3.2cm. ·点B对应的直尺上的读数约是 3.2cm. C D y啊 0 2345678 h b A MN G (第3题) 4.A解析：如图，过点B作DC的 平行线交DA的延长线于点M,在 DM的延长线上取MN=CE.易知四 边形MDCB为正方形，△MNB≌ △CEB.'.BE=BN,∠1=∠2 ∴.∠NBE=∠MBE+∠I1 ∠MBE+∠2=∠MBC=90°. ∠ABE=45,.∠ABE= ∠ABN..易得△NAB≌△EAB. ∴.AN=AE,∠N=∠AEB.设 EC=MN=x,AD=a,则CD= BC=BM=2AD=2a,AM=a,DE= 2a-x,AE=AN=a+x.AD2+ DE2=AE2,∴.a2+(2a-x)2=(a十 2 x.a≠0，小x=行a.在 BM 2a ABNM中，tanN一MN2a 3.∴.tan∠AEB=tanN=3. B (第4题) 4 5. 解析：设点D运动ts后，四 边形ADEF是菱形.∴.AD=DE= t cm..'CD=(3-t)cm.DE AB,∴.∠ABC=∠DEC.∠C= 90°，AC=3cm,BC=4cm,∴.AB= √/AC2+BC=√9+16=5(cm). :m∠D=如∠ABC=e 15 7.设AE=x,则易得BE=3x,BC= 4x,AM=DM=2x,CD=4x. ∴.EC=√(3.x)+(4x)2=5x, EM=√x+(2x)'=√5x,CM= √(2.x)2+(4x)=2√5x. .EM2+CM2=CE2. ∴.△CEM是直角三角形，且 ∠EMC=90° ·sin∠ECM=EM￥5 EC 5 8.(1)由题意，知∠A1=90° 在Rt△OA1B1中，tan∠OB1A1= OAOA 3 AB AB4 (2)PA2=OA=3,A2B2= AB=4, .在Rt△PA2B2中，PB2 √PA+A,B=√32+4=5. 由题意，知OP=x,则OB2=OP+ PB2=x+5. .B2C=OB2-OC=OB2-AB= x+1. 由(1)，易知tan∠OB2A2= 3 tan∠OB,A,=4, ∴.在Rt△CB2M1中， tam∠0B:A,=B,C=中1=4 33 ..y=- x+4 当点A2运动到BC边上时，点A2与 点M,重合，易得CM1= PA2·A2B2_3×4_12 PB2 55 令y= 子十产号解得 11 5 11 .x的取值范围是0≤x≤ 9.B 10.(1)如图，连接CE,DE ∠ABC=90, ∴.CE是⊙O的直径. ∴.∠CDE=90. 又AD=CD, 42 .'AE=CE ∴.CE即为所连线段， (2)作切线EF如图所示， ①EF是⊙O的切线， .EF⊥EC. ∴.易得△CEFC∽△EDF ∴器即EP-PDPC ②'AF=DF,AD=CD, &FD=专C. 由①，知EF2=FD·FC, :EF=1FC, “号 ∴.在Rt△CEF中，sin∠ACE= EF√3 F元=31 又EA=EC, .∠ACE=∠A. .'sin A= 31 ×0 (第10题) 专题特训十二与三角 函数有关的函数综合题 1.C 2.(1)AC⊥x轴，tanA=2, .AC=20C. 在Rt△AOC中，OA=25,OC2+ AC2=0A2, .0C2+(20C)2=(2√5)2. '.OC=2,AC=4. .A(2,4). B是OA的中点， ∴.B(1,2) ”点B在反比例函数y=位于第 一象限的图象上， '.k=1×2=2.