28.2 第2课时 解直角三角形中的视角问题-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

AF =5x =EF,则 AC =12x. ∴ CF = AC2+AF2 = 13x. ∴ CE=CF-EF=13x-5x=8x= CD.∵ D 是BC 的中点,∴ BC= 16x.在 Rt△ABC 中,CB =16x, AC=12x,∴ 易得AB=20x=15,解 得x=0.75.∴ CD=8x=6. (第8题) 9. 9 4 ,0 [解析] 设C(a,0), ∴ OC=a.∵ A(1,0),B(0,-3), ∴ OA=1,AC=a-1,OB=3. ∴ BC = 32+a2 = 9+a2.在 Rt△OAB中,tan∠OBA=OAOB= 1 3 , ∵ tan∠ABC = 13 ,∴ ∠OBA = ∠ABC.如图,过点C作CD∥y轴,交 BA 的延长线于点D.∴ ∠OBA= ∠D,∠AOB=∠ACD.∴ △OBA∽ △CDA,∠ABC=∠D.∴ OB CD= OA CA , CD=BC.∴ OB BC= OA AC ,即 3 9+a2 = 1 a-1.∴ a=94.∴ 点C 的坐标为 9 4 ,0 . (第9题) 10. 1 [解析] 如图,延长AE,DC交 于点F.∵ AE⊥DE,∴ ∠AED= ∠FED=90°.∵ DE 平分∠ADC, ∴ ∠ADE=∠FDE.∵ DE=DE, ∴ △ADE≌△FDE.∴ AE=FE= 3.∵ sin∠CDE=35 ,∴ EF DF= 3 5. ∴ DF=5.∵ AB∥CD,∴ ∠F= ∠BAE,∠ECF=∠B.∴ △ECF≌ △EBA.∴ CF=BA=4.∴ CD= DF-CF=5-4=1. (第10题) 11. 65 5 [解析] ∵ DP⊥AP, CD⊥DP,∴ AP∥CD.∴ ∠C= ∠APB.∵ AB⊥BC,∴ tan∠APB= tanC = 12 = AB BP.∴ 2 BP = 1 2. ∴ BP=4.∴ PC=BC-BP=10- 4=6.在Rt△CDP 中,tanC=DPCD , CD= PC2-DP2 = 62-DP2, ∴ DP 62-DP2 =12.∴ DP=655 . 12. 如图,过点B 作BN⊥GA 于点 N,过点H 作HM⊥GA于点M. ∴ ∠AMH=∠BNA=90°. 在 Rt△AMH 中,∠AMH =90°, ∠MAH=45°, ∴ MH=AM=2.4cm. ∴ 易得BN=MH=2.4cm. 在 Rt△BAN 中,∠BNA =90°, ∠BAN=37°, ∵ tan∠BAN=tan37°=BNAN≈0.754 , ∴ AN≈3.2cm. ∴ 点B 对应的直尺上的读数约是 3.2cm. (第12题) 13. (1) csinB;ccosB;a2+c2- 2accosB. (2) 如图,延长BC,AD交于点E. ∵ ∠B=90°,∠BAD=60°,AB=4, ∴ AE = ABcos∠BAD =2AB =8 , ∠E=30°. ∵ AD=5, ∴ DE=AE-AD=3. ∵ ∠ADC=∠CDE=90°, ∴ 在 Rt△CDE 中,CE= DEcosE= 23. 由(1),知AC2=CE2+AE2-2CE· AE·cosE=12+64-2×23×8× 3 2=28. ∴ AC=27. (第13题) 第2课时 解直角三角形中的 视角问题 1. A 2. A 3. 26.6° [解析] 如图,过点P 作 PD⊥OC 于点D,PE⊥OA 于点E, 则四边形ODPE为矩形.在Rt△PBD 中,∠BDP =90°,∠BPD =26.6°, ∴ BD=PD·tan26.6°.∵ ∠CPD= 37°,∴ CD=PD·tan37°.∴ PD· tan37°-PD ·tan26.6°=80. ∴ 0.75PD-0.50PD≈80.∴ PD≈ 320米.在Rt△PBD 中,BD=PD· tan26.6°≈320×0.50=160(米). ∵ OB=220米,∴ PE=OD=60米. ∵ OE=PD=320米,∴ AE=OE- OA=120米.∴ 在 Rt△PAE 中, tanα=PEAE= 60 120=0.5.∴ α≈26.6°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93 ∴ 山坡的坡角α约为26.6°. (第3题) 4. C [解析] 如图,过点D 作DE⊥ AB于点E,则四边形BCDE是矩形. ∴ BE=CD,BC=DE.设 DE= BC =x.在 Rt△ABC 中,易 得 ∠ACB=β,∴ AB=BC·tanβ.在 Rt△ADE中,易得∠ADE=α,∴ AE= DE·tanα=BC·tanα.∴ CD= AB-AE=BC·tanβ-BC·tanα. ∴ AB CD = BC·tanβ BC(tanβ-tanα) = tanβ tanβ-tanα . (第4题) 5. 35.7 [解析] 如图,延长NM,交 AB于点H,反向延长NM,交DE于 点F,过点N 作NP⊥AE于点P.由 题意,得MN∥AE,DE⊥CE,AB⊥ AE.∴ NH⊥AB,MF⊥DE,FM∥ CE.∴ ∠DMF = ∠DCE =30°. ∵ DC=42米,CM=12米,∴ DM= DC-CM=30米.∴ 在 Rt△DFM 中,DF=12DM=15 米.∵ ∠DNM= 135°,∴ ∠DNF =45°= ∠FDN. ∴ DF=FN=15米.易得FN= EP=15米,EF=AH,FH=EA.在 Rt△DEC中,∠DCE=30°,∴ DE= 1 2CD =21 米,CE = 32 CD = 213米.∵ AC=30米,∴ FH = AE=(30+213)米.∴ NH=30+ 213-15= (21 3+15)米.在 Rt△BNH 中, ∠BNH = 30°, ∴ BH=NH·tan30°=(21 3+ 15)× 33= (21+53)米.∵ DF= 15米,∴ EF=AH =DE-DF= 21-15=6(米).∴ AB=AH + BH=27+53≈35.7(米).∴ 轻轨 所穿楼栋AB的高度约为35.7米. (第5题) 6. ①③④ [解析] 如图,过点D 作 DE⊥AB,垂足为E,则AE=CD, DE=AC=12m.在 Rt△ADE 中, ∠ADE=30°,∴ AE=DE·tan30°= 12× 33=43 (m),AD= DEcos30°= 12 3 2 =83(m).∴ CD=AE=43≈ 6.8m,故②不正确.在Rt△BED 中, BE=DE·tan45°=12m,∴ AB= AE+BE=43+12≈18.8(m),故① 正 确.∵ AD =83 ≈ 13.6m, ∴ AB>AD.∴ 若直接从点A 处砍 伐,树干倒向教学楼CD 方向会对教 学楼造成危害,故③正确.∵ 18.8- 8=10.8(m),10.8<12,∴ 若第一次 在距点A 8m处的树干上砍伐,不会 对教学楼CD造成危害,故④正确.综 上所述,正确的是①③④. (第6题) 7. 如图,过点A 作AE⊥AD,交BC 的延长线于点E,则易得BE=AD= 31.5米,∠AEB=90°. 在 Rt△ABE 中,BE =31.5 米, ∠AEB = 90°, ∠BAE = 65°, tan∠BAE=BEAE , ∴ AE= BEtan65°≈ 31.5 2.1=15 (米). 在 Rt△ACE 中,∠CAE = 50°, tan∠CAE=CEAE , ∴ CE=AE·tan∠CAE ≈15× 1.2=18(米). ∴ BC=BE-CE=31.5-18= 13.5(米). ∴ 烽燧BC的高度约为13.5米. (第7题) 视角问题的一般解题思路 解决仰角和俯角的实际问题 时,往往根据条件,结合图形,选用 适当的锐角三角函数解直角三角 形.当有些图形不是直角三角形 时,可添加适当的辅助线,把它们 分割成直角三角形或矩形. 8. (1) 如图,过点B 作BM⊥CD 于 点M,则易得∠DBM =∠BDN = 30°,BM=AC,AB=CM. 在Rt△BDM 中,BM=AC=243米, ∠DBM=30°, ∴ DM=BM·tan∠DBM=243× 3 3=24 (米). ∴ AB=CM=CD-DM=49.6- 24=25.6(米). ∴ 教学楼AB的高度为25.6米. (2) 如图,连接EB并延长,交DN 于 点G,则∠DGE=∠MBE. 在Rt△EMB 中,BM=AC=243米, EM=CM-CE=24米, ∴ tan∠MBE=EMBM= 24 243 = 33. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 04 ∴ ∠MBE=30°=∠DGE. ∵ ∠EDG=90°, ∴ ∠DEG=90°-30°=60°. 在Rt△EDG 中,ED=CD-CE= 48米, ∴ DG=ED·tan60°=483米. ∵ 483÷43=12(秒), ∴ 12秒后无人机刚好离开圆圆的 视线. (第8题) 第3课时 解直角三角形中的 方位角、坡角问题 1. C 2. C [解析] 由题意,知P 是AC, AB垂直平分线的交点,连接AP(如 图).∴ ∠PFA=∠PDA=90°,AF= CF=2海里,AD=BD=3海里.过点 G作GE⊥DP于点E,则易得四边形 ADEG为矩形.∴ DE=AG,GE= AD=3海里.由题意,可知∠FAG= 30°.∴ FG=AF·tan30°=233 海 里.∴ AG =2FG =433 海 里. ∴ DE=AG=433 海里.∵ 易得 ∠FAD=120°,∴ ∠FPD=60°,则 ∠PGE=30°.∴ PE= 33GE= 3 海 里.∴ PD=DE+PE=733 海里. ∴ AP= AD2+PD2=2 573 海里. (第2题) 3. 105 [解析] 如图,过点 D 作 DF⊥AB,垂足为F,过点C作CE⊥ DF,垂 足 为 E.∴ ∠AFD = ∠CED=90°.∴ 易得 CE=BF, BC=EF=40海里.设DE=x海里, ∴ DF=DE+EF=(x+40)海里.在 Rt△DEC 中,∠DCE=90°-45°= 45°,∴ CE = DEtan45°=x 海 里. ∴ BF=CE =x 海里.∵ AB = 100海里,∴ AF=AB-BF=(100- x)海里.在Rt△ADF 中,∠ADF= 32°,∴ tan32°=AFDF= 100-x x+40≈0.6 , 解得x=47.5.经检验,x=47.5是原 分式方程的解,且符合题意.∴ AF= 100-47.5=52.5(海里).在Rt△ADF 中,AD= AFsin32°≈ 52.5 0.5=105 (海里), ∴ 码头A与D处的距离约为105海里. (第3题) 4. C [解析] 如图,过点B作BF⊥ AP于点F,过点D 分别作DG⊥AP 于点G,DH⊥PE 于点H.∴ FG= h=5.5米,PG=DH.在Rt△AFB 中,sinα=AFAB ,AB=12米,∴ AF= AB·sinα≈12×0.28=3.36(米).设 DH=x 米.∵ DE 的坡度i=1∶ 2.4,∴ HE=2.4x米.在Rt△DHE 中,DE=19.5米,由勾股定理,得 (2.4x)2+x2=19.52,解得x=7.5 (负值舍去).∴ 某人从点A出发到点 E处下降的垂直距离约为3.36+ 5.5+7.5≈16.4(米). (第4题) 5. 不会 [解析] 如图,过点C 作 CD⊥y 轴于点D.设OD=x,则 AD=10+x.∴ 易得CD=AD= 10+x.在 Rt△COD 中,∠OCD= 30°,∴ OC=2OD.∵ tan∠COD= CD OD ,∴ CD=x·tan60°= 3x. ∴ 10+x= 3x.∴ x= 10 3-1 =5+ 53.∴ CD=15+53.过点C 作 CG⊥x轴于点G,取AB 的中点O', 过点O'作O'E⊥DC 于点E,交OB 于点H.∴ 易得OA=OH=BH= DE=10.∴ CE=CD-DE=5+ 53.过点O'作O'F⊥CG,交CG 的 延长线于点F,则四边形CEO'F是矩 形.∴ O'F =CE =5+5 3. ∵ ∠AOB=90°,∴ 线段AB 是☉O' 的直径,AB= OA2+OB2=105. ∴ O'A=55.∵ 5+53>55, ∴ O'F>O'A.∴ 船只C不会闯入安 全警戒区域. (第5题) 6. 10 [解析] 在BC上取点F,连接 AF,使∠FAE=50°,过点F作FH⊥ AD于点H.∵ BC∥AD,BE⊥AD, FH⊥AD,∴ 易得四边形BEHF 为 矩形.∴ BF=EH,BE=FH.∵ 斜 坡AB的坡度为12∶5,∴ BE AE= 12 5. 设BE=12x m,则AE=5x m.在 Rt△ABE中,由勾股定理,得AE2+ BE2=AB2,即(5x)2+(12x)2=262, 解得x=2(负值舍去).∴ AE= 10m,BE=24m.∴ FH =BE= 24m.在Rt△FAH 中,tan∠FAH= FH AH ,∴ AH= FHtan50°≈ 24 1.2=20 (m). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 58 第2课时 解直角三角形中的视角问题 ▶ “答案与解析”见P39 1. (2023·温州二模)如图,在距离地面高m 米 的A处,用测量仪测得树的顶端C的仰角为 α,测得树的底端D 的俯角为45°,则树CD 的高为 ( ) A. (m+mtanα)米 B. (m+mcosα)米 C. (m+msinα)米 D. m+ mtanα 米 (第1题) (第2题) 2. (2024·深圳)如图,小明用高1.8m的测量 仪EF测得某电子厂顶端A的仰角为45°,小 军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪 CD测得顶端A的仰角为53°,则电子厂AB 的高度约为 参考数据:sin53°≈45,cos53°≈ 3 5 ,tan53°≈43 ( ) A. 22.7mB. 22.4mC. 21.2mD. 23.0m 3. (2024·泰安模拟)如图,测量员在山坡P 处 (不计此人身高)测得对面山顶上的一座铁塔 塔尖C 的仰角为37°,塔底B 的仰角为 26.6°.已知塔高BC=80米,塔所在的山高 OB=220米,OA=200米,点O,B,C,A,P 在同一平面内,则山坡的坡角α约为 (参考数据:sin26.6°≈0.45,tan26.6°≈ 0.50,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75). (第3题) 4. (2024·随州三模)如图,两座建筑物在同一 水平面上,从点A测得点D的俯角为α,测得 点C的俯角为β,则建筑物AB与CD的高度 之比为 ( ) (第4题) A. tanα tanα-tanβ B. sinα sinα-sinβ C. tanβ tanβ-tanα D. sinβ sinβ-sinα 5. (新情境)(2024·济宁二模)重庆李子 坝的“轻轨穿梭”是游客们争相“打卡” 的热门景点.如图,斜坡CD 底端C 距离轻轨所穿楼栋AB的底端A处30米远, 斜坡CD 长为42米,∠DCE=30°,DE⊥ CE,为了方便游客拍照,现需在距斜坡底端 C处12米的M 处挖去部分坡体修建一个平 行于水平线CE的观景平台MN 和一条新的 斜坡DN,∠DNM=135°.小育在N 处测得 轻轨所穿楼栋AB的顶端B的仰角为30°,点 A,B,C,D,E,M,N 在同一平面内,点A, C,E在同一条直线上,且AB⊥AE,则轻轨所 穿楼栋AB的高度约为 米(结果精确 到0.1米,参考数据:2≈1.414,3≈1.732). (第5题) (第6题) 6. 如图,校园内有一棵枯死的树AB,距树12m 处有一栋教学楼CD.为了安全,学校决定砍 伐该树.站在楼顶D 处,测得点B 的仰角为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 59 45°,点A的俯角为30°.小青计算后得到下列 结论:① AB≈18.8m;② CD≈8.4m;③ 若 直接从点A处砍伐,树干倒向教学楼CD 方 向会对教学楼造成危害;④ 若第一次在距点 A8m处的树干上砍伐,不会对教学楼CD 造成危害.其中,正确的是 (填序号, 参考数据:3≈1.7,2≈1.4). 7. ★(2023·新疆)烽燧即烽火台,是古代的报警 系统,史册记载,夜间举火称“烽”,白天放烟 称“燧”.克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道 上新疆境内时代最早、保存最完好的古代烽 燧.某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧 的高度,如图,无人机飞至距地面高度为 31.5米的A处,测得烽燧BC的顶部C处的 俯角为50°,测得烽燧BC 的底部B 处的俯 角为65°,求烽燧BC 的高度(参考数据: sin50°≈0.8,cos50°≈0.6,tan50°≈1.2, sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan65°≈2.1). (第7题) 8. (2023·衡阳)随着科技的发展,无人 机已广泛应用于生产和生活中,如代 替人们在高空测量距离和高度.圆圆 要测量教学楼AB 的高度,借助无人机设计 了如下测量方案:如图,圆圆在离教学楼底部 243米的点C处,遥控无人机悬停在点C的 正上方的点D 处,测得教学楼AB的顶部点 B处的俯角为30°,CD 的长为49.6米.已知 圆圆的眼睛距地面的高度CE为1.6米. (1) 求教学楼AB的高度. (2) 若无人机保持现有高度沿平行于CA 的 方向,以43米/秒的速度继续向前匀速飞 行.求多少秒后无人机刚好离开圆圆的视线. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十八章　锐角三角函数