28.2.5 解直角三角形-2025-2026学年九年级下册数学同步辅导（人教版2012）

28.2解直角三角形及其应用 第5课时解直角三角形 基础巩固 1.等腰三角形顶角为120°，底边上的高为 4.在△ABC中，三边满足a:b:c=1：1:√2， 11.3,则底角和腰分别是( ) 则∠A= ,∠B A.30°和22.6 B.60°和22.6 5.如图28-5-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，D C.30°和13.05 D.60°和13.05 是BC的中点，DE⊥AB,垂足为E,∠B= 2.等边三角形的高为5√3，则它的面积 30°，AE=7,求DE的长. 为() A.150 B.150√3 C.50√3 D.25√5 3.如图28-5-1，已知在△ABC中，∠B=45°， 图28-5-2 ∠C=60°，BC边上的高AD=3,则BC边为 () A.3+33 B.2+√3 C.3+3 D.√3+√6 图28-5-1 能力提升 1.在△ABC中，∠C=90°，如果c=2,a=1,那3.如图28-5-3，在△ABC中，∠C=90°，∠B= 么∠A的度数是( 50°，AB=10,则BC的长为() A.30° B.45° C.60° D.75 A.10tan50° 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2√2，b=2√6， B.10cos50° 则下列结论中不正确的是( C.10sin50° A.c=4√2 B.tanB=√/3 图28-5-3 c0s50 C.sinA++cosB=1 D.∠B=30° 4.下列说法中正确的是() 10.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，斜边 A.在直角三角形的六个元素中，除了直角以 上的高CD=√3，试解Rt△ABC. 外只要知道任意的两个元素就可以求出 其他三个元素 B.在直角三角形的六个元素中，只要知道任 意的三个元素就可以求出其他三个元素 C.在直角三角形的六个元素中，除了直角以 外只要再知道两个元素（至少有一个是 边)就可以求出其他三个元素 D.在直角三角形的六个元素中，只要知道任 意的两个元素就可以求出其他四个元素 5,在R△ABC中，∠C=90,ianA=子，AC= 6,则BC的长为() A.6 B.5 C.4 D.2 6.在Rt△ABC中，∠C=90°.若∠B=60°，b= 12,则a= ,∠A= 精彩一题 ,S△ABC= 如图28-5-4，在△ABC中，∠C=90°，sinA= 7.在Rt△ABC中，∠C=90°.若a=号 3 号，D为AC上-点：∠BDC=45,DC=8,解 则b= ，∠A= ,∠B= Rt△ABC. 8.等腰梯形的腰长为6，下底角的正切值为 45° 4 图28-5-4 下底长为12√2，则上底长为 9.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6,b=2√3，解 这个直角三角形.在Rt△ADC中，AC=10, ∴.CD=√AC-AD'=√/100-12=2/22(dm). .'BC=BD++DC=(2+222)dm. ∴.B、C两点间的距离为(2+2√/22)dm. 精彩一题 解：如答图28-3-2，在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠ABC=30°. 设AC=a,那么由30°角 02 的三角函数值， 答图28-3-2 可知BC=√3a,AB=2a, 延长CB到D,使BD=AB,连接AD 因为∠ABC=∠1十∠2，又因为AB=BD, 所以∠ABC=2∠1=2∠2， 所以∠1=∠2=15°. 在Rt△ACD中，∠C=90°，AC=a, DC=DB+BC=AB+BC=2a+3a, 所以tanl5°=tan∠ADC=AC C2a十√3a 2-3. 第4课时锐角三角函数（四） 【基础巩固】 1.B2.D3.A4.A 5.(1)0.5150 (2)0.8187(3)0.9175 (4)0.7538 6.(1)30°844" (2)8528'29"(3)8921'48 【能力提升】 1.C2.B3.C4.B 5.A点拨：当tana=5时，锐角a≈78.69°， tan5°≈0.08748866，∴.④错误；①②③都 正确。 6.(1)0.3557 (2)0.9336(3)1.0270 (4)1.8653 7.(1)76°22′ (2)23°41′(3)71°38 (4)62°25 8.38.6点拨：sinA= 6AB= BC inA sin15≈38.6（米）. 10 9.解：(1)正弦值随锐角度数的增大而增大， 余弦值随锐角度数的增大而减小. (2)sinl8°<sin34°<sin50°<sin62°< sin88°，cos88°<cos62°<cos50°<cos34°< cos18°. (3)=< (4),'cos70°=sin20°，cos30°=sin60°， .sinl0°<cos70°<sin50°<cos30°. 精彩一题 解：(1)设需要t小时才能追赶上， 则AB=24t海里，OB=26t海里. 在Rt△ABO中，OB2=OA2+AB, 即(26t)2=102+(24t)2,解得t=士1， 由于t>0,∴.t=1. 故需要1小时才能追赶上. (2)在Rt△ABO中， :sin∠AOB=A5=24t=12 OB26t-13' ∴.∠AOB≈67.4°. 故巡逻艇追赶方向为北偏东67.4°. 28.2解直角三角形及其应用 第5课时解直角三角形 【基础巩固】 1.A 2.D点拨：利用等边三角形的三线合一，再 利用三角函数解直角三角形，便可求出等 边三角形的边长，从而求出三角形的面积. 3.C4.45°45 5.解：设DE=x,∠B=30°，DE⊥AB, 从而在Rt△BDE中，BD=2x,BE=3x 又D为BC中点，.DC=BD=2x, .BC=BD+DC=4x,AB=AE+BE= 7+√3x. 在Rt△ABC中，∠B=30°， ∴cosB=3_BC4x 2AB7+5.x 解得x=75,即DE的长为2g 【能力提升】 1.A2.D 3.B点拨：.在△ABC中，∠C=90°， cosB.BC-AB.cosB-10cos50 4.C 5D点接：∠C=901mA==3 .AC=6,∴.BC=2. 6.4√38√330°24√3 7.345°45°8.4厄 9.解：由勾股定理，得 c=√a2+=√62+(2√3)2=4√3. tanA-4=,65=B.∠A=60, .∠B=90°-60°=30°. 点拨：已知两条直角边，解直角三角形通常 用勾股定理求出斜边，利用两条直角边的 比得到正切值，求出一个锐角，利用两锐角 的互余关系求出另一个锐角. 10.解：如答图所示， .∠A=60°， .∠B=30°. 'sinA=C C' 答图 ..AC= CD √3 sinA sin60=2. tandc.cos ∴.BC=AC·tanA=2X√3=2√3， AB=AC 2 cosA cos60=4. 点拨：解直角三角形选择三角函数关系式 时，应遵循：“有弦用弦，无弦用切，宁乘勿 除，取原（原始数据）避中（中间求出的数 据)”的原则： 精彩一题 解：.∠C=90°，∠BDC=45°， ∴.∠CBD=∠BDC=45°， ..BC=DC=8. 又：sinA-S=iB旨 BC82 ∴.AB=20,∠A≈23.58°. .AC=√202-82=4√/2I, ∠B=90°-∠A≈90°-23.58°=66.42°. 第6课时应用举例（一） 【基础巩固】 1.C2.B 3.D点拨：由题意可知∠ABC=90°，∠ACB= 45°，∠ADB=30°，设AB=hm,则BC= hm,tan∠ADB=tan30°=AB=_AB BD CD+BC 100+h:解得h=50(3+1). h 4.325.3+3 6.解：过点E作EG⊥AD于点G, 由已知，得∠AEG=60°，∠BEG=45°. 在Rt△BEG中，BG=EG. 在Rt△AEG中，AG=EG·tan∠AEG= √3EG=√5BG. 又.'AG=AB+BG=20+BG, ∴.√3BG=20+BG, .BG=10(√3+1)m. '.BD=BG+GD,GD=EF=35 m, ∴.BD=10(/3+1)+35≈62.3(m).