28.1 第2课时 锐角的余弦和正切-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

第2课时 锐月 砂知识储备出 1.如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，我们把锐角A的 与 的比AA 叫做锐角A的余弦，记作 ,即c0sA 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A 的 与 的比叫做锐角A的正切， 记作 ,即tanA= 3.∠A的 都是∠A 的锐角三角函数 十十十十十+十+十+十十+”十+十+十+十十十 A基础练 必备知识梳理一 知识点一锐角的余弦 1.(教材P65例2改编) 一题多变 (1)【已知直角三角形两边的长，求余弦值】 如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，BC=4,AC=3,则∠A 的余弦值为 ( B A号 以 c 0. (2)【已知余弦值与一边的长，求另一边的长】 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15,cosA= 号则BC的长是 A.25 B.12 C.9 D.16 2.【教材P65练习T1变式】如图，在△ABC中， ∠C=90°，AC=5,AB=13,则cosA= cos B- B 第2题图 第3(1)题图 知识点二锐角的正切 3.(教材P65练习T1改编) 一题多变 (1)【已知直角三角形两边的长，求正切值】 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1, BC=3,则∠A的正切值是 55 九年级数学·下册 角的余弦和正切 (2)【已知正切值与一边的长，求另一边的长】 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,tanA= 2,则BC的长是 4.【教材P65例2变式】如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB=15,AC=9,求tanA和tanB 的值. 易错点○因考虑问题不全面而漏解 5.在Rt△ABC中，∠A为锐角，若AC=2BC, 则tanA= 【点拨】当直角不确定时，应分类讨论，由题意可知 ∠B=90°或∠C=90°，根据正切的定义解答. 知识点三锐角三角函数 6.如图，在△ABC中，∠C= 90°，AC=8,BC=15,则 8 下列三角函数表示正确 B C 的是 () 15 A.sinA 8 B.cos A= 17 CaaA-合 D.tan B=15 7.【教材P65例2变式】如图，在Rt△ABC中， ∠C-=90,AC=7,anA-24 (1)BC= ,AB= (2)求sinA,cosA,cosB和tanB的值. B B综合练 登关健能力提升一 8.如图，点A为∠a边上任意一点，作AC⊥BC 于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示 cosa的值，错误的是 ( ) A.CD B AE C.BD C D.AD c y D A a ⊙ 第8题图 第9题图 9.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点 C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则 tanB为 () A.2 B.22 C.② D.22 4 3 10.【教材P85复习题T11变 A 式】如图，在矩形ABCD A 中，AB=8,BC=10,点E 是AB边上一点，将四边形 D CDAE沿CE折叠，点A,D的对应点分别 为A',D,若A'D'恰好经过点B,则∠A'EB 的余弦值为 11.【新课标·操作能力】如图是由边长相等的 小正方形组成的网格，点A,B,C均在格点 上，连接AB,BC (1)tan∠ABC= (2)在网格中，用无刻度的直尺画∠CBD,使 tan∠CBD= 2 12.如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A 的坐标为(10,0)，点B在第一象限内，BO 5sin∠B0A-g. (1)点B的坐标是 (2)求cos∠BAO的值. C素养练 学科素养培育一 13.【一日一优】【新中考·新定义型阅读理解题】 定义：如图，在Rt△ABC中，锐角a的邻边 与对边的比叫做∠a的余切，记作cota,即 cot a= ∠a的邻边_AC ∠a的对边 BC,据上述角的余切 定义，解答下列问题： (1)cot30°= (2)如图，在R△ABC中，anA=是，试求 cotA的值. B a 少解题妙招 等角转化法求锐角三角函数值： 若要求的角的锐角三角函数值不容易求出 来，且这个角可以转化为其他角（常利用同角的余 角相等或同弧所对的圆周角相等转化角)，则可以 直接求转化后的角的锐角三角函数值，如T8,T9, T10等. 助学助教优质高敦56号10,1：211.)证明：矩形ABCD∠A=∠D=∠C-90.∠DEP+∠EPD =90°.：E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC 上，∠EPH=∠A=90°.∴.∠EPD+∠CPH=90°..∠DEP=∠CPH.又：∠D= ∠C,∴.△EDP∽△PCH;(2)解：：四边形ABCD是矩形，∴.CD=AB=2,AD=BC=3, ∠A=∠D=∠C=9o:.:P为CD中点，DP=CP=号X2=1.设EP=AE=,则ED =AD-=3-x在R△EDP中，EP=ED+DP,即2=(3-x)+1,解得x=号 EP-AE=-号∴ED=-AD-AE-专：△EDPn△PCH0開即= 3 ∴PH=是.：PG=AB=25GH=PG-PH=.2.解：过点E作EF⊥BD.交BD 延长线于点F,则∠EDF=180°-135°=45°，设DF=xm=EF,由题意知∠B=∠EFC= 90∠ACB=∠BCF△AC△EFC银-器即：-春解得=14经检 验，x=14是原方程的解..DF=EF=14..DE=√14+14=14√2.答：DE的长为14 2m.13.B14.(4,6)或(-4.-6)15.A16.3或217.D18.(5-1)19. 解：(1)在Rt△BDC中，∠DBC=30°，在Rt△BAE中，∠AEB=90°，∠EBA=30°= ∠DBC∴∠DBE=∠ABC△ABEO△CBD,÷瓷酷即能器又：∠DBE ∠ABC△ABC△EBD小器-BE,在R△ABE中，∠AEB=0,∠ABE=30 AE号ABBE=停AB,脚器光张专同DE=合AC:2延长DE交 BA于F,由(1)知AE=号AB=2,∠BAE=60,在R△AEF中，∠AEF=30,.AF= 合AE=1,EF=V2-T=月BF=AB-AF=3,由1)知DE=号AC-号X2=万 2 .DF=DE+EF=23,在Rt△BDF中，DB=√BF+DF=√32+(23)=√2I. :AAo△D器品周%-后-2 第二十八章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 第1课时锐角的正弦 知识储备 1.固定值2.斜边sinA ∠A的对边a 斜边 c 基础练 1.C(2A2C3.号4.aABa品ABa是s 5号或誓6C7.解：在△ABC中，∠C=90,nA=器-品-是解得AB=1B AC=VAB-BC=B-1g=5.8.D9.D(2号10号山.号12 2 解：在R△ACD中：m∠CAD-8=号-9CD=3.AC=V6-了=4在 △AC冲，AB=VAC+C-平F-ImB-6-有-者m. 13.(1)证明：作直径BD,连接CD.BC=BC,∠A=∠D.:BD是直径，∴.∠BCD= 90,在Rt△BCD中，sin D-6,BD=BC=a -0A=2R同理可证B2RC ·in Asin Bsin C=2R:2)解：由1)知A=2R5-2R解得R=4. 2R..a 6 第2课时锐角的余弦和正切 知识储备 1邻边斜边4能名2对边邻边4聚台3正弦余弦正切 162 基础练 1.1D(2B2.高号3.1)3(2)24解：在R△ABC中，ZC=90BC VaB-AC-V1E-9=12.mA-C-号-号mB=C-是-是5厚攻 号6B71225解，2mA-器-错asA-S-石mB=6-器m B=瓷=8D9.C10子1.1号解：2)如图 ∠CBD即为所求.12.(4,3)解：(2)过B作BC⊥OA于C.B D (4,3),BC⊥OA,∴.OC=4,BC=3.A(10,0),.AC=10-4=6.. AB-V罗-后oBM0-器5号5.何 解：在R△ABC中，mA-C-子小瓷-告coA=号 第3课时特殊锐角的三角函数值 知识储备 锐角a 30 45 60° 三角函数 sina 2 ② ⊙ 2 cosa 2 2 tana 1 5 基础练 1.A2.83141)解：原式-+名B中.2解：原式=5×9号×厅 2 32 1-号-分8)解：原式=3+-1-头5.C6.A7.1)45°(2)308，解： :∠C=90,tamA=BC=压=5，∠A=60,∠B=90-∠A=30.9.D10. AC√5 20.3311.(1)解：sinA=sin18°≈0.309，sinB=sin25°≈0.423，sinC=sin36°≈0.588， 则sinA<sinB<sinC.(2)增大12.C13.C14.C15.60°16.解：原式=2√3-2 ×+2-5+合+，E×=3宁.17.解：1：BD=AB.∠ABC=46,∠D x一=2 BAD-22.5.AB-BD-AB-/3.in D-c- -1:(2)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB 至D,使BD=AB.设AC=x,则AB=BD=2x,BC=√3x. AB=BD,∠ABC=30°，∠D=∠DAB=15.∠DAC= 75,tan 75'-tan _DAC- 方法技巧专题（三）五法确定三角函数值 1B2号3多4B5.B63 13 7.解：设AE=x,BE=3x,:正方形ABCD, ∴.AB=BC=CD=AD=4x,∠A=∠B=∠D=90°.，M是AD的中点，AM=DM= AD-2x.EC-/BE CB=5x.EM-AE+AM-/5x.CM=/DMF +DC= 1 2√5x..Ef+CMP=(5x)2+(2√5x)2=25x2.:EC=(5x)2=25x2,∴.EM+CM= c.ZBwC=0,∠BCM-0-2-号6.8号9号2吉 10.号1.212.C13.214.3 28.2解直角三角形及其应用 28.2.1解直角三角形 知识储备 1.1)a+8=2)∠A+∠B=90:(3)2名合2.解直角三角形 -163