28.2.1 解直角三角形-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

15.解：.(2b)2=4(c十a)(c-a),∴.46b2=4(c2-a2),.b2= 第3课时特殊角的三角函数值 c2-a2,∴.a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形，且∠C= 1.A2.C3A425.0② 1 90”5a-3c=0∴号=号mA=号设a=张c= 24 6.A7.C8.C9.C10.C 5k,…b=√(5k)2-(3k)=4,sinB=b=华=4 c 一5k 5' 11解：（1)sima·cos30°=Y4，·.sina·2=4,sna= A+nB=号+号-子 ② …Q=45°. (2)2tana-√2cosa=2tan45°-√2cos45° 第2课时余弦、正切 1.A2.(1)A(2)B3.D4.B5.2√2 =8X1-E×9-8-1- 6.D7.C8.A9.B10.B11.B12. 12.B13.D14.B 2 15.B[解析]如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC= 13.专 [解析]连接PB,交CH于点E,由折叠可知CH垂 45°，延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=22.5°.设 直平分BP,∴E为BP的中点.又，H为AB的中点， AC-C1,AB BD t2.5 .HE是△ABP的中位线，.AP∥HE,.∠BAP= 1 =√2-1. ∠BHE.又.'在Rt△BCH中，tan∠BHC BC=2= 1+√2 BH 3 专an∠HAP= 4522.5 14冬[解析]据图可得∠AFE+∠EPC+∠BFC=18O B D 16.B17.C 根据折叠的性质，得∠EFC=∠EDC=90°，即∠AFE十 ∠BFC=90°.在Rt△BCF中，∠BCF+∠BFC=90°，易 18.解：由题意，得△=25cos2A-16=0,cosA= 5·过点B 得∠AFE=∠BCF,在Rt△BFC中，根据折叠的性质，得 作BD⊥AC,垂足为D.在Rt△ABD中，c0A-A织， CF=CD=AB=10.,BC=8,由勾股定理，得BF=6, tam∠cF=g-..mAPE=-tn∠BCF=是. AD=AB·0A=5X号=4，BD=VAB-AD 15.(1)2(2)1[解析](1)如图①，连接GF,HF,HF与 =W52-4=3.,AB=AC=5,∴.CD=AC-AD=5-4 PN交于点N,则PN∥GF,∴.∠HPN=∠HGF.根据勾 =1.在Rt△BCD中，BC=√BD+CD=√32+1平= 股定理，得GF=2√2，HF=42,GH=2√10.(2√2)2 √10，∴△ABC的周长为10+√10 +(4√2)2=(2√10)2，∴.△HGF是直角三角形，∠HFG 第4课时用计算器求锐角三角函数值 1.C2.C3.D4.-0.6995.(1)0.8133(2)0.3633 =90°，∴.tan∠HGF=GF=。5=2,.tan∠HPN= 6.A7.B8.B tan∠HGF=2.(2)如图②，连接BC.由勾股定理，得9.(1)2723'(2)538(3)8926' AC2=BC2=22+42=20,AB2=22+62=40,.AC= 10.D11.D12.B13.D14.A15.A BC,AC2十BC2=AB2,∴.△ABC是等腰直角三角形， 16.48°2417.(1)-0.1570(2)-5.2426 ∴.tan∠BAC= BC 18.解：AC=BC,D是AB的中点，∴.CD⊥AB.又，CD= AC =1. 1米，∠A=27,AD=a27≈1.963米，∴AB=2AD CD ≈3.93米 19.解：(1)当a=30°时，sina十sin2(90°-a)=sin230°十 面60心=（侣》°+（停）广=+号=1.2小明的骑起 ② 成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C=90°.设∠A= e则∠B-90-a,sa十r(o0-。)=()'+15 BC2+AC2 AB2 AB2 AB≈1. 12.解：(1)：anB=子，可设AC=3z,BC=4红.：AC2+ BC2=AB2,.(3x)2+(4x)2=52,解得x1=-1(舍去)， x2=1,.AC=3,BC=4.BD=1,.CD=3,.AD= √CD+AC=3√2.(2)过点D作DE⊥AB于点E. 28.2解直角三角形及其应用 tanB=,可设DE=3y,BE=4.:BE2+DE- 28.2.1解直角三角形 BD,(4)2+(3y)2=1,解得y1=-号（舍去， 1.(1)D(2)A n-日De-w-0 1 2.解：(1)∠C=90°，∠A=60°，.∠B=90°-∠A=30°， b-=号×8月=4v原，a=c·n0-=8gx号- 1&.解：1)点=C∠B=60,∠C=45,6=2, 12,∠B=30°，a=12,b=4W3.(2)∠C=90°，∠A= 2 n60=45解得b=√6.(2)如图，过点A作A 45,∠B=90°-∠A=45,∴a=b=36,c=sin45= ⊥BC于点D.在Rt△ABD中，∠B=60°，AB=2, =2a=2×36=65,∴∠B=45,b=3V6,c= aB=coe0-8-DBD-1.在RIAADC中， 2 63. ∠C=45,AC=6AD=CD=AC·cC=-6X号 3.獬：∠C=90°，AC=V2,AB=2√2，.BC= C-BD+CD-+CAD √AB-AC=√(22)2-W2)=6.:sinB=AC AB 2X(1+3)XV3=3+3 21 合∴∠B=30∠A=90-∠B=90-80=60 4.解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2,a=3,b=3√3，c= a8-+6=“A=号房得 人60°H 45 B D C ∴∠A=30°，.∠B=90°-∠A=90°-30°=60°. 培优专题16：锐角三角函数值的求解技巧 5.D6.(1)12a2(2)21√3或15√3 7.= 8.329.3 4 1>2.号3A4B5.3+5 6.解：(1)证明：连接OD,OA,过点O作OH⊥AB于点H. 8 10.25 [解析]设小正方形边长为1，QY=x,则QM=QY+ ,△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥ MY=x十1.，线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的 BC,AO平分∠BAC.AC与⊙O相切于点D,∴OD⊥ AC,而OH⊥AB,∴.OH=OD,.AB是⊙O的切线. 两部分∴Saov+1=10X号=5,2PM,QM+1= (2)由(1)知OD⊥AC,在Rt△OCD中，CD=4,OC=OF 5,2×5(x+D+1=5,z=号，QM=号TY/ +CF=OD+2,OD2+CD2=0C2,..OD2+42=(OD+ PM,∴.∠QTY=∠QPM,∴.tan∠QTY=tan∠QPM= 2,00=300=5oC-畏-号在R△00A QM 8 PM-25 中，mc-瓷-gnoc--手 7.2 8.解：根据题意，得FP=FC,∠PFB=∠CFB,∠FPB= 90°.，CD∥AB,∴.∠CFB=∠ABF,∴∠ABF=∠PFB, ∴.QF=QB.令PF=k(k>0),则PB=2k.在Rt△BPQ 同行学案学练测·21·第二十八章锐角三角函数了 28.2解直角三角形及其应用 28.2.1解直角三角形 (教材P72~73练习) 即基础闯关 >>>>>>》>难度等级基础题 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别为 知识点一：已知一边和一锐角解直角三角形 ∠A,∠B,∠C的对边，a=3,b=3√3，解这 1.[一题多辨](1)在Rt△ABC中，∠C=90°， 个直角三角形. SinA-号，BC=6,则AB=( A.4 B.6 C.8 D.10 (2)(济宁兖州区模拟)在Rt△ABC中，∠C 90,如果AC=2,6sA-号，那么AD的长 是() 知识点三：解简单的斜三角形 A.3 B青 C.√5 D.√/13 5.等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm,则它 的底边长为() 2.在△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对 边分别为a,b,c. A.√3cm 及9m (1)已知c=8√3，∠A=60°，求∠B,a,b. C.2 cm D.2√3cm (2)已知a=3√6，∠A=45°，求∠B,b,c. 6.[一题多辨](1)如图，在△ABC中，cosC= 5, AC=5a,BC=6a,则S△4c= (2)在△ABC中，AB=12,AC=√39，∠B= 30°，则△ABC的面积是 D 知识点二：已知两边解直角三角形 B40 3.(教材P73例1变式)如图，在Rt△ABC中， 8 第6题图 第7题图 ∠C=90°，AC=√2，AB=2√2，解这个直角 7.如图，在△ABC和△DEF中，∠B=40°，∠E= 三角形 140°，AB=EF=5,BC=DE=8,则两个三角 形面积的大小关系：S△ABC SADEF· (填“>”“<”或“=”) 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 8.[互余倒角]如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.若 AC=23,tan∠BCD= 2,则 AB- 做神龙题得好成绩 75 ☑同行学案学练测数学九年级下RJ 9.如图，在△ABC中，D为AB的中点，将BD 即培优创新>>>>>>难度等级综合题 沿射线BC方向平移得到CE,连接AE,DE, 13.下面是莉莉同学的课外数学学习笔记，请仔 若AD=3,AE=4,AB⊥AE,则tan∠BAC 细阅读并完成相应任务 的值为 0 45°2 D a ① ② 第9题图 第10题图 对于任意的锐角三角形ABC,三角形各边与 对角的正弦之比相等，我们称之为“正弦定 10.[创新意识]10个全等的小正方形拼成如图 所示的图形，点P,X,Y,S是小正方形的顶 理”，即a。=6 A一片Ce我们可以利用三 点，Q是边XY上一点，T是PQ与SY的交 角形面积公式证明其正确性. 点.若线段PQ恰好将这个图形分成面积相 证明：如图①，过点A作AD⊥BC于点D, 等的两部分，则tan∠QTY的值为 则在Rt△ABD中，sinB=AD ,所以AD= 11.如图，在4×4的网格中， c·5inB,所以Sax=2a·AD=0 每个小正方形的边长为1， 1 点A,B,C均在格点上，D 1 D sinB.同理可得Sa=2a·AD- b. 是AB与网格线的交点， 1 则sin ∠ADC 的值是 sinC,SAATe=2bc·sinA.因此SaAc= 2 2ac·sinB-号& >2b·sinC=2bc·sinA很p 12.(梧州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C= ac·sinB=ab·sinC=bc·sinA. 90°，D为BC上一点，AB=5,BD=1, a明-= 因为abc≠0，每项都除以abc,得snB b sinC sinA ,即a= b (1)求AD的长. c sinA sinB sinC' (2)求sina的值， 任务： (1)如图②，在锐角三角形ABC中，∠B= 60°，∠C=45°，c=2,求b的值. (2)求问题(1)中△ABC的面积. 76做神龙题得好成绩