第二十七章 相似 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

拔尖特训·数学(人教版)九年级下 第二十七章整合拔尖 》“答案与解析”见P29 知识体系构建 定义 相似多边形 对应角相等 性质 对应边成比例 相似三角形的定义 三个角分别相等，三条边成比例 相似三角形 平行线分线段成比例的基本事实 平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 相似三角形的判定 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似 相似三角形对应高的比，对应中线的 相似三角形对应线段 比与对应角平分线的比都等于相似比 的比等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形的性质 相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似三角形的实际应用 位似三角形的定义 位似 位似图形是相似图形，而相似图形不一定是位似图形 位似图形的性质 位似图形的对应顶点的连线相交于同一点 位似图形的对应线段互相平行或在同一条直线上 以原点为位似中心 (a，b) (ka，kb) 或(-ka，-kb) 平面直角坐标系中的位似变化 k为相似比 []高频考点突破 考点一相似三角形的判定与性质 变式]如图，在由边长为1的小正方形组成的虚 典例1 (2025·驻马店模拟) D 线网格中，A，B，C，D均为格点， AB，CD 相交于 如图， 四边形ABCD是平行 E F 点P，则 PC= . 四边形，E是AD的中点，连 B C A 接BE，AC相交于点F，过点 (典例1图) P B F作AD的平行线交AB于点G.若FG=2，则 BC 的长是 () D A.6 B.5 C.8 D.4 48 第二十七章相似 考点二相似的应用 考点三相似与几何图形的综合 典例2(2024·益阳三模)如图①所示为从正 典例3(2025·淄博高青一模)如图，“赵爽弦 面看装了一定量液体的长方体容器得到的图 图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 形，将该容器绕点D所在棱向右倾斜后，液面恰 拼成的一个大正方形.连接AC,若AH平分 好接触到容器口边缘（如图②），此时液面宽度 ∠CAD,且正方形EFGH的面积为3，则正方形 AB为 ABCD的面积为 () 17 cm 8 cm D ② (典例2图) [变式](2025·平顶山鲁山一模)樱花红陌上， (典例3图) 柳叶绿池边.每年初春时节，郑州大学的樱花竞 A.6+3√2 B.4+22 相开放，为美丽的校园增添了别样的景致.当地 C.6+23 D.15 某中学的数学兴趣小组利用周末时间对路旁一 [变式]如图，在菱形ABCD中，点G在边CD 棵樱花树的高度进行测量，他们采用了以下方 上，连接AG并延长，交BC的延长线于点F,连 法：如图，把支架(EF)放在离树(AB)适当距离 接BD交AF于点E,连接CE. 的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支 (1)若BE=BC,∠ABC=80°，请直接写出 架(EF)上的点E处，然后沿着直线BF后退至 ∠DAE的度数， 点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A,再 (2)求证：EC=EF·EG. 用皮尺分别测量BF,DF,EF,观测者的目高 (3)若AB=6, CE =3,求CF的长 (CD),利用测得的数据可以求出这棵树的高 EG 度.已知CD⊥BD于点D,EF⊥BD于点F, AB⊥BD于点B,BF=6米，DF=2米，EF= 0.5米，CD=1.7米，那么这棵樱花树的高度 AB是多少米？ 49 拔尖特训·数学（人教版）九年级下 综合素能提升 1.(2024·绥化)如图，矩形OABC各顶点的坐 C,D是“调和点列”.如图②，在△ABC中， 标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0, 点D在AB上，点E在AB的延长线上，连 2),以原点O为位似中心，将这个矩形按相 接CE,射线CD,CB与射线AM交于点F, 似比号进行缩小，则顶点B在第一象限对应 G,AG∥CE,若A,B,D,E是“调和点列”，且 点的坐标是 AD2,5E-3则的值是 A.(9,4) B.(4,9) c1,》 D (. y↑ ① ② (第5题) 2 1 6.如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD= A 马0123x 90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC= (第1题) (第2题) ∠BAC 2.(2025·重庆模拟)如图，在矩形ABCD中，E (1)求证：DE是⊙O的切线： 是AD边上一点，且AE=2DE,BD与CE (2)若AC∥DE,当AB=8,CE=2时，求 相交于点F,则△DEF与△BCF的面积之 AC的长. 比是 A.1:2B.1:3C.1:4D.1:9 3.(2025·浙江模拟)如图，在正方形ABCD 0 中，M为BC上一点，将△MAB绕点A顺时 针方向旋转90°，得到△NAD,连接MN,交 对角线AC于点O,交AD于点E.若CM= (第6题) 4,AE=5,则AB= .OM:OE: EN= D 0 DE B (第3题) (第4题)》 4.(2025·太原杏花岭二模)如图，在△ABC 中，AB=AC,E是AB上的一点，BE=2AE, 过点B作BD⊥CE交CE的延长线于点D. 若BD=3,CD=5,则DE的长为 5.定义：如图①，对于线段AB的内分点C和外 分点D,如果满足S0那么称A,B。 50 第二十七章相似 7.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=8.如图，在菱形ABCD中，∠ABC= 4,D为边BC上的一点，过点D作射线 120°，AB=4,E为边CD上一动点 DE⊥DF,分别交边AB,AC于点E,F (不与点C,D重合)，连接AE并延 (1)如图①，当D为BC的中点，且DE⊥ 长，交∠DCP的平分线于点F,连接AC, AB,DF1AC时 BF,BF交AC于点H,交DC于点G,点P 在射线BC上. (2)若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋 (1)求∠ACF的度数： 转到如图②所示的位置时 DE (2)当CF=2时，求BF的长， 3)如图③，改变点D的位置，且 号后求 (3)当E是CD的中点时，求证：EF=AE 票的直 ()在点上的运动过程中，票的值足否发生 改变？请说明理由. (4)在(3)的条件下，连接EF,若△DEF与 △ABC相似，求CD的长. (第8题) D ③ (第7题) 51∴.∠EGF+∠A=180°. ∴.∠AED+∠AFG=180°. ,'∠CFM+∠AFG=180°， .'.∠AED=∠CFM=∠CMF .'.△DCMp△ADE. 00 又·AB=CD,CM=CF, CF AB DE AD' A M E (第1题) 2.直线x=-1.5 3.(1)①E是四边形ABCD的边 AB上的“相似点” 理由：设∠A=∠B=∠DEC=a,则 ∠ADE+∠DEA=180°-a, ∠BEC+∠DEA=180°-a. ∴.∠ADE=∠BEC. 又：∠A=∠B, '.△ADEO△BEC. ∴.E是四边形ABCD的边AB上的 “相似点” ②由①，得△ADE∽△BEC. “器 E为AB的中点， .'.AE=BE. ·器 “膘 又：∠B=∠DEC, ∴.△BEC∽△EDC. ∴.△ADE∽△BEC∽△EDC. ∴.E为四边形ABCD的边AB上的 “强相似，点”， (2)由折叠的性质和矩形的性质，得 ∠MEC=∠D=90°=∠A=∠B= ∠BCD,∠DCM=∠ECM,EC= DC=AB. ,'E恰好是四边形ABCM的边AB 上的一个“强相似点”， .'.△AME∽△BECc∽△EMC ∴.∠BCE=∠ECM=∠DCM= 3∠BCD=30, BE=2 EC CD=AB, BE√5 BC 3 “提器2 3 ·AB25BC 3 4.(1)AB=AC,∠A=36, ∠B=∠ACB=2X(180° 36)=72 ,CP平分∠ACB .∠ACP=∠BCP=36. .∠BCP=∠A. :∠B=∠B, ∴.△BCP△BAC. '.P为△ABC的“相似点” (2)E是△ABC的“相似点”，且点 B与，点A对应，点E在∠ABC的平 分线上， ∴.易得△BECc∽△ACB. ∴.∠EBC=∠A. BF平分∠ABC, ∴.∠ABF=∠CBF=∠A: .FA=FB :∠BCF=∠ACB,∠CBF=∠A, .△CBFn△CAB. “需器是 (3)G是△DEF的“相似点”， ∠GEF=∠FED, ∴.△GEF∽△FED. ∴.∠EFG=∠EDF :∠EDF=∠BAC=∠FGC, '.∠EFG=∠FGC. ∴.AC∥EF 如图，分别延长EF,DC,交于点H. :四边形ABCD是菱形， .AB∥DC. ,AC∥EF, ∴.四边形AEHC是平行四边形 29 .AC=EH,AE=CH,/EAC= ∠H. ∠EDF=∠BAC, ∴.∠EDF=∠H. 又，∠DEF=∠HED, '.△EDFc∽△EHD. ED EF ·E开ED ∴.ED=EF·EH. EH=AC=4EF, .DE2=4EF2. ∴.DE=2EF B (第4题) 第二十七章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A [变式] 25 7 典例2 5 4 cm 解析：如图，过点B 作BE⊥DE于点E,则∠BED=9O 由题意，知BD=17cm,BC=6cm, BE=8cm,∠C=90°，AB∥DE,AC∥ BD.∴.∠CAB=∠DBA=∠BDE. 又∠C=∠BED=90, AB BC .△CAB∽△EDB.DB=BE ..AB= 51 4 cm. 8cm D (典例2图) [变式]如图，过点E作HG∥DB, 交AB于点G,交CD于点H. 由题意，可得DH=EF=GB=0.5米， EH=DF=2米，EG=FB=6米， ∴.CH=CD-DH=1.7-0.5=1.2(米). 根据题意，得∠CHE=∠AGE=90°， ∠CEH=∠AEG, .'.△CHEc∽△AGE EH CH EG AG 设AG=x米，则后-昌 .x=3.6. ..AB=AG+GB=3.6+0.5= 4.1(米). ∴.这棵樱花树的高度AB是4.1米 C H D B 典例3A [变式] (1)30°. (2),四边形ABCD是菱形， ∴.AD∥BC,DA=DC,∠ADE= ∠CDE. 又.DE=DE, ,'.△ADE≌△CDE '.∠DAF=∠DCE. 又.AD∥BC, ∴.∠DAF=∠F. .∠DCE=∠F. 又∠GEC=∠CEF, ,'.△CEG∽△FEC. 既即=m,G (3),四边形ABCD是菱形， .CD=AB=AD=BC=6. 3 CE EG ∴.设EG=a,则CE=3a. .·易证△ABE≌△CBE, .'AE=CE=3a. .EC2=EF·EG, ,.EF=9a. .AG=AE+EG=3a+a=4a, FG=EF-EG=9a-a=8a. 又.AD∥BC, .∠FCG=∠ADG,∠F=∠DAG. ∴.△FCGp△ADG CF_FG DA AG _8u=2. Aa ..CF=2AD=2×6=12. [综合素能提升] 1.D2.D 3.64：5：3解析：由题意，得 BC=AD=CD=AB,∠B= ∠ADC=90°，AD∥BC.'将△MAB 绕点A顺时针方向旋转90， ∴.DN=BM,∠ADN=∠ABM= 90°.，∴.∠ADC+∠ADN=180°，即 C,D,N三点共线.设BM=DN=x, 则BC=AD=CD=x+4.∴.CN 2x+4,DE=x-1.AD∥BC, △DENACMN.8OG- 即之二 4=2x十4：解得x=2(已检验)》 或x=-1(舍去).∴.AB=BC=x十 4=6.:AD∥BC,∴.△CMO △AE0.· MO EO == Ae :△DENO△CMN,·R 器子“器=子设 4 OM=4m,OE=5m,则ME=9m. .EN=3m.∴.OM:OE:EN= 4:5:3. 7 4.后解析：如图，过点E作EH上 BC于点H,过，点A作AM⊥BC于点 M..EH∥AM.∴.BH:HM= BE:AE=2:1.BD⊥CE, .∠D=90°.·BD=3,CD=5, ∴.BC=W/BD2+CD2=34」 AB=AC.BM-CM-7BC- √34 .HM=3 MB= 6 .CH MH CM 2√34 3 :∠CHE=∠D=90°，∠ECH= ∠BCD,.△CEH∽△CBD. .CE CB=CH CD..CE V34=234 8 3 :5.CE-15 30 7 :.DE=DC-CE=1 H M (第4题) 1 5.2 解析：A,B,D,E是“调和 点列”，ADAE .DBB距.DB=3 5+DB ..DB=1.∴.AB=3,DE 3 4.AG∥CE,∴.△ADF∽△EDC, △AGn△BC,荒-品-， ECEB=1.·AF= AGAB CB.AG B铝- 21 6.(1)如图，连接BD. ∠BAD=90°， ∴.BD是⊙O的直径. .∠BCD=90 ∴.∠DEC+∠CDE=90°. '∠DEC=∠BAC, ∴.∠BAC+∠CDE=90°. ,∠BAC=∠BDC, ∴.∠BDC+∠CDE=90. ∴.∠BDE=90°，即BD⊥DE. BD是⊙O的直径， ∴.DE是⊙O的切线. (2)如图，记AC与BD交于点F. DE∥AC,∠BDE=9O°， ∴.∠BFC=90°， 1 CB=AB=8,AF=CF-2AC. :∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+ ∠CBD=90°， ∴.∠CDE=∠CBD. ,∠DCE=∠BCD=90°， ∴.△BCD∽△DCE. ∴器 8CD CD2 .CD=4. 在Rt△BCD中，BD= √BC+CD=4V5. .易得△CFD∽△BCD, CF-CD BC BD C℉4 845 ·℉-86 ·AC=2CF=165 5. --0 6 (第6题) 7.(1)2. (2)2. (3)如图，过点D分别作DP⊥AB于 点P,DQ⊥AC于点Q. ∴.∠DPA=∠DQA=∠A=90°. ∴.四边形APDQ是矩形 ∴.DP=AQ,DQ=AP,DQ∥AB, DP∥AC. CD_a BD 6' 易得器异6畏 a+b' DQAB,DP∥AC, '.△DQCC∽△BAC,△DPBC∽ △CAB. 器需咒肥 W-票·BA 2a a+'DP 畏cA=华 由题意，易得∠PDE=∠QDF, 又：∠DPE=∠DQF=90°， .△DPEc∽△DQF. 4b ·票-020 DE DP a+b 26 a+b (4)在Rt△ABC中，BC= √AB2+AC=2√5. ,∠EDF=∠A=90°， ∴.△DEF与△ABC相似有如下两 种情况： DE AC ①当△DEF∽△ACB时，DF=AB, 即2-专些理，得a=0, ·CD=2BC=5. DE AB ②当△DEF∽△ABC时，DF=AC, 即22 =,整理，得a=4h. .CD=- 51 综上所述，当CD的长为5或8 5 时，△DEF与△ABC相似 (第7题) 8.(1).·在菱形ABCD中，AB∥ CD,∠ABC=120°， ∴.CA平分∠BCD,∠BCD=180° ∠ABC=60°，∠DCP=∠ABC=120° ∠AcD=2∠CD-30 又CF平分∠DCP, :∠CF=∠RCP-2∠P-0 ∴.∠ACF=∠ACD+∠DCF=90°. (2)如图①，过，点F作FM⊥BC于 点M. ,∠FCP=6O,FM⊥BP, ∴.∠CFM=30°. CM-CF=1. 在Rt△FMC中，由勾股定理，得 FM=√CF2-CMW=√22-1z=5. 又：在菱形ABCD中，AB=4, .'.BC=AB=4. ∴.BM=BC+CM=5. ∴.在Rt△BMF中，由勾股定理，得 BF=√BMP+FM=√52+(W5)= 2√7」 (3)如图②，连接BD,与AC相交于 点O,与AF相交于点N. 由菱形的性质，得BD与AC互相垂 直平分. ,E是CD的中点， .CE=DE 31 .BD⊥AC,∠ACF=90, ∴.BDCF EN _DE=1. 、品祭器 ∴.AN=FN,EN=EF .AF=AN+FN=2FN=2(EN+ EF)=4EF. EF=子AE (器的值不发生改变 理由：如图③，延长AB,FC相交于 点Q. :∠ABC=120°，∠FCP=60, ∴.∠QBC=180°-∠ABC=60°， ∠QCB=∠FCP=60. ∴.△BCQ是等边三角形 .BC=QB. 又AB=BC, ..AB=QB. AB//CD, ∴.△FCG∽△FQB,△FEG∽△FAB. ∴品席厮照 CG GE QB BA' CG QB G元AB 1,即二的值不会发生 改变，为定值1. B CM P ③ (第8题)