28.2 第2课时 解直角三角形中的视角问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

∠BAE,∠ECF=∠B.∴.△ECF≌ △EBA,.CF=BA=4.∴.CD= DF-CF=5-4=1. (第10题) 1.艺支号解桥：分两种情况讨 论：①当ED=EA时，如图①，过点 C作CH⊥AB于点H,过点A作 AM⊥BC于点M.在Rt△ACH中， m∠BAc-=2AC=36, AH+CH=AC2,∴.易得AH=3, CH=6..∴.BH=AB-AH=8.在 Rt△BCH中，BC=√CH+BH'= 10.由等面积可得AM=AB·CH BC 9.在R:△ABM中，BM VAB-AM=售，：CM=BC BM=9.:ED=EA,∠EDA= ∠EAD=∠BAC.∴.在Rt△ADM 中，tam∠ADM-DM-tan∠ZBAC3 2DM=号AM-器：BD BM-M=②当DA=DE时， 如图②，过点D作DN⊥AE于点N, 过点A作AM⊥BC于点M,则 ∠DAE=∠E=∠BAC.在Rt△AME 中，anE=0=an∠BAC=2, ME ME AM- ·AE= 33 AMFEM =33/5 10 DN⊥ AE,DA=DE,·.EN=2AE= g.在Rt△DEN中，tamE BN-2..DN- 10DE= VDN+EN=翠.&BD=BM+ ME-DE=4+8-3=只综上 510420 所述，BD的长为号或忍 77 H D ① D MC (第11题) 12.(1),直线AP与⊙O相切于 点P, ∴.∠APO=90, :∠PA0=45, ∴.∠PON=90°-∠PAO=45. (2):直线BQ与⊙O相切于点Q, ∴.∠BQO=90°. .∠QBO=60, os∠QB0=cos60°-B2-1 BO 2 设BQ=xm,则BO=2xm. ∴.OQ=OP=VBO-BQ 3.c m. AB=8m, ..AO=AB+BO=(8+2x)m. 在Rt△APO中，sinA=sin45°= PO2 AO2' 8+2x2 ,解得x=4√6十8. 经检验，x=4√6十8是原方程的解， 且符合题意 ∴.OP=3×(4√6+8)=(122+ 85)m. PV的长为45πXI2,2+8B) 180 24.1(m). 13.(1)csin B;ccos B;a2+c2- 2accos B. 37 (2)如图，延长BC,AD交于点E. :∠B=90°，∠BAD=60°，AB=4, AB .AE= coS∠BAD =2AB=8, ∠E=30. AD=5, .DE=AE-AD=3. .·∠ADC=90°， .∴.∠CDE=90°. ·在R△CDE中，CE=DE cosE= 2√3. 由(1)，知AC2=CE2+AE2-2CE· AE·cosE=12+64-2×2W3×8X 3 2 =28. .AC=2√7. D R口 (第13题) 第2课时解直角三角形中的 视角问题 1.490 2.如图，过点C作CH⊥AB于点H, 则易得CH=BD,BH=CD=0.5m. 在Rt△ACH中，tan∠ACH= 加57 .AH=CH=BD. ∴.AB=AH+BH=BD+0.5m. ·EF⊥FB,AB⊥FB, .∠EFG=∠ABG=90 由反射角等于人射角，得∠EGF= ∠AGB, ∴.△EFGc∽△ABG. EF FG AB BG 设BD=xm 1.6 2 六十0.55千x,解得x=17.5. 经检验，x一17.5是原方程的解，且符 合题意 .BD=17.5m. ∴.AB=17.5+0.5=18(m). '.这棵古树的高度AB为18m. E C45· H B (第2题) 3.C解析：如图，过点D作DE⊥ AB于点E,则四边形BCDE是矩形. .BE=CD,BC=DE.设DE BC=x.在Rt△ABC中，易得 ∠ACB=B,∴.AB=BC·tanB.在 Rt△ADE中，易得∠ADE=a,∴.AE= DE·tana=BC·tana.∴.CD= AB-AE=BC·tanB-BC·tana. ..AB BC·tan3 CD BC(tan B-tan a) tan B tan B-tan a D B (第3题) 4.35.7解析：如图，延长NM,交 AB于点H,反向延长NM,交DE于 点F,过点N作NP⊥AE于点P.由 题意，得MN∥AE,DE⊥CE,AB⊥ AE..'.NH⊥AB,MF⊥DE,FM∥ CE.∴.∠DMF=∠DCE=30°. :DC=42米，CM=12米，∴.DM= DC-CM=30米.∴.在Rt△DFM 中，DF=2DM=15米.：∠DNM= 135,.易得∠DNF=45°= ∠FDN..DF=FN=15米.易得 FN=EP=15米，EF=AH,FH= EA.在Rt△DEC中，∠DCE=30°， ·DE=2CD=21米，CE= 月Cn=21w米：AC=0米， .FH=AE=(30+213)米. '.NH=30+21√3-15=(213+ 15)米.在Rt△BNH中，∠BNH= 30°，'.BH=NH·tan30°= 21,5+15)×3 3 =(21+55)米 .DF=15米，.EF=AH=DE DF=21-15=6(米).∴.AB=AH+ BH=27+55≈35.7（米）.∴.轻轨 所穿楼栋AB的高度约为35.7米. B M H 口口 N30 C (第4题) 5.1426解析：如图，连接BD,过 点D作DE⊥BC于点E.由题意，知 ∠DBC=∠DCB=45°，.BD=CD, ∠BDC=9O.:DE⊥BC,∴.BE= CE.·DE=2BC=14m记圆心为 点O,过点O作OG⊥BD于点G, OQ⊥AB于点Q,过，点G作GF⊥BE 于，点F,∴.AQ=BQ=10m,BG= DG..易得GF=BF=2DE=7m 过点G作GH⊥OQ于点H,得矩形 GFQH,.HQ=GF =7 m..QF= QB+BF=10+7=17(m),.'.GH= QF=17m..∠DBC=45°， '.∠QBG=180°-45°=135° ,∠OGB=∠OQB=90°， .∠QOG=45.∴.OH=GH= 17m..OQ=OH+HQ=17+7= 24(m).连接OA,在Rt△AOQ中，根 据勾股定理，得OA=√Q+AQ= √24+10=26(m). 0 'Hh-- (第5题) 6.①③④解析：如图，过点D作 DE⊥AB,垂足为E,则AE=CD, DE=AC=12m.在Rt△ADE中， 38 ∠ADE=30°，∴.AE=DE·tan30°= 12X③ =45(m),AD= DE 3 0s30°= 2=85(m..CD=AE=45≈ 2 6.8m.故②不正确.在Rt△BED中， BE=DE·tan45°=12m,∴.AB= AE+BE=45+12≈18.8(m).故① 正确.：AD=85≈13.6m, .AB>AD..若直接从点A处欣 伐，树干倒向教学楼CD方向会对教 学楼造成危害.故③正确..18.8 8=10.8(m),10.8<12,∴.若第一次 在距点A8m处的树干上砍伐，不会 对教学楼CD造成危害.故④正确.综 上所述，正确的是①③④， D E 45 20 0 A←12m→C (第6题) 7.如图，延长DF与AB相交于点G. 根据题意，得四边形GAEF和四边形 FECD是矩形，∠GDB=22°， ∠GFB=31°，∠DGB=90°， ∴.AG=EF=CD=1.7m,DF= CE=32 m. 在Rt△FGB中，tan∠GFB= GB GF GB .GF= tan 31 在Rt△DGB中，tan∠GDB GB GD .GD= GB tan 22 .GF+DF=GD, GB tan37+32- GB tan 22 .GB 32×tan22×tan31 tan31°-tan22° 32×0.4×0.6=38.4(m. 0.6-0.4 .∴.AB=AG+GB=1.7+38.4≈ 40(m). 答：世纪钟的高度约为40m. .22 D A (第7题) 一方法制归纳 视角问题的一般解题思路 解决仰角和俯角的实际问题 时，往往根据条件，结合图形，选用 适当的锐角三角函数解直角三角 形.当图形不是直角三角形时，可 添加适当的辅助线，把它们分割成 直角三角形或矩形， 8.(1)如图，过点B作BM⊥CD于 点M,则易得∠DBM=∠BDN= 30°，BM=AC,AB=CM. 在Rt△BDM中，BM=AC=24W3米， ∠DBM=30°， ∴.DM=BM·tan∠DBM=245X 3 3 =24(米). .'AB=CM=CD-DM=49.6- 24=25.6(米). ∴.教学楼AB的高度为25.6米. (2)如图，连接EB并延长，交DN于 点G,则∠DGE=∠MBE 在Rt△EMB中，BM=AC=245米， EM=CM-CE=24米， EM24 3 .tamn∠MBE=BM245 3 .∠MBE=30°=∠DGE .∠EDG=90°， ∴.∠DEG=90°-30°=60°. 在Rt△EDG中，ED=CD一CE 48米， ∴.DG=ED·tan60°=48W3米 .·483÷43=12(秒)， ∴.12秒后无人机刚好离开圆圆的 视线。 D30 飞行方向G,N B Mp- 000D E (第8题) 第3课时解直角三角形中的 方位角、坡角问题 1.C2.15√3m 3.如图，作BN⊥CD于点N,作 BM⊥AC于点M. 在Rt△BDN中，BD=30米，BN: ND=1:√3，BN+ND2=BD, ∴.易得BN=15米，DN=15√3米. ,∠C=∠CMB=∠CNB=90°， ∴.四边形CMBN是矩形 '.CM=BN=15米，BM=CN= 60√5-155=45√5（米）. 在Rt△ABM中，tam∠ABM=3 tan53≈3， 4 ∴.AM≈60√3米」 ∴.AC=AM+CM=(60W5+15)米. ∴.楼房AC的高度约为(60√3十 15)米. P.-.53B C (第3题) 4.C解析：如图，过点B作BF AP于点F,过点D分别作DG⊥AP 于点G,DH⊥PE于点H..FG h=5.5米，PG=DH.在Rt△AFB AF 中，sima=A范，AB=12米，AF= AB·sina≈12×0.28=3.36（米）.设 DH=x米.：DE的坡度i=1: 2.4,.HE=2.4x米.在Rt△DHE 中，DE=19.5米，由勾股定理，得 (2.4x)2+x2=19.52,解得x=7.5 (负值舍去)..某人从点A出发到点 E处下降的垂直距离约为3.36十5.5+ 7.5≈16.4（米） A H (第4题) 39 5号解析：如图，延长AN,交直线 BC于点E.由题意，得AD=BC= CD=9cm,∠D=90°，AD∥BC, AN∥FG.设DN=xcm,则CN= CD-DN=(9-x)cm.:密封透明 正方体容器水平放置在桌面上与放在 坡角为a的斜坡上，容器里水的体积 不变，且放在坡角为α的斜坡上时，水 的体积等于长为9cm、宽为9cm、高 为(9一x)cm的长方体的体积与长为 9cm、宽为9cm、高为xcm的长方体 的体积的一半之和，.9X9(9一x)十 2×9×9x=9X9X7,解得x=4,即 DN=4cm.:AN∥FG, .∠AEF=∠F=a.AD∥BC, ∴.∠DAN=∠AEF=a.∴.tana= DN 4 tan∠DAN= AD9· D ACM E (第5题) 6.10解析：在BC上取点F,连接 AF,使∠FAE=50°，过点F作FHL AD于点H.:BC∥AD,BE⊥AD, FH⊥AD,.易得四边形BEHF为 矩形..BF=EH,BE=FH.斜 BE_12 坡AB的坡度为12：5，AE=5 设BE=12xm,则AE=5.xm.在 Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2十 BE2=AB2,即(5.x)2+(12x)2=26, 解得x=2(负值舍去).∴.AE= 10m,BE=24m.∴.FH=BE= 24m.在Rt△FAH中，tan∠FAH= 器AH=路-器=m .'BF EH=AH-AE =10 m. .坡顶点B沿BC至少向右移10m, 才能确保山体不滑坡。拔尖特训·数学（人教版）九年级下 第2课时 解直角 自基础进阶 1.(2025·浙江)如图，在高速公路上，交警在点 A处操控无人机巡查，无人机从A处飞行到 P处悬停，探测到它的正下方公路上B处有 汽车发生故障.测得点A到点P的距离为 500m,从点A观测点P的仰角为a,cosa= 0.98,则点A到点B的距离为 m. (第1题) 2.小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一 棵古树的高度.一天下午，他和学习小组的同 学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围 栏保护，他们无法到达古树的底部B(如图). 于是他们先在古树周围的空地上选择一 点D,并在点D处安装了测量器DC,测得古 树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长 线上确定一点G,使DG=5m,并在点G处 的地面上水平放置了一面小平面镜，小明沿 着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在 小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此 时测得FG=2m,小明的眼睛与地面的距离 EF=1.6m,测量器的高度CD=0.5m.已 知点F,G,D,B在同一水平直线上，且EF, CD,AB均垂直于FB,求这棵古树的高度 AB(小平面镜的大小忽略不计). E (第2题) 60 E角形中的视角问题、“答案与解析”见P37 幻素能攀升 3.如图，两座建筑物在同一水平面上，从点A 测得点D的俯角为α，测得点C的俯角为3， 则建筑物AB与CD的高度之比为( tan a A. tana-tan B sin a B. sin a-sin B C. tan B (第3题) tanβ-tana sin B D. sin B-sin a 4.(2024·济宁二模)重庆李子坝的“轻轨 穿梭”是游客们争相打卡”的热门景 点.如图，斜坡CD底端C距离轻轨 所穿楼栋AB的底端A处30米远，斜坡CD 长为42米，∠DCE=30°，DE⊥CE,为了方 便游客拍照，现需在距斜坡底端C处12米的 M处挖去部分坡体修建一个平行于水平线 CE的观景平台MN和一条新的斜坡DN, ∠DNM=135°.小育在N处测得轻轨所穿 楼栋AB的顶端B的仰角为30°，点A,B,C, D,E,M,N在同一平面内，点A,C,E在同 一条直线上，且AB⊥AE,则轻轨所穿楼栋 AB的高度约为 米（结果精确到 0.1米，参考数据：√2≈1.414，W3≈1.732). M 口口口口口 30 C (第4题) 5.图①是郑州的“戒指桥”，其数学模型如图② 所示.线段CD是其中一条拉索，点D在圆 上，A,B是圆和水平桥面的交点.小明测得 AB=20m,BC=28m,且在点B处和点C 处观测点D的仰角均为45°，则点D到桥面 的距离为 m,“戒指”的半径为 m. ① ② (第5题) 6.如图，校园内有一棵枯死的树 AB,距树12m处有一栋教学 楼CD.为了保障师生安全，学 D 校决定砍伐该树.小青站在 楼顶D处，测得点B的仰角 (第6题) 为45°，点A的俯角为30°.小青 计算后得到下列结论：①AB≈18.8m; ②CD≈8.4m;③若直接从点A处砍伐，树 干倒向教学楼CD方向会对教学楼造成危 害；④若第一次在距，点A8m处的树干上砍 伐，不会对教学楼CD造成危害.其中，正确 的是 (填序号，参考数据：√3≈1.7， √2≈1.4). 7.*(2025·天津)在综合与实践活动中，同学们 要用测角仪测量天津站附近世纪钟AB的高 度（如图①）.某学习小组设计了一个方案：如 图②所示，点A,E,C依次在同一条水平直 线上，CD⊥AC,EF⊥AC,且CD=EF= 1.7m.在D处测得世纪钟顶部B的仰角为 22°，在F处测得世纪钟顶部B的仰角为 31°，CE=32m. 3F.2D ① ③ (第7题) 根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟的 第二十八章锐角三角函数 高度（结果精确到1m,参考数据：tan22°≈ 0.4,tan31°≈0.6). 思维拓展 8.新情境·科技民生随着科技的发展， 无人机已广泛应用于生产和生活 中，如代替人们在高空测量距离和 高度.圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无 人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教 学楼底部24米的点C处，遥控无人机悬 停在点C的正上方的点D处，测得教学楼 AB的顶部点B处的俯角为30°，CD的长为 49.6米.已知圆圆的眼睛距地面的高度CE 为1.6米. (1)求教学楼AB的高度， (2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的 方向，以4√3米/秒的速度继续向前匀速飞 行.求多少秒后无人机刚好离开圆圆的视线. 飞行方向 D30° B 0000 E (第8题) 61