28.2 第1课时 解直角三角形-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

AB·0ms3D=10Xξ-55. AC=2√7， ∴.CD=√AC2-AD=5 ∴.BC=BD-CD=5W5-√5=45 ·Sr=20AD=号×45X 5=105. 综上所述，△ABC的面积为15√5或 105. ① C ② (第15题) 28.2解直角三角形 及其应用 第1课时解直角三角形 1.C2.C3.24.2或4 5.24<BP≤6 6.B解析：过点A作AE⊥BC于 点E,则AE=h.,垂线段最短， .AE<AD..h<AD..A不正 确.在Rt△ABE中，：simB=AE AB ∴.h=AE=AB·sinB.AB> AD,.AB·sinB>AD·sinB. .h>AD·sinB..B正确.在 R△ADE中，：=∠DAE=S ∴.h=AE=AD·cos∠DAE..C 不正确mB能年amC 瓷华+= htan B十 amC,即BE+C h tan B tan C' k()=D不 正确. 一方法归纳 选择恰当的锐角三角函数 解直角三角形 解直角三角形的关键是要结 合图形的性质，灵活运用锐角三角 函数的定义，根据已知的边角条 件，求出未知的边或角.一般的解 题方法是观察题目所涉及的已知 的边或角，明确边的对角或者邻 角，或者明确角的对边或者邻边， 在熟记锐角三角函数定义的基 础上，选择恰当的锐角三角函数 进行求解」 7.B解析：过点D作DF⊥AB,垂 足为F.'AD平分∠BAC,DE⊥ AC,DF⊥AB,.DE=DF=1.在 DF√2 Rt△BFD中，：simB=BD=乞， '.BD=√2.∴.BF=/BD2-DF= /2-1=1...AF=AB-BF=2.在 Rt△AFD中，AD=√JAF2+DF= √22+1平=√5， 8.D解析：如图，过点A作ADL x轴于点D,作AE⊥y轴于点E,则四 边形ADOE是矩形.A(5,4), .AD=OE=4,AE=OD=5.C(, 0),且0<x<5,.OC=x..DC= OD-OC=5-x.设OB=m,则 BE=OE-OB=4-m..'BCLAC, .∴.∠BOC=∠BCA=∠ADC=90°. .∴.∠OBC=90°-∠OCB=∠DCA. &△0c△CA.所- =兴m= 1 x2+ =--)= i(- )广+瓷当x=号时，m取得最 大值，此时BE=4一m取得最小值. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 AB2=AE+BE2=25+BE2,∴.当 BE取得最小值时，AB也取得最小 36 值：血8-福=衣AB政得 最小值时，s血®=品取装大值 x=2 EP B ▣ 0 (第8题) 9(） 解析：设C(a,0), ∴.OC=a..A(1,0),B(0,-3, ∴.OA=1,AC=a-1,OB=3. .BC=√32+a=√9+a.在 R△0AB中，m∠0BA-8器-号 :am∠ABC=子，·∠OBA= ∠ABC.如图，过点C作CD∥y轴，交 BA的延长线于点D..∠OBA= ∠D,∠AOB=∠ACD..∴.△OBAn △DA,∠AC=∠n票器 D=是即 J9+a4 a=是“点C的坐标为 1 (是 D (第9题) 10.1解析：如图，延长AE,DC交 于点F.:AE⊥DE,∴.∠AED= ∠FED=90°.：DE平分∠ADC, ∴.∠ADE=∠FDE.,DE=DE, ∴.△ADE≌△FDE.∴.AE=FE= &n∠E=g那=是 EF 3 ∴.DF=5.AB∥CD,.∠F= ∠BAE,∠ECF=∠B.∴.△ECF≌ △EBA,.CF=BA=4.∴.CD= DF-CF=5-4=1. (第10题) 1.艺支号解桥：分两种情况讨 论：①当ED=EA时，如图①，过点 C作CH⊥AB于点H,过点A作 AM⊥BC于点M.在Rt△ACH中， m∠BAc-=2AC=36, AH+CH=AC2,∴.易得AH=3, CH=6..∴.BH=AB-AH=8.在 Rt△BCH中，BC=√CH+BH'= 10.由等面积可得AM=AB·CH BC 9.在R:△ABM中，BM VAB-AM=售，：CM=BC BM=9.:ED=EA,∠EDA= ∠EAD=∠BAC.∴.在Rt△ADM 中，tam∠ADM-DM-tan∠ZBAC3 2DM=号AM-器：BD BM-M=②当DA=DE时， 如图②，过点D作DN⊥AE于点N, 过点A作AM⊥BC于点M,则 ∠DAE=∠E=∠BAC.在Rt△AME 中，anE=0=an∠BAC=2, ME ME AM- ·AE= 33 AMFEM =33/5 10 DN⊥ AE,DA=DE,·.EN=2AE= g.在Rt△DEN中，tamE BN-2..DN- 10DE= VDN+EN=翠.&BD=BM+ ME-DE=4+8-3=只综上 510420 所述，BD的长为号或忍 77 H D ① D MC (第11题) 12.(1),直线AP与⊙O相切于 点P, ∴.∠APO=90, :∠PA0=45, ∴.∠PON=90°-∠PAO=45. (2):直线BQ与⊙O相切于点Q, ∴.∠BQO=90°. .∠QBO=60, os∠QB0=cos60°-B2-1 BO 2 设BQ=xm,则BO=2xm. ∴.OQ=OP=VBO-BQ 3.c m. AB=8m, ..AO=AB+BO=(8+2x)m. 在Rt△APO中，sinA=sin45°= PO2 AO2' 8+2x2 ,解得x=4√6十8. 经检验，x=4√6十8是原方程的解， 且符合题意 ∴.OP=3×(4√6+8)=(122+ 85)m. PV的长为45πXI2,2+8B) 180 24.1(m). 13.(1)csin B;ccos B;a2+c2- 2accos B. 37 (2)如图，延长BC,AD交于点E. :∠B=90°，∠BAD=60°，AB=4, AB .AE= coS∠BAD =2AB=8, ∠E=30. AD=5, .DE=AE-AD=3. .·∠ADC=90°， .∴.∠CDE=90°. ·在R△CDE中，CE=DE cosE= 2√3. 由(1)，知AC2=CE2+AE2-2CE· AE·cosE=12+64-2×2W3×8X 3 2 =28. .AC=2√7. D R口 (第13题) 第2课时解直角三角形中的 视角问题 1.490 2.如图，过点C作CH⊥AB于点H, 则易得CH=BD,BH=CD=0.5m. 在Rt△ACH中，tan∠ACH= 加57 .AH=CH=BD. ∴.AB=AH+BH=BD+0.5m. ·EF⊥FB,AB⊥FB, .∠EFG=∠ABG=90 由反射角等于人射角，得∠EGF= ∠AGB, ∴.△EFGc∽△ABG. EF FG AB BG 设BD=xm 1.6 2 六十0.55千x,解得x=17.5. 经检验，x一17.5是原方程的解，且符 合题意 .BD=17.5m. ∴.AB=17.5+0.5=18(m).拔尖特训·数学（人教版）九年级下 28.21 解直角三 第1课时解 自基础进阶 1.(2024·商洛三模)如图，在菱形ABCD中， AE1BC于点E,BC=4,simB=手，则菱形 ABCD的周长是 ( A.10B.20 C.40 D.28 B 0 (第1题) (第2题) 2.(2025·连云港东海二模)如图，在平面直角 坐标系中放置三个长为3，宽为1的矩形，则 tan∠BAC的值为 () A.2B.√3 C.3 D.√2 3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°， AC=6,点D在AB上，连接CD.若 Lamn∠DCB=号则BD的长为 B (第3题) (第5题) 4已知am∠AOB=青，点P在边OA上 OP=5,点M,N在边OB上，PM=PN.如 果MN=2,那么OM的长为 5.(2024·广州模拟)如图，在△ABC中，AB= AC=5,cos∠ABC= ，P为边AC上一点， 则线段BP长的取值范围是 幻素能攀升 6.★如图，在△ABC中，AD是边BC的中线， ∠C>∠B.若边BC上的高为h,则下列结论 58 角形及其应用 直角三角形 》“答案与解析”见P36 中，正确的是 () A.h>AD B.h>AD·sinB C.h=AD·cosC D.h (tan B+tan C)=BC B DC B D (第6题) (第7题) 7.（2025·西安雁塔模拟)如图，在 △ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥ AC.AB=3,DE-1,sin B- 2 则线段AD的长为 () A.2B.√5 C.22D.2√3 8.(2025·资阳雁江一模)如图，在平 面直角坐标系中，点A的坐标为 (5,4),点B在y轴上，点C的坐标 为(x,0),且0<x<5,BC⊥AC于点C,连接 AB.若AB与y轴正半轴所夹的角为a(a为 锐角)，则当sina取最大值时，对应的x的 值为 () 7 A.3 号C3 D.2 A C 0 B (第8题) (第9题) 9.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 (1,0),点B的坐标为(0，一3)，点C在x轴 上，且点C在点A右方，连接AB,BC.若 tan∠ABC=3,则点C的坐标为 10.如图，在四边形ABCD中，AB/CD,DE平分 ∠ADC,交BC于点E,AE⊥DE,AB=4, AE=-3,sm∠CDE=g则CcD B D (第10题) (第11题) 11.如图，在△ABC中，AB=11,AC= 3√5，tan∠BAC=2,点D在BC 边上，在射线BC上取点E,使 ∠BAC=∠DAE.若△ADE是以DE为腰的 等腰三角形，则线段BD的长为 12.(2025·宜宾)如图，扇形OPN为某运动场 内的投掷区，PN所在圆的圆心为点O, 点A,B,N,O在同一直线上.直线AP与 ⊙O相切于点P,此时测得∠PAO=45°.从 点A处沿AO方向前进8m到达点B处， 直线BQ与⊙O相切于点Q,此时测得 ∠QB0=60°（参考数据：√2≈1.41，√5≈ 1.73,π≈3.14).求： (1)圆心角∠PON的度数 (2)PN的长（结果精确到0.1m). Q A人501 0 (第12题) 第二十八章锐角三角函数 思维拓展 3.新考法·过程性学习在一次数学实践课上， 老师出了这样一道题：如图①，在锐角三角 形ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别 是a,b,c,请用a,c,∠B表示b2. (1)甲同学认为：要将锐角三角形转化为直 角三角形来解决，并且不能破坏∠B,因此 可以过点A作AD⊥BC于点D(如图②). 乙同学认为：要想得到b,便要利用 Rt△ABD或Rt△ACD. 丙同学认为：要先求出AD= BD= (用含c,∠B的三角函数 表示 丁同学顺着他们的思路，求出b2=AD2十 DC2= (其中sina+cos2a=1). (2)请利用丁同学的结论解决以下问题： 如图③，在四边形ABCD中，∠B=∠D= 90°，∠BAD=60°，AB=4,AD=5.求AC 的长 B D a ② (第13题) 59